Периодические последовательности

Ссылка. М.Ш. Цаленко « Периодические последовательности». / «Математическое просвещение», № 10, 2006 г. М., МЦНМО. Статья содержит полное решение задач в общем виде.

Обобщение. Можно брать разные известные последовательности по модулю k и пытаться найти период. Некоторые задачи будут лёгкими, а некоторые – очень трудными. Так, для последовательности остатков геометрических прогрессий с_n ≡ qⁿ (mod k) полное решение до сих пор не получено (в силу малой теоремы Ферма для простых значений k период равен какому-то делителю числа k-1; для произвольных значений k Эйлер показал, что период равен какому-то делителю количества чисел, меньших k и взаимно простых с k).

План решения для п. 1).

1. Выпишите остатки от деления квадратов (m = 2) на числа k = 2, 3, 4,..., 9. Найдите для каждого случая периоды.

2. Докажите, что длина периода (какого-то, не обязательно наименьшего) равна k.

3. Как может быть связана длина периода и длина наименьшего периода (для произвольной периодической последовательности)?

4. В каких случаях в нашей таблице наименьший период равен k, а в каких меньше? Сформулируйте и докажите закономерность.

5. Выпишите остатки от деления кубов ( m = 3) на числа k = 2, 3, 4,..., 9. Найдите для каждого случая периоды. В каких случаях наименьший период равен k, а в каких меньше? Сформулируйте и докажите закономерность.

6. Проверьте аналогичную гипотезу для m-x степеней, где m - простое число.

7. Исследуйте ситуацию в случае, когда k - простое число.

8. Исследуйте ситуацию в случае, когда m и k - взаимно простые числа.

9. Исследуйте ситуацию в случае, когда m или k - произведение различных простых чисел.

План решения для п. 2).

1. Выпишите остатки от деления последовательности Фибоначчи на k = 2, 3, 4,... (вручную или с помощью компьютера). Что вы замечаете?

2. Может ли последовательность остатков быть непериодичной? Оцените длину периода из теоретических соображений.

3. Докажите, что любые два соседние члена последовательности Фибоначчи (a_n) полностью определяют всю последовательность (т.е. можно вычислять члены не только вправо, но и влево от этих двух).

4. Может ли последовательность остатков начинать свой первый период не с членов a₀ и a₁, а позже?

5. Сколько чисел Фибоначчи делятся на 2? На 3? На k?

6. Найдите наибольший общий делитель чисел a₉₉ и a₁₀₀. Обобщите.

7. Какими двумя числами начинается первый период? Каким числом он заканчивается?

8. Какое первое число Фибоначчи делится на данное k? Обозначим m номер второго числа, делящегося на k. Найдите номер третьего такого числа.

9. Пусть r — остаток от деления a_m−1 на k. Тогда остатки от деления чисел Фибоначчи на k выглядят как

0, 1, 1, 2, 3,..., r, (mod k)

0, r, r, 2r, 3r,..., r² (mod k)

Проверьте и продолжите последовательность. После какой строчки начнётся повторение?

10. Докажите, что найдётся p такое, что a^p_m−1 ≡ 1(mod k).

11. Сформулируйте теорему, которую вы доказали: “Период последовательности остатков, получающихся при делении чисел Фибоначчи на k > 1, равен...”

12. Исследуйте экспериментально, сколько строк может быть в одном периоде (в таблице пункта 9)? Попытайтесь доказать.

13*. Для дальнейших продвижений можно использовать аналог формулы Бине (если в поле F_k извлекается корень из k, то решение упрощается).

АЛГЕБРА

Классификация графиков дробно-квадратичных функций

Элементы такой работы с сильным классом можно проделать на уроках. Нули знаменателя дают вертикальные асимптоты, нули числителя – пересечение с осью OX, общие нули одного порядка – выколотые точки. Надо рассмотреть все различные расположения нулей.

Симметрические многочлены

Начатьможно с исследования вопроса, любой ли многочлен вида xⁿ + yⁿ можно представить в виде многочлена от u и v. Получите формулу для таких представлений. Как эта задача помогает решить общую задачу?

Многочлен с заданным нулём

Заметим,чтомногочлен минимальной степени, имеющий ноль - квадратный. Искомый многочлен имеет степень заведомо выше 2. Многочлен можно построить длинным, но понятным вычислительным путём: возводя в квадрат, в куб, в четвёртую степень и т.д. и пытаясь подобрать целые коэффициенты в сумме степеней так, чтобы иррациональности «ушли». Если мы не пропустим нужную степень, то получится многочлен наименьшей степени. В принципе, таким же путём можно действовать с суммой трёх корней и т.д., однако громоздкость вычислений быстро нарастает. Можно попробовать угадать структуру найденного многочлена, найдя остальные его нули (аналитически или используя программы типа Maple). Отдельный непростой вопрос – доказать минимальность полученных многочленов.

Обобщение. Рассмотреть задачу для суммы двух и более кубических корней из различных простых чисел.

Иррациональные корни

Очевидно, что, во-первых, при b = 0 (биквадратное уравнение). Далее нужно рассматривать случаи, когда левая часть уравнения раскладывается на два квадратичных множителя. Можно начать с примеров: , - это уравнение приводится к виду: . Описав все такие случаи, надо понять, исчерпывается ли ими вопрос задачи.

Задача имеет геометрическую подоплёку. Имея отрезок длины 1, можно с помощью циркуля и линейки построить все отрезки, длины которых выражаются рациональными числами и квадратичными иррациональностями. А все иррациональности более высоких степеней нельзя изобразить циркулем и линейкой. Именно этим путём Гаусс решил задачу о построении правильного n-угольника. С.Г. Гиндикин. Рассказы о физиках и математиках. МЦНМО, НМУ. 2001. С. 314-330.

Количество решений

1. Можно начать с квадратного уравнения. Для квадратного уравнения x²+px+q =0 на плоскости параметров (p, q) есть две области, разделённые дискриминантной кривой p²-4q=0. Любая точка кривой соответствует уравнению с 1 корнем, точка выше кривой – с 0 корней, ниже – с 2 корнями. Далее, используя теорему Виета, можно найти области, соответствующие различным знакам корней уравнения.

2. Для кубического уравнения особым случаем, аналогичным одному корню квадратного уравнения, является случай двух различных коней. Пусть это корни и , тогда один из них обязательно кратный (нужно обосновать, почему). Из равенства можно получить, при какой зависимости параметров p и q уравнение имеет 2 корня. Соответствующая этой зависимости кривая на плоскости параметров (p, q) разделяет две области: 1 корень и 3 корня.

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: