Свободные затухающие колебания
Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Свободные затухающие колебания





Кроме силы упругости F = - kx на тело действуют также сила сопротивления, которая при медленных движениях пропорциональна скорости, т. е. , где r - коэффициент сопротивления, с размерностью [r] = кг/с.

С учетом сказанного, уравнение движения тела ( 2-й закон Ньютона ) ma=F будет иметь вид , или, разделив на массу т правую и левую части такого уравнения, имеем :

Рис. 9
, (16)

где - коэффициент затухания; . Его решение будет

Рис. 10
. (17)

Анализируя (17), можно видеть, что:

1) при ,

т.е. движение получается непериодическим, рис. 9; его называют апериодическим, т.к. тело монотонно стремится к положению равновесия.

2) при (18)

где - амплитуда, а

. (19)

Из (19) следует, что затухающие колебания не являются строго гармоническими, их амплитуда A(t), уменьшается с течением времени и тем быстрее, чем больше коэффициент затухания (рис. 10).

Логарифмический декремент затухания

Натуральный логарифм отношения отклонения системы в моменты времени t и называется логарифмическим декрементом затухания:

.(20)

Величина, обратная , показывает число колебаний, совершаемых за время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е = 2,7182 раз.

Величина (21)

называется добротностью колебательной системы.

Заметим, что рассмотренная колебательная система является диссипативной, т.к. ее механическая энергия постепенно уменьшается с течением времени за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии.

Вынужденные колебания

Они возникают при действии на систему внешней периодически изменяющейся силы (вынуждающей силы) , (22)

где - круговая частота вынуждающей силы.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний с учетом затухания запишется в виде:



m(d2x/dt2) = -kx - r(dx/dt) + Fmcos t.

Перепишем это уравнение в виде:

. (23)

Таким образом, получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решением такого уравнения будет , где – общее решение однородного уравнения (23), (т. е. уравнения (23) с правой частью, равной нулю). Согласно (17)

и с течением времени . Поэтому .

Из решения (23) следует, что (24)

где , (25)

. (26)

Из анализа (25) следует, что хотя амплитуда вынуждающей силы Fm, остается постоянной, амплитуда А вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы.

Исследуя (25) на экстремум, можно показать, что только при резонансной частоте

Рис. 11
(27)

амплитуда вынужденных колебаний достигает максимальной величины: . (28)

Это явление называется резонансом.

На рис. 11 приведена зависимость амплитуды А вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы , которая определяется формулой (25); (откуда: при = 0 находим , а при имеем , что объясняется инерционностью колебательной системы).

Явление резонанса, состоящее в резком увеличении амплитуды колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к резонансной частоте, широко используется в технике. Его следует учитывать при конструировании машин, кораблей, самолетов и т.д. Необходимо, чтобы их резонансные частоты не совпадали с частотой вынуждающих внешних воздействий.

 

 

При написании конспекта лекций использовались известные учебники по физике, изданные в период с 1923 г. (Хвольсон О. Д. «Курс физики») до наших дней (Детлаф А. А., Яворский Б. М., Савельев И. В., Сивухин Д. В., Трофимова Т. И., Суханов А. Д. и др.).

 

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ ПО ФИЗИКЕ

ЧАСТЬ I

1. Классическая механика и границы ее применимости. Материальная точка. Система отсчета. Кинематические уравнения (Введение, 1.1).

2. Траектория, путь, перемещение. Средняя и мгновенная скорости. Равномерное прямолинейное движение (1.1, 1.1.1).

3. Ускорение. Нормальная и тангенциальная составляющие ускорения. Равнопеременное движение (1.1.2).

4. Движение материальной точки по окружности. Угол поворота, угловая скорость, угловое ускорение (1.1.3).

5. Связь между линейными и угловыми кинематическими характеристиками. Период и частота вращения (1.1.3).

6. Первый закон Ньютона. Инерциальные и неинерциальные системы отсчета (2.1).

7. Сила. Масса. Импульс материальной точки. Второй закон ньютона как уравнение движения (2.2).

8. Третий закон Ньютона. Виды сил в механике (2.3, 2.4).

9. Гравитационные силы. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести, вес тела (2.4.1).

10. Силы упругости. Закон Гука (2.4.2).

11. Силы внешнего и внутреннего трения. Коэффициент трения (2.4.3).

12. Система материальных точек. Внешние и внутренние силы. Замкнутая система (лекция 3, введение).

13. Импульс системы материальных точек. Закон сохранения импульса (3.1).

14. Центр масс и закон его движения. Система центра масс (3.2).

15. Работа постоянной и переменной сил. Мощность (4.1).

16. Консервативные и неконсервативные силы. Связь между силой и потенциальной энергией (4.4).

17. Работа сил упругости. Потенциальная энергия упруго деформированного тела (4.5.1).

18. Работа гравитационных сил. Потенциальная энергия материальной точки в поле сил тяготения (4.5.1).

19. Работа силы тяжести. Потенциальная энергия материальной точки в поле сил тяжести (4.5.3).

20. Виды механической энергии. Кинетическая энергия и работа (5.1).

21. Закон сохранения механической энергии. Общефизический закон сохранения и превращения энергии (5.2, 5.4).

22. Абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары (5.3).

23. Момент силы и момент импульса относительно неподвижной точки и относительно оси (6.1, 6.2).

24. Уравнение моментов для материальной точки относительно неподвижной точки (6.2).

25. Уравнение моментов для системы материальных точек относительно оси (6.2).

26. Закон сохранения момента импульса системы материальных точек (6.3).

27. Абсолютно твердое тело. Степени свободы, обобщенные координаты. Уравнения движения и равновесия твердого тела (7.1 – 7.3).

28. Момент импульса абсолютно твердого тела относительно оси вращения (7.4).

29. Момент инерции тела относительно оси вращения. Теорема Штейнера (7.4, 7.5).

30. Основное уравнение динамики вращательного движения абсолютно твердого тела относительно неподвижной оси (7.4).

31. Кинетическая энергия при плоском движении абсолютно твердого тела. Кинетическая энергия вращения (7.6).

32. Работа и мощность при вращательном движении (7.7).

33. Преобразования Галилея. Закон сложения скоростей в классической механике. Механический принцип относительности (8.1).

34. Постоянство скорости света в вакууме. Опыты Майкельсона-Морли (8.2).

35. Постулаты Эйнштейна. Преобразования Лоренца (8.2, 8.3).

36. Следствия из преобразований Лоренца: замедление времени и сокращение длины тел. Интервал (8.3)

37. Закон сложения скоростей в релятивистской механике (8.4).

38. Масса в ньютоновской и релятивистской механике (8.5.1).

39. Энергия, импульс в релятивистской механике (8.5.2).

40. Основное уравнение релятивистской динамики. Закон сохранения релятивистского импульса (8.5.3).

41. Кинетическая энергия релятивистской частицы. Закон сохранения энергии (8.5.4).

42. Пространство-время как форма существования материи (8.6).

43. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решение (на примере пружинного маятника) (11.1).

44. Уравнение, график и основные характеристики гармонических колебаний (11.1).

45. Скорость, ускорение и энергия гармонических колебаний (11.1, 11.2).

46. Сложение гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты (11.5).

47. Сложение гармонических колебаний одинакового направления с близкими частотами (11.5).

48. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний (11.6).

49. Математический маятник (11.7.1).

50. Физический маятник (11.7.3).

51. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение (11.8).

52. Уравнение затухающих колебаний. Коэффициент затухания. Логарифмический декремент затухания. Добротность (11.8, 11.8.1).

53. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение (11.9).

54. Амплитуда и фаза вынужденных установившихся колебаний. Резонанс и его применение (11.9).

 









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.