Л Е К Ц И И № № 1 1 – 1 2 . К О Л Е Б А Т Е Л Ь Н Ы Е П Р О Ц Е С С Ы

В природе и технике часто происходят процессы, повторяющиеся во времени. Такие процессы называются колебаниями.

Качания маятника часов, волны на воде, переменный электрический ток, свет, звук, и т.д. являются примерами колебаний различных физических величин. Все эти процессы качественно отличаются друг от друга, но оказывается, что количественные закономерности (т. е. математические выражения) этих процессов имеют много общего. Именно это обстоятельство придает учению о колебаниях его важное значение. Изучая на этих двух лекциях механические колебания, мы получим также знания - в других областях, например, из области электромагнитных колебаний, радиотехники, оптики, и др.

Гармонические колебания

Рассмотрим движение этого грузика под действием однократно приложенной силы. Отклонение обозначим через х, и предположим, что имеем дело с абсолютно упругой пружиной. В этом случае пружина действует на груз с упругой силой F, пропорциональной смещению х и направленной в сторону обратную смещению, т. e. F = - kx, где k - коэффициент пропорциональности, называемый также жесткостью пружины. Знак "минус" означает, что сила упругости противодействует смещению.

В физике встречаются силы иного происхождения, чем упругие, которые обнаруживают такую же закономерность, т. е. оказываются равными - kx, где k – постоянная положительная величина.

Силы такого вида, независимо от их природы, принято называть квазиупругими.

Под действием этой однократно приложенной силы грузик начнет совершать колебания.

Механическая система, совершающая колебания около положения равновесия, называется классическим осциллятором.

Промежуток времени, по истечению которого движение повторится, называется периодом колебания и обозначается Т, [Т] = с.

Частота колебаний равна числу полных колебаний за 1 с: . Частота измеряется в Гц. 1 Гц - это одно колебание за 1 с. В технике частоты измеряются также в килогерцах (1 кГц = 10³ Гц), мегагерцах (1 Мгц = 10⁶ Гц), гигагерцах (1ГГц = 10⁹ Гц).

Выведем уравнение колебаний гармонического осциллятора.

Напишем 2-й закон Ньютона: F = та, где F = -kx, а ускорение . В итоге получаем или

, (1)

где . (2)

Уравнение (1) является обыкновенным линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решением будет:

или , (3)

где А - амплитуда колебаний, т. е. наибольшее отклонение колеблющегося грузика от положения равновесия; оно задается начальными условиями при однократном приложении силы.

Поскольку значения как cos так и sin через 2p радиан повторяются, то можно найти связь между периодом Т₀ и , откуда

(4)

График этого уравнения приведен на рис. 2. Из (2) и (4) следует, что период колебания не зависит от амплитуды колебаний А.

Скорость (5)

пропорциональна амплитуде и круговой частоте, и отличается по фазе от смещения (3) на . Максимальная скорость .

Ускорение (6)

пропорционально A и , и по направлению совпадает с направлением силы , а по фазе отличается от скорости (6) на , и от смещения (3) – на . Максимальное ускорение .

Простейшее периодическое колебание, при котором смещение изменяется со временем по закону cos или sin называется гармоническим колебанием.

Как следует из (5) и (6) скорость и ускорение колеблющегося груза изменяется со временем также по гармоническому закону, т. е. по закону sin и cos.

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: