Тема 2: Аксіоматичні теорії натуральних, цілих, раціональних та дійсних чисел

Мета: Прослідкувати логічний зв'язок між першими теоремами аксіоматичних теорій числових систем і відповідними аксіомами.

Методичні рекомендації. Зверніть увагу на необхідність дотримуватись математичної строгості при доведенні перших теорем аксіоматичних теорій. Бажано вказувати номери аксіом при обґрунтуванні кроків доведення. При доведенні властивостей цілих і раціональних чисел на мові пар ефективним буде використання факту, що при такому підході ціле число і, так само, раціональне число – це цілий клас попарно рівних між собою чисел.

Приклади розв’язання задач

Задача 1. Довести, що , вважаючи, що властивості числових нерівностей вже доведено.

Розв’язання. Розглянемо очевидну для будь-якого натурального числа нерівність . За властивістю монотонності відносно множення для довільного отримаємо нерівність .

Задача 2. Теорема (Архімеда). .

Доведення. Зрозуміло, що треба розглянути лише випадок . За означенням відношення порівняння натуральних чисел в цьому випадку існує натуральне число таке, що . Візьмемо і застосуємо означення множення. Тоді . Отже, треба порівняти числа і . За попередньою теоремою , а значить при будь-якому натуральному отримаємо , звідки випливає нерівність, що доводиться.

Задача 3. Довести, що .

Доведення. Застосуємо принцип індукції по . При одержимо

.

Припустимо, що для натурального вірна імплікація

.

Для отримаємо . За індуктивним припущенням маємо наслідок . Отже, .

Задача 4. Показати, що між довільними двома різними раціональними числами існує принаймні одне раціональне число.

Вказівка. Розгляньте півсуму даних чисел.

Задача 5. Показати, що в множині раціональних чисел не існує такого перерізу, що в класі А є найбільший, а в класі В є найменший елемент.

Доведення. Нехай а - найбільший в А, в - найменший в В. Тоді а<в. Існує раціональне с таке, що а<с<в. Оскільки c>a, то с не належить до класу А, оскільки c<в, то с не належить до В. Отримали протиріччя з означенням перерізу.

Задача 6. Довести властивість різниці: .

Розв’язання. Нехай , , . Тоді

,

і

Цілі числа в правих частинах останніх двох рівностей належать одному класу, або, інакше, рівні між собою.

Задачі для самостійного розв’язання.

1. Впорядкувати цілі числа

.

2. Впорядкувати раціональні числа:

.

З. Порівняти цілі числа і знайти їх суму та різницю: .

4. Порівняти раціональні числа і знайти їх суму та різницю:

5. Довести властивості різниці

1). ,

2). ,

3). .

6. Довести рівності , .

7. На множині операція додавання визначена наступним чином: . Операція множення звичайна. Перевірити, чи для цих операцій виконуються аксіоми системи дійсних чисел. Виразити похідну, задану формулою , через звичайну похідну.

8. Довести наслідки з аксіом множини дійсних чисел:

1) для будь-яких має місце лише одне із співвідношень: , , .

2) для будь-яких виконується імплікація: .

3) для будь-якого виконується імплікація .

4) .

Тема 3: Системи аксіом евклідової геометрії. Еквівалентність систем аксіом Вейля та Гільберта

Мета: Порівняти аксіоматичні теорії евклідової геометрії, побудовані на базі систем аксіом Вейля та Гільберта.

Методичні рекомендації. Математична структура «евклідова геометрія» може бути побудована на базі різних систем аксіом. Порівняння різних аксіоматичних теорій евклідової геометрії є важливим для розуміння аксіоматичного методу як засобу для її обґрунтування. Доведення еквівалентності систем Вейля і Гільберта підкреслює той факт, що такі різні системи аксіом дозволяють побудувати теорію однієї математичної структури.

Приклади розв’язання задач

Розв’язати задачі в аксіоматичній теорії Вейля:

Задача 1. Довести, що середня лінія трапеції паралельна її основам та дорівнює їх півсумі.

Розв’язання.

Розглянемо трапецію з основами і та середньою лінією . Доведемо, що

1.

2. .

Користуючись аксіомами 1.3, 1.4, 2.3, 5.2, можна записати

та . Або . Сума отриманих векторних рівностей дає векторну рівність . З визначення трапеції випливає, що , тобто або . З цього випливає, що .

Доведемо другу властивість середньої лінії трапеції. Для цього треба скористатись такою властивістю векторів:

якщо , то . Оскільки то з векторної рівності отримаємо скалярну рівність

,

яку і требі було довести.

Задача 2. Довести, що діагоналі прямокутника рівні між собою.

Доведення. Розглянемо прямокутник з діагоналями та . Доведемо, що .

Виразимо вектори діагоналей через вектори сторін прямокутника за аксіомою 5.2:

та .

Знайдемо скалярні квадрати обох векторів, отримаємо

та .

Оскільки – прямокутник, то , , та . З цього випливає, що знайдені скалярні квадрати векторів рівні, а значить і довжини цих векторів рівні, тобто . Доведено.

Задача 3. Довести, що медіани трикутника перетинаються в одній точці.

Доведення. Спочатку визначимо положення точки, що ділить відрізок в даному відношенні.

Умова ділення рівносильна векторній рівності , . За аксіомою 5.2 , , і рівність набуває вигляду або , звідки .

Далі розглянемо трикутник . Проведемо в ньому медіани , та . Доведемо, що всі вони перетинаються в одній точці.

Нехай медіани та перетинаються в точці О. Запишемо векторне співвідношення для третьої медіани . Нехай , тоді . Аналогічно, якщо , тоді . За теоремою про однозначність розкладу вектора по одним і тим же лінійно незалежним векторам отримаємо , що рівносильне системі рівнянь відносно невідомих , з якої . Таким чином, . Остання векторна рівність дає висновок про належність точки О медіані .

Задача 4. Користуючись системою аксіом Вейля евклідової планіметрії довести, що для будь-яких трьох точок справедлива нерівність трикутника: .

Доведення. За аксіомою для будь-яких точок вірна рівність . Тоді . За нерівністю Коші-Буняковського для будь-яких векторів маємо . Отже, , звідки і отримаємо .

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: