Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Понятие частотных характеристик





 

Если подать на вход системы с передаточной функцией W(p)гармонический сигнал

то после завершения переходного процесса на выходе установится гармонические колебания

с той же частотой , но иными амплитудой и фазой, зависящими от частоты возмущающего воздействия. По ним можно судить о динамических свойствах системы. Зависимости, связывающие амплитуду и фазу выходного сигнала с частотой входного сигнала, называются частотными характеристиками (ЧХ). Анализ ЧХ системы с целью исследования ее динамических свойств называется частотным анализом.

Подставим выражения для u(t) и y(t) в уравнение динамики

(aоpn + a1pn - 1 + a2pn - 2 + ... + an)y = (bоpm + b1pm-1 + ... + bm)u.

Учтем, что

а значит

pnu = pnUmejwt = Um (jw)nejwt = (jw)nu.

Аналогичные соотношения можно записать и для левой части уравнения. Получим:

По аналогии с передаточной функцией можно записать:

.

W(j ), равная отношению выходного сигнала к входному при изменении входного сигнала по гармоническому закону, называется частотной передаточной функцией. Легко заметить, что она может быть получена путем простой замены p на j в выражении W(p).

W(j ) есть комплексная функция, поэтому:

где P( ) - вещественная ЧХ (ВЧХ); Q( ) - мнимая ЧХ (МЧХ); А( ) - амплитудная ЧХ (АЧХ): ( ) - фазовая ЧХ (ФЧХ). АЧХ дает отношение амплитуд выходного и входного сигналов, ФЧХ - сдвиг по фазе выходной величины относительно входной:

;

Если W(j ) изобразить вектором на комплексной плоскости, то при изменении от 0 до + его конец будет вычерчивать кривую, называемую годографом вектора W(j ), или амплитудно - фазовую частотную характеристику (АФЧХ) (рис.48). Ветвь АФЧХ при изменении от - до 0 можно получить зеркальным отображением данной кривой относительно вещественной оси.


 

В ТАУ широко используются логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) (рис.49): логарифмическая амплитудная ЧХ (ЛАЧХ) L( ) и логарифмическая фазовая ЧХ (ЛФЧХ) ( ). Они получаются путем логарифмирования передаточной функции:

ЛАЧХ получают из первого слагаемого, которое из соображений масштабирования умножается на 20, и используют не натуральный логарифм, а десятичный, то есть L( ) = 20lgA( ). Величина L( ) откладывается по оси ординат в децибелах. Изменение уровня сигнала на 10 дб соответствует изменению его мощности в 10 раз. Так как мощность гармонического сигнала Р пропорциональна квадрату его амплитуды А, то изменению сигнала в 10 раз соответствует изменение его уровня на 20дб,так как

lg(P2/P1) = lg(A22/A12) = 20lg(A2/A1).

По оси абсцисс откладывается частота w в логарифмическом масштабе. То есть единичным промежуткам по оси абсцисс соответствует изменение w в 10 раз. Такой интервал называется декадой. Так как lg(0) = - , то ось ординат проводят произвольно.

ЛФЧХ, получаемая из второго слагаемого, отличается от ФЧХ только масштабом по оси . Величина ( ) откладывается по оси ординат в градусах или радианах. Для элементарных звеньев она не выходит за пределы: - + .



ЧХ являются исчерпывающими характеристиками системы. Зная ЧХ системы можно восстановить ее передаточную функцию и определить параметры.

 

Частотные характеристики типовых звеньев

 

Зная передаточную функцию звена W(p) легко получить все его частотные характеристики. Для этого необходимо подставить в нее j вместо p, получим АФЧХ W(j ). Затем надо выразить из нее ВЧХ P( ) и МЧХ (Q( ). После этого преобразуют АФЧХ в показательную форму и получают АЧХ A( ) и ФЧХ ( ), а затем определяют выражение ЛАЧХ L(w) = 20lgA( ) (ЛФЧХ отличается от ФЧХ только масштабом оси абсцисс).

 

Безынерционное звено

 

Передаточная функция:

W(p) = k.

АФЧХ: W(j ) = k.

ВЧХ: P( ) = k.

МЧХ: Q( ) = 0.

АЧХ: A( ) = k.

ФЧХ: ( ) = 0.

ЛАЧХ: L( ) = 20lgk.

Некоторые ЧХ показаны на рис.50. Звено пропускает все частоты одинаково c увеличением амплитуды в k раз и без сдвига по фазе.

 

Интегрирующее звено

 

Передаточная функция:

W(p) = k/p.

Рассмотрим частный случай, когда k = 1, то есть

W(p) = 1/p.

АФЧХ: W(j ) = .

ВЧХ: P( ) = 0.

МЧХ: Q( ) = - 1/ .

АЧХ: A( ) = 1/ .

ФЧХ: ( ) = - /2.

ЛАЧХ: L( ) = 20lg(1/ ) = - 20lg( ).

ЧХ показаны на рис.51. Все частоты звено пропускает с запаздыванием по фазе на 90о. Амплитуда выходного сигнала увеличивается при уменьшении частоты, и уменьшается до нуля при росте частоты (звено "заваливает" высокие частоты). ЛАЧХ представляет собой прямую, проходящую через точку L( ) = 0 при = 1. При увеличении частоты на декаду ордината уменьшается на 20lg10 = 20дб, то есть наклон ЛАЧХ равен - 20 дб/дек (децибел на декаду).

 

Апериодическое звено

 

При k = 1 получаем следующие выражения ЧХ:

W(p) = ;

;

;

;

( ) = 1 - 2 = - arctg( T);

;

L( ) = 20lg(A( )) = - 10lg(1 + ( T)2).

Здесь A1 и A2 - амплитуды числителя и знаменателя ЛФЧХ; 1 и 2 - аргументы числителя и знаменателя. ЛФЧХ:

ЧХ показаны на рис.52. АФЧХ есть полуокружность радиусом 1/2 с центром в точке P = 1/2. При построении асимптотической ЛАЧХ считают, что при < 1 = 1/T можно пренебречь ( T)2 выражении для L( ), то есть L( ) - 10lg1 = 0.. При > 1 пренебрегают единицей в выражении в скобках, то есть L(w) - 20lg(wT). Поэтому ЛАЧХ проходит вдоль оси абсцисс до сопрягающей частоты, затем - под наклоном - 20 дб/дек. Частота w1 называется сопрягающей частотой. Максимальное отличие реальных ЛАЧХ от асимптотических не превышает 3 дб при = 1.

ЛФЧХ асимптотически стремится к нулю при уменьшении w до нуля (чем меньше частота, тем меньше искажения сигнала по фазе) и к - /2 при возрастании до бесконечности. Перегиб в точке = 1 при ( ) = - /4. ЛФЧХ всех апериодических звеньев имеют одинаковую форму и могут быть построены по типовой кривой с параллельным сдвигом вдоль оси частот.

 









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.