ПУАССОНОВСКИЕ ПОТОКИ СОБЫТИЙ И НЕПРЕРЫВНЫЕ МАРКОВСКИЕ ЦЕПИ

Рассмотрим некоторую физическую систему S с дискретными со­стояниями S₁,S₂,...,S_n, которая переходит из состояния в состояние под влиянием каких-то случайных событий, например, вызовы на теле­фонной станции, выходы из строя (отказы) элементов аппаратуры, вы­стрелы, направленные по цели и т. д.

Будем себе это представлять так, будто события, переводящие си­стему из состояния в состояние, представляют собой какие-то пото­ки событий (потоки вызовов, потоки отказов, потоки выстрелов и т. д.).

Пусть система S с графом состояний, показанным на рис. 21, в момент t находится в состоянии S_i и может перейти из него в состоя­ние S_j под влиянием какого-то пуассоновского потока событий с ин­тенсивностью l_ij: как только появляется первое событие этого потока, система мгновенно переходит (перескакивает) из S_i в S_j. Как мы знаем, вероятность этого перехода за элементарный промежуток времени Dt (элемент вероятности перехода) равна l_ijDt. Таким образом, плотность вероятности Перехода l_ij в непрерывной цепи Маркова представляет собой не что иное, как интенсивность потока событий, переводящего систему по соответствующей стрелке.

Если все потоки событий, переводящие систему S из состояния в состояние, пуассоновские (стационарные или нестационарные – безразлично), то процесс, протекающий в системе, будет марковским. Действительно, пуассоновский поток обладает отсутствием последей­ствия, поэтому, при заданном состоянии системы в данный момент, ее переходы в другие состояния в будущем обусловлены только появле­нием каких-то событий в пуассоновских потоках, а вероятности появ­ления этих событий не зависят от «предыстории» процесса.

В дальнейшем, рассматривая марковские процессы в системах с дискретными состояниями и непрерывным временем (непрерывные марковские цепи), нам удобно будет во всех случаях рассматривать переходы системы из состояния в состояние как происходящие под вли­янием каких-то потоков событий, хотя бы в действительности эти события были единичными. Например, работающее техническое устройство мы будем рассматривать как находящееся под действием потока отказов, хотя фактически оно может отказать толь­ко один раз. Действительно, если устройство отказывает в тот момент, когда приходит первое событие потока, то совершенно все рав­но — продолжается после этого поток отказов или же прекращает­ся: судьба устройства от этого уже не зависит. Для нас же будет удобнее иметь дело именно с потоками событий.

Итак, рассматривается система S, в которой переходы из состоя­ния в состояние происходят под действием пуассоновских потоков со­бытий с определенными интенсивностями. Проставим эти интенсив­ности (плотности вероятностей переходов) на графе состояний систе­мы у соответствующих стрелок. Получим размеченный граф состояний (рис. 21); по которому, пользуясь правилом, сформулированным в § 3, можно сразу записать дифференциальные уравнения Колмо­горова для вероятностей состояний.

Пример 1. Техническая система S состоит из двух узлов: I и II; каждый из них независимо от другого может отказывать (выходить из строя). Поток от­казов первого узла — пуассоновский, с интенсивностью l₁, второго — также пуассоновский, с интенсивностью l₂. Каждый узел сразу после отказа на­чинает ремонтироваться (восстанавливаться). Поток восстановлений (окончаний ремонта ремонтируемого узла) для обоих узлов — пуассоновский с интен­сивностью l.

Составить граф состояний системы и написать уравнения Колмогорова для вероятностей состояний. Определить, при каких начальных условиях нужно решать эти уравнения, если в начальный момент (t = 0) система работает исправно.

Решение. Состояния системы:

S₁₁ – оба узла исправны,

S ₂₁ – первый узел ремонтируется, второй исправен,

S₁₂ – первый узел исправен, второй ремонтируется,

S ₂₂ – оба узла ремонтируются.

Размеченный граф состояний системы показан на рис. 22.

Интенсивности потоков событий на рис. 22 проставлены из следующих соображений. Если система S находится в состоянии S₁₁, то на нее действуют два потока событий: поток неисправностей узла I с интенсивностью l₁, переводящий ее в состояние S₂₁, и поток неисправностей узла II с интенсивностью l₂, переводящий ее в S₁₂. Пусть теперь система находится в состоянии S₂₁ (узел I ремон­тируется, узел II—исправен). Из этого состояния система может, во-первых, вер­нуться в S₁₁ (это происходит под действием потока восстановлений с интенсивностью l); во-вторых, — перейти в состояние S₂₂ (когда ремонт узла I еще не закончен, а узел II тем временем вышел из строя); этот переход происходит под действием потока отказов узла II с интенсивностью l₂. Интенсивности потоков. у остальных стрелок проставляются аналогично.

Обозначая вероятности состояний p₁₁, р₁₂, p₂₁ и р₂₂ и пользуясь правилом, сформулированным в §3, запишем уравнения Колмогорова для вероятно­стей состояний:

(5.1)

Начальные условия, при которых нужно решать эту систему: при t = 0 р₁₁ = 1, р₂₁ = р₁₂ = p₂₂ = 0.

Заметим, что, пользуясь условием

р₁₁ + р₂₁ + р₁₂ + p₂₂ = 1.

можно было бы уменьшить число уравнений на одно. Действительно, любую из вероятностей р₁₁, р₂₁, р₁₂, p₂₂ можно выразить через остальные и подставить в уравнения (5.1), а уравнение, содержащее в левой части производную этой ве­роятности — отбросить.

Заметим, кроме того, что уравнения (5.1) справедливы как для постоянных интенсивностей пуассоновских потоков l₁, l₁₂, l, так и для переменных:

l₁=l₁(t); l₂=l₂(t); l=l(t);

Отметим, что в данном параграфе мы только выписывали дифференциальные уравнения для вероятностей состояний, но не занимались решением этих уравнений.

По этому поводу можно заметить следующее. Уравнения для ве­роятностей состояний представляют собой линейные дифференциаль­ные уравнения с постоянными или переменными коэффициентами – в зависимости от того, постоянны или переменны интенсивности l_ij потоков событий, переводящих систему из состояния в состояние.

Система нескольких линейных дифференциальных уравнений такого типа только в редких случаях может быть проинтегрирована в квад­ратурах: обычно такую систему приходится решать численно – либо вручную, либо на аналоговой вычислительной машине (АВМ), либо, наконец, на ЭЦВМ. Все эти способы решения систем дифференциаль­ных уравнений затруднений не доставляют; поэтому самое существен­ное – уметь записать систему уравнений и сформулировать для нее начальные условия, чем мы и ограничились здесь.

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: