ПОТОК СОБЫТИЙ ПРОСТЕЙШИЙ ПОТОК И ЕГО СВОЙСТВА

При рассмотрении случайных процессов, протекающих в системах с дискретными состояниями и непрерывным временем, часто приходит­ся встречаться с так называемыми «потоками событий».

Потоком событий называется последовательность одно­родных событий, следующих одно за другим в какие-то, вообще гово­ря, случайные моменты времени.

Примерами могут быть:

– поток вызовов на телефонной станции;

– поток включений приборов в бытовой электросети;

– поток грузовых составов, поступающих на железнодорожную станцию;

– поток неисправностей (сбоев) вычислительной машины;

– поток выстрелов, направляемых на цель, и т. д.

При рассмотрении процессов, протекающих в системе с дискрет­ными состояниями и непрерывным временем, часто бывает удобно представлять себе процесс так, как будто переходы системы из состоя­ния в состояние происходят под действием каких-то потоков со­бытий (поток вызовов, поток неисправностей, поток заявок на об­служивание, поток посетителей и т. д.) Поэтому имеет смысл рассмот­реть подробнее потоки событий и их свойства.

Будем изображать поток событий последовательностью точек на оси времени 0t (рис.15). Пользуясь таким изображением, не надо за­бывать, что положение каждой точки на оси абсцисс случайно.

Поток событий называется регулярным, если события сле­дуют одно за другим через строго определенные промежутки времени. Такой поток сравнительно редко встречается на практике, но представ­ляет определенный интерес как предельный случай.

При исследовании операций чаще приходится встречаться с пото­ками событий, для которых и моменты наступления событий и проме­жутки времени между ними случайны.

В данном параграфе мы рассмотрим потоки событий, обладающие некоторыми особо простыми свойствами. Для этого введем ряд опреде­лений.

1. Поток событий называется стационарным, если вероят­ность попадания того или иного числа событий на участок времени длиной τ (рис. 15) зависит только от длины участка и не зави­сит от того, где именно на оси 0t расположен этот участок,

2. Поток событий называется потоком без последей­ствия, если для любых непересекающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько со­бытий попало на другой (или другие, если рассматривается больше двух участков).

3. Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок двух или более событий пренебре­жимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.

Рассмотрим подробнее эти три свойства потоков и посмотрим, ка­ким физическим условиям они соответствуют и за счет чего могут на­рушаться.

Стационарность потока означает его однородность по времени; вероятностные характеристики такого потока не должны ме­няться в зависимости от времени. В частности, так называемая интен­сивность (или «плотность») потока событий – среднее число собы­тий в единицу времени – для стационарного потока должна оставать­ся постоянной. Это, разумеется, не значит, что фактическое число собы­тий, появляющихся в единицу времени, постоянно – нет, поток может иметь местные сгущения и разрежения. Важно, что для стационарного потока эти сгущения и разрежения не носят закономерного характера, а среднее число событий, попадающих на единичный участок времени, остается постоянным для всего рассматриваемого периода.

На практике часто встречаются потоки событий, которые (по край­ней мере, на ограниченном участке времени) могут рассматриваться как стационарные. Например, поток вызовов, поступающих на теле­фонную станцию, скажем, на интервале от 12 до 13 часов может счи­таться стационарным. Тот же поток в течение целых суток уже не будет стационарным (ночью интенсивность потока вызовов гораздо меньше, чем днем). Заметим, что так же обстоит дело и с большинством физи­ческих процессов, которые мы называем «стационарными» – в действи­тельности они стационарны только на ограниченном участке времени, а распространение этого участка до бесконечности – лишь удобный прием, применяемый в целях упрощения.

Отсутствие последействия в потоке означает, что события, образующие поток, появляются в последовательные моменты времени независимо друг от друга. Например, поток пассажи­ров, входящих на станцию метро, можно считать потоком без после­действия, потому что причины, обусловившие приход отдельного пас­сажира именно в данный момент, а не в другой, как правило, не свя­заны с аналогичными причинами для других пассажиров. Если такая зависимость появляется, условие отсутствия последействия оказы­вается нарушенным.

Рассмотрим, например, поток грузовых поездов, идущих по же­лезнодорожной ветке. Если, по условиям безопасности, они не могут следовать один за другим чаще, чем через интервал времени τ₀, то между событиями в потоке имеется зависимость, и условие отсутствия последействия нарушается. Если интервал τ₀ мал по сравнению со средним интервалом между поездами , такое нарушение несуществен­но, но если интервал τ₀ сравним с , его приходится учитывать.

Ординарность потока означает, что события в потоке приходят поодиночке, а не парами, тройками и т. д. Например, поток клиентов, направляющихся в парикмахерскую, практически можно считать ординарным, чего нельзя сказать о потоке клиентов, направляющихся в ЗАГС для регистрации брака. Поток атак истре­бителей по бомбардировщику, находящемуся над вражеской террито­рией, ординарен, если они атакуют цель поодиночке, и не ордина­рен, если они идут в атаку парами или тройками.

Если в неординарном потоке события происходят только парами, только тройками и т. д., то можно его рассматривать как ординарный «поток пар», «поток троек» и т. д. Несколько сложнее обстоит дело, если число событий, образующих «пакет» (группу одновременно при­ходящих событий) случайно. Тогда приходится наряду с потоком пакетов рассматривать случайную величину X – число событий в па­кете, и математическая модель потока становится более сложной: он представляет собой не только последовательность моментов появления пакетов, но и последовательность случайных величин – чисел собы­тий в каждом пакете (рис. 16), где х₁, х₂, …, x_t,... –значения, принятые случайной величиной X в первом, втором и т. д. пакетах. Пример неординарного потока событий со случайным числом событий в пакете – поток товарных вагонов, прибывающих на сортировочную станцию («пакетом» является поезд).

Рассмотрим поток событий, обладающий всеми тремя свойствами: стационарный, без последействия, ординарный. Такой поток назы­вается простейшим (или стационарным пуассоновским) потоком. Название «простейший» связано с тем, что математическое описание со­бытий, связанных с простейшими потоками, оказывается наиболее простым. Отметим, между прочим, что «самый простой», на первый взгляд, регулярный поток со строго постоянными интервалами между событиями отнюдь не является «простейшим» в вышеназванном смыс­ле слова: он обладает ярко выраженным последействием, так как мо­менты появления событий связаны между собой жесткой функцио­нальной зависимостью. Именно из-за этого последействия анализ про­цессов, связанных с регулярными потоками, оказывается, как правило, труднее, а не легче по сравнению с простейшими.

Простейший поток играет среди других потоков особую роль. А именно, можно доказать, что при суперпозиции (взаимном наложе­нии) достаточно большого числа потоков, обладающих последействием (лишь бы они были стационарны и ординарны), образуется суммарный поток, который можно считать простейшим, и тем точнее, чем большее число потоков складывается.

Если поток событий не имеет последействия, ординарен, но не стационарен, он называется нестационарным пуассо­новским потоком. В таком потоке интенсивность λ (среднее число событий в единицу времени) зависит от времени:

λ = λ(t),

тогда как для простейшего потока

λ = const.

Пуассоновский поток событий (как стационарный, так и неста­ционарный) тесно связан с известным распределением Пуас­сона. А именно, число событий потока, попадающих на любой участок, распределено по закону Пуассона.

Поясним, что это означает. Рассмотрим на оси 0t, где наблюдается поток событий, некоторый участок времени длины τ (см. рис 17), начинающийся в момент t₀ и заканчивающийся в момент t₀ + τ. Не­трудно доказать (доказательство дается во всех курсах теории ве­роятностей), что вероятность попадания на этот участок ровно m событий выражается формулой:

(m=0, 1, …), (4.1)

где а – среднее число событий, приходящееся на участок τ.

Для стационарного (простейшего) пуассоновского потока величи­на а равна интенсивности потока, умноженной на длину интервала:

а = λτ,

т. е. не зависит от того, где на оси 0t взят участок τ. Для нестацио­нарного пуассоновского потока величина а выражается формулой:

и, значит, зависит от того, в какой точке t₀ начинается участок τ.

Рассмотрим на оси 0t простейший поток событий с интенсивностью λ (рис. 18). Нас будет интересовать интервал времени Т между соседними событиями в этом потоке. Очевидно, Т есть величина случай­ная; найдем ее закон распределения. Сначала найдем функцию рас­пределения:

F(t)=P(T < t),

т. е. вероятность того, что величина Т примет значение, меньшее, чем t.

Отложим от начала интервала Т (точки t) отрезок t и найдем вероят­ность того, что интервал Т будет меньше t. Для этого нужно, чтобы на участок длины t, примыкающий к точке t₀, попало хотя бы одно событие потока. Вычислим вероятность этого F(t) через вероятность противоположного события (на участок t не попадет ни одного события потока):

F(t) = 1 – P₀

Вероятность Р₀ найдем по формуле (4.1), полагая m = 0:

,

откуда функция распределения величины Т будет:

F(t) = 1 – e^–λt (t > 0) (4.2)

Чтобы найти плотность распределения f(t) случайной величины Т, продифференцируем выражение (4.2) по t:

f(t) = λe^–λt (t > 0) (4.3)

Закон распределения с плотностью (4.3) называется показа­тельным (или экспоненциальным). График его имеет вид, пред­ставленный на рис.19. Величина λ называется параметром показательного закона.

В заключении выведем выражение для так называемого «элемента вероятности появления события».

Рассмотри на оси 0t простейший поток событий с интенсивностью l и элементарный участок Dt, прилежащий к точке t (рис. 20).

Найдем вероятность того, что на участке Dt появится какое-то событие потока, т.е. участок не будет «пуст». Так как поток ординарен, вероятностью появления на участке Dt более чем одного события можно пренебречь. Обозначим P₀(Dt) вероятность того, что на участке Dt не будет события, а P₁(Dt) – вероятность того, что на нем появится одно событие. В силу ординарности потока

P₁(Dt)» 1 – P₀(Dt),

а вероятность P₀(Dt) вычисляем по формуле (4.1):

,

откуда

P₁(Dt)» 1 – .

Разлагая в ряд по степеням lDt и пренебрегая величинами высшего порядка малости, получим:

P₁(Dt)» 1 – (1 – lDt).

Отсюда

P₁(Dt)» lDt, (4.7)

т.е. вероятность появления на элементарном участке времени Dt какого-то события приближенно равна lDt, где l – интенсивность потока. Эту вероятность будем называть «элементом вероятности появления события».

Очевидно, что такая же формула будет справедлива и для нестационарного пуассоновского потока, с той разницей, что величину l нужно брать равной ее значению в той точке t, к которой примыкает участок Dt:

P₁(Dt)» l(t)Dt.

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: