Прямоугольники с заданной площадью

Задача подводит ученика к понятию простых и составных чисел (ср. задачу «Поиск чисел с заданным количеством делителей», с. …). Организовать исследование можно таким образом: ребёнок пытается нарисовать все искомые прямоугольники, что-то пропускает. Ему указывают ошибку и обсуждают, как действовать, чтобы ничего не пропустить (упорядоченный перебор). Затем предлагают изучить более простые случаи: прямоугольники с площадью 1, 2, 3 и так далее. Рассмотренные случаи объединяют в группы: площади, дающие один прямоугольник, два прямоугольника, три и так далее. Затем надо связать группы со свойствами чисел.

По ходу задачи обычно возникает вопрос о том, считать ли такие прямоугольники «за два или за один»:

Это важный момент, так как математикам часто приходится договариваться о том, какие объекты отождествлять, а какие считать различными.

Обобщение 1. Если брать не прямоугольники, а клеточные многоугольники, то получатся диаграммы Юнга, используя которые, можно доказывать различные неочевидные свойства разбиений натуральных чисел на слагаемые. См. [К4, глава 6]. При очень простой формулировке исходной задачи получаем сложный комбинаторный объект.

Например, такая диаграмма соответствует разбиению 5 = 2 + 2 + 1.

Обобщение 2. Можно фиксировать не площадь, а периметр. Например, рассматривать параллеломино – пары путей на клетчатой бумаге с началом в точке (0, 0) и концом в одной и той же точке, идущих только вверх и вправо и не имеющих общих точек, кроме начала и конца. См. [K3, с. 141].

Ссылка. [К6] С. 360. NN 49-51. План исследования и полное решение.

Нетрудно сообразить, что если у m и n есть нечётный общий делитель больше 1, то он будет и у всех средних, и единицы получить нам не удастся. Далее можно на примерах убедиться, что в других случаях единица получается, и попробовать это доказать. Есть два подхода: сделать набор чисел минимальным или сделать его максимальным.

При первом подходе будем выкидывать из памяти все числа, кроме нуля и двух наименьших. Легко показать, что наибольшее число такого набора всегда можно уменьшить усреднением нечётных чисел и (если надо) сведением числа к нечётному. Тем самым мы можем «спуститься» к единице всегда, кроме случая, когда два числа совпадут. Остаётся изучить условия совпадения.

При втором подходе, наоборот, рассмотрим сразу все числа, которые можно получить усреднением (их конечное количество). Взяв три последовательных числа x<y<z из этого множества, нетрудно доказать, что они равноотстоят друг от друга. Тем самым все числа равноотстоят друг от друга, среди них ноль, n и m. Можно найти интервал между числами – это наибольший нечётный делитель n и m.

От данного большого числа стоит перейти к маленьким: начать с прямоугольников 3 на 5, 3 на 6, 6 на 8 клеток. Если стороны взаимно простые, то диагональ проходит только через две угловые вершины. Если же НОД (M, N) = k > 1, то прямоугольник разбивается на k одинаковых прямоугольников со взаимно простыми сторонами. Остаётся аккуратно учесть концевые точки. Подсчёт пересекаемых клеточек сводится к подсчёту пересекаемых линий и узлов.

Нетрудно доказать, что монетами по 3 и 5 рублей можно уплатить все суммы, начиная с 8 рублей. Если a и b не взаимно простые, то через них можно выразить только те числа, которые делятся на их общий делитель (возможно, не все). Рассмотрим взаимно простые a и b. Наблюдением можно установить, что все числа, начиная с некоторого граничного, выражаются их комбинацией. Зафиксировав a, будем последовательно увеличивать b и находить граничное число. По результатам можно угадать общую формулу для граничного числа (ясно, что a и b должны входить в неё симметрично).

Красивую закономерность можно увидеть, если на числовой оси помечать невыразимые числа красными кружочками, а выразимые – синими. См. доказательство этой закономерности: А.В. Спивак. Арифметика. Бюро Квантум, М., 2007. С. 30-32.

Комментарий. На математическом языке задача звучит так: при каких n разрешимо в целых неотрицательных числах диофантово уравнение ax + by = n?

Однозначных складных чисел четыре: 0, 1, 5, 6. Дву- и многозначные складные числа обязаны кончаться на эти же цифры. Двузначных складных чисел всего два: 25 и 76. Оказывается, каждое из этих чисел можно неограниченно продолжать влево (единственным образом) так, что на каждом шаге будет получаться складное число. Можно найти алгоритм получения следующих цифр. Интересно проверить, являются ли эти последовательности периодическими.

А.А. Кириллов предлагал эту задачу в качестве введения в тему «p-адические числа».

Ссылка. 1. И.М. Гельфанд, А. Шень «Алгебра», М., МЦНМО, 2009. П. 74. Дано краткое понятие о p-адических числах.

2. Коблиц Н. p -адические числа, p -адический анализ и дзета-функции. М.: Мир, 1982.

Обобщение 1. Можно исследовать ситуацию в системах счисления с основанием m. Вопрос связан с появлением делителей нуля по модулю m в получающихся уравнениях.

Обобщение 2. Тотже вопрос про кубы чисел в десятичной системе приводит к ветвлению алгоритма определения следующей цифры.

Поиск чисел с заданным количеством делителей

Эффективно решить сначала обратную задачу: сколько делителей имеет число вида: p, p², pⁿ, pⁿq^m, pⁿq^mr^s и т.д. (p, q, r - простые). Для случая двух различных простых делителей удобно выписать таблицу делителей. Скажем, для p³q²:

Для трёх простых делителей нужна уже трёхмерная таблица. Тем самым угадывается общая закономерность: надо перемножить увеличенные на 1 степени простых множителей. Теперь понятно, что каждое представление числа N в виде натуральных множителей, больших 1, порождает вид числа, имеющего ровно N делителей.

У детей обычно вызывает затруднение переход от двух различных простых делителей к трём (т.е. от двумерной таблице к трёхмерной).

Заметим, что по такой таблице можно найти формулу для суммы всех делителей (это делали древние греки для поиска совершенных чисел) или даже сумму s-тых степеней всех делителей (при s = 0 имеем количество делителей, при s = 1 – их сумму). См. Г. Радемахер, О. Теплиц. Числа и фигуры. ГИФМЛ, М., 1962. С. 152-160.

Эту задачу решал Гаусс, учась в гимназии. Ища закономерность, он вручную разложил дроби вида 1/p для всех простых p <1000. Современная вычислительная техника позволяет делать это легко и быстро.

Сначала стоит составить большую таблицу разложений и попытаться найти закономерности, расклассифицировать дроби по видам. Приведём вопросы, которые могут в этом помочь.

1. Длина периода. Какова наибольшая возможная длина цикла для дроби вида 1/p, 2/p, …, (p-1)/p? Как связаны с ней меньшие возможные длины? Зависит ли ответ от числителя дроби?

2. Как связаны цифры разложений и длины для дробей вида 1/p, 2/p, …, (p-1)/p?

Для обоснования полученных результатов полезно вспомнить, почему любая обыкновенная дробь разлагается в периодическую десятичную. Очередная цифра частного определяется только текущим остатком. Удобнее следить не за цифрами частного, а за остатками.

Задача подводит к малой теореме Ферма и к понимаю структуры циклической группы.

Ссылка. А.В. Спивак. Арифметика. Бюро Квантум, М., 2007. С. 50.

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: