КОРПУСКУЛЯРНО – ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ
Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







КОРПУСКУЛЯРНО – ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ





Лекция 9

 

КОРПУСКУЛЯРНО – ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ

Волны де Бройля

 

При возрастании частоты света его волновые свойства обнаружить все труднее. Де Бройль предположил, что двойственная природа света характерна не только для света (поток фотонов), но и для всех элементарных частиц: электронов, протонов, нейтронов и др. Если импульс фотона

рф = h/l, (3.1)

имеет универсальный характер для любых волновых процессов, происходящих с частицами, то можно найти длину волны частиц (волну де Бройля)

l = h/p = h/mv, (3.2)

где m - масса частицы; v - ее скорость (v < c).

Если частица имеет кинетическую энергию

Wk = mv2/2 = p2/(2m), (3.3)

то ее импульс . (3.4)

Поэтому формула (8.2) принимает вид

l = h / . (3.5)

Например, для электрона (заряд |qe|) ускоренного в электрическом поле с разностью потенциалов Dj, согласно закону сохранения энергии, имеем

mv2/2 =½qe½Dj. (3.6)

С учетом этого длину волны электрона [формула (8.5)] можно найти по выражению l = h / . (3.7)

Формула де Бройля была подтверждена в опытах Дэвиссона и Джермера, которые наблюдали дифракцию электронов при их рассеянии на монокристаллическом никеле (фольга) 2dsinq = nl, (3.8)

Рис. 3.1

где d - период кристаллической решетки никеля; q - угол рассеяния электронов; n = 1, 2, 3, ... - порядок дифракционного максимума; l - длина волны электрона.

При Dj = 54 В [по формуле (3.7)] электрон имеет длину волны l = 1,67×10-10 м. При n = 1 [по формуле (3.8)] имеем l = 1,65×10-10 м, что подтверждает справедливость теории. При облучении пучком электронов тонких поликристаллических пленок (h = 10-7 м) на экране наблюдалась дифракционная картина в виде чередующихся концентрических колец максимумов и минимумов (рис. 3.1). Позднее наблюдали дифракцию нейтронов, протонов и др. элементарных частиц, что убедительно доказывает справедливость формулы де Бройля.



Природа волн де Бройля

При движении свободного электрона с длиной волны l он характеризуется энергией

e = W = hn. (3.9)

В векторной форме формулу де Бройля запишем в виде

, (3.10)

где - вектор импульса электрона; - волновой вектор (модуль k = ).

При наличии у среды дисперсии необходимо учитывать фазовую vф и групповую u скорости, связь между которыми определяется формулой

, (3.11)

где .

Используя формулы

W = hn, k = , ,

имеем для фазовой скорости частицы

(3.12)

где W - полная энергия частицы; v - скорость движения частицы; w = 2pn - циклическая частота.

Следовательно, любые волны де Бройля испытывают дисперсию, т. к. vф ~l.

Групповую скорость волн де Бройля найдем по формуле

, т. е.

. (3.13)

Для свободной частицы формула

(3.14)

связывает полную энергию W частицы с ее импульсом p и массой m частицы.

Следовательно, групповая скорость волн де Бройля

,

т. е. u = vф , (3.15)

Установлено, что распространение волн де Бройля не связано с распространением в пространстве электромагнитных волн, каких-либо других, известных ранее. Волны де Бройля (волны материи), связанные с движением частиц вещества, имеют квантовую природу, не знающую аналогов в классической физике.

Ответ на вопрос о природе волн, вызванных движением частиц материи, можно найти из физического смысла амплитуды этих волн. Для этого рассматривают интенсивность J, которая пропорциональна квадрату модуля амплитуды, т. е. J ~ |A2|. (3.16)

С волновой точки зрение наличие максимума частиц в некоторых направлениях (например, дифракция электронов), обусловлено наибольшей интенсивностью волн де Бройля.

Следовательно, как показал Борн, интенсивность волн де Бройля в данной точке пространства определяет число частиц (электронов) n, попавших в эту точку за единицу времени, т. е. J ~ |A2| ~ n. (3.17)

Это положение послужило основанием для статистического, вероятностного истолкования существования волн де Бройля, а именно:

квадрат модуля амплитуды (интенсивность) волн де Бройля в данной точке пространства является мерой вероятности того, что частица находится в данной точке.

Энергии основного состояния атома водорода

После вычисления получим

r1 » 5×10 -11 м.

Для энергии основного состояния атома водорода получим

W1 = – m qe4 / (8p2e02h2).

 

W1 = – 13,6 эВ

или

W1 = – 2,176 ×10 -18 Дж.

 

Пример 2. Энергия нулевых колебаний одномерного

Гармонического осциллятора.

 

В качестве одномерного гармонического осциллятора рассмотрим колебания груза на пружине (пружинный маятник), который характеризуется потенциальной энергией

Wр = k x2 / 2,

представляющий собой, параболическую потенциальную яму.

Для оценки минимально возможной полной энергии осциллятора применим соотношения неопределенностей Гейзенберга.

Полная механическая энергия данного осциллятора

W = Wк + Wр,

где Wк = pх2 / (2m) – кинетическая энергия осциллятора; Wр = k x2 / 2.

Следовательно,

W = pх2 / (2m) + k x2 / 2.

Согласно классической механике минимум полной энергии W = 0 соответствует х = 0 и рх = 0, т. е. пружинный маятник неподвижен.

При рассмотрении квантового случая должны учесть, что одновременно точные значения координаты (х) и проекции импульса на ось х (рх) указать невозможно.

Согласно, принципа неопределенностей Гейзенберга, имеем

Dх × Dрх ³ h /(4p).

Если положим, что Dх » х ; Dрх » рх или по порядку величины х × рх » h / (2p), т. е. рх ~ h /(2px).

При переходе к равенству рх = h /(2px) для полной энергии осциллятора будем иметь

W = h2 /(8p2mx2) + k x2 / 2.

Перейдем к условию минимума энергии:

 

dW /dx = – h2 /(4p2mx3) + k x = 0.

 

Корень этого уравнения запишем в виде

.

Тогда минимальное значение полной энергии рассматриваемого квантового осциллятора

W0 = hw /(2p).

 

или

W0 = hn,

где

– собственная круговая частота осциллятора; w = 2pn.

Данная оценка отличается от точного значения только численным множителем 1/2.

Полная энергия квантового осциллятора называется энергией нулевых колебаний гармонического осциллятора.

 

Лекция 9

 

КОРПУСКУЛЯРНО – ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ

Волны де Бройля

 

При возрастании частоты света его волновые свойства обнаружить все труднее. Де Бройль предположил, что двойственная природа света характерна не только для света (поток фотонов), но и для всех элементарных частиц: электронов, протонов, нейтронов и др. Если импульс фотона

рф = h/l, (3.1)

имеет универсальный характер для любых волновых процессов, происходящих с частицами, то можно найти длину волны частиц (волну де Бройля)

l = h/p = h/mv, (3.2)

где m - масса частицы; v - ее скорость (v < c).

Если частица имеет кинетическую энергию

Wk = mv2/2 = p2/(2m), (3.3)

то ее импульс . (3.4)

Поэтому формула (8.2) принимает вид

l = h / . (3.5)

Например, для электрона (заряд |qe|) ускоренного в электрическом поле с разностью потенциалов Dj, согласно закону сохранения энергии, имеем

mv2/2 =½qe½Dj. (3.6)

С учетом этого длину волны электрона [формула (8.5)] можно найти по выражению l = h / . (3.7)

Формула де Бройля была подтверждена в опытах Дэвиссона и Джермера, которые наблюдали дифракцию электронов при их рассеянии на монокристаллическом никеле (фольга) 2dsinq = nl, (3.8)

Рис. 3.1

где d - период кристаллической решетки никеля; q - угол рассеяния электронов; n = 1, 2, 3, ... - порядок дифракционного максимума; l - длина волны электрона.

При Dj = 54 В [по формуле (3.7)] электрон имеет длину волны l = 1,67×10-10 м. При n = 1 [по формуле (3.8)] имеем l = 1,65×10-10 м, что подтверждает справедливость теории. При облучении пучком электронов тонких поликристаллических пленок (h = 10-7 м) на экране наблюдалась дифракционная картина в виде чередующихся концентрических колец максимумов и минимумов (рис. 3.1). Позднее наблюдали дифракцию нейтронов, протонов и др. элементарных частиц, что убедительно доказывает справедливость формулы де Бройля.

Природа волн де Бройля

При движении свободного электрона с длиной волны l он характеризуется энергией

e = W = hn. (3.9)

В векторной форме формулу де Бройля запишем в виде

, (3.10)

где - вектор импульса электрона; - волновой вектор (модуль k = ).

При наличии у среды дисперсии необходимо учитывать фазовую vф и групповую u скорости, связь между которыми определяется формулой

, (3.11)

где .

Используя формулы

W = hn, k = , ,

имеем для фазовой скорости частицы

(3.12)

где W - полная энергия частицы; v - скорость движения частицы; w = 2pn - циклическая частота.

Следовательно, любые волны де Бройля испытывают дисперсию, т. к. vф ~l.

Групповую скорость волн де Бройля найдем по формуле

, т. е.

. (3.13)

Для свободной частицы формула

(3.14)

связывает полную энергию W частицы с ее импульсом p и массой m частицы.

Следовательно, групповая скорость волн де Бройля

,

т. е. u = vф , (3.15)

Установлено, что распространение волн де Бройля не связано с распространением в пространстве электромагнитных волн, каких-либо других, известных ранее. Волны де Бройля (волны материи), связанные с движением частиц вещества, имеют квантовую природу, не знающую аналогов в классической физике.

Ответ на вопрос о природе волн, вызванных движением частиц материи, можно найти из физического смысла амплитуды этих волн. Для этого рассматривают интенсивность J, которая пропорциональна квадрату модуля амплитуды, т. е. J ~ |A2|. (3.16)

С волновой точки зрение наличие максимума частиц в некоторых направлениях (например, дифракция электронов), обусловлено наибольшей интенсивностью волн де Бройля.

Следовательно, как показал Борн, интенсивность волн де Бройля в данной точке пространства определяет число частиц (электронов) n, попавших в эту точку за единицу времени, т. е. J ~ |A2| ~ n. (3.17)

Это положение послужило основанием для статистического, вероятностного истолкования существования волн де Бройля, а именно:

квадрат модуля амплитуды (интенсивность) волн де Бройля в данной точке пространства является мерой вероятности того, что частица находится в данной точке.









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.