Уравнения с разделяющимися переменными
Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Уравнения с разделяющимися переменными





Дифференциальные уравнения

 

Уравнения с разделяющимися переменными

Решить уравнения:

9.1. xydx+(x+1)dy=0. 9.2. .
9.3. z¢=10x+z. 9.4. .
9.5. (x+1)3dy–(y–2)2dx=0. 9.6.
9.7. . 9.8. 2x+y+3x–2y×y¢=0.
9.9.(y+xy)dx+(xxy)dy=0. 9.10. x2×(2yy¢–1)=1.

Найти решения, удовлетворяющие начальным условиям:

9.11. y¢ctgx+y=2; y(0)= –1.
9.12. ; y(2)=0.
9.13. xy¢+y=y2; y(1)=0,5.
9.14. ydx+ctgxdy=0; y(p/3)= –1.
9.15. S=S¢×cos2t×lnS; S(p)=1.
9.16. y2+x2y¢=0; y(–1)=1.
9.17. 2(1+ex)yy¢=ex; y(0)=0.
9.18. (1+x2)y3dx–(y2–1)x3dy=0; y(1)= –1.
9.19. (1+x2)dy+ydx=0; y(1)=1.
9.20. xdy+(y–5)dx=0; y(– 4)=8
     

9.21.Найти кривые, для которых площадь треугольника, образованного касательной, ординатой точки касания и осью абсцисс, есть величина постоянная, равная а2.

9.22.Найти кривые, для которых сумма катетов треугольника построенного как в предыдущей задаче есть величина постоянная, равная b.

9.23.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (3;1) и обладающей тем свойством, что отрезок касательной между точкой касания и осью ОХ делится пополам в точке пересечения с осью ОY.

9.24.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (–1;–1) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси ОХ касательной, проведенной в любой точке кривой, равен квадрату абсциссы точки касания.

9.25.Кривая проходит через точку (1;2) и обладает тем свойством, что отношение ординаты любой ее точки к абсциссе пропорциональна угловому коэффициенту касательной, проведенной в той же точке, с коэффициентом пропорциональности K=3. Найти уравнение кривой.

9.26.В сосуд, содержащий 10 литров воды, непрерывно поступает со скоростью 2 литра в минуту раствор, в каждом литре которого содержится 0,3 кг соли. Поступающий в сосуд раствор перемешивается с водой и смесь вытекает из сосуда с той же скоростью. Сколько соли будет в сосуде через 5 минут?



9.27.Пуля, двигаясь со скоростью V0=400 м/с, углубляется в достаточно толстую стену. Сила сопротивления стены сообщает пуле отрицательное ускорение, пропорциональное квадрату ее скорости. Найти скорость пули через 0,001 с после вхождения пули в стену, если коэффициент пропорциональности K=7м –1.

9.28.Тело охладилось за 10 минут от 1000 до 600. Температура окружающего воздуха поддерживается равной 200. Когда тело остынет до 250? (Скорость остывания тела пропорциональна разности температуры тела и окружающей среды).

9.29.За 30 дней распалась 50% первоначального количество радиоактивного вещества. Через сколько времени останется 1% от первоначального количества?

9.30.За какое время вытечет вся вода из цилиндрического бака с диаметром 2R=1,8 м и высотой H=2,45 м через отверстие в дне диаметром 2r=6 см? Ось цилиндра вертикальна. Принять, что жидкость из сосуда вытекает со скоростью равной где g=10м/сек2, h – высота уровня жидкости над отверстием.

 

 

Однородные уравнения и приводящиеся к ним

Решить данные уравнения, а также найти решения задачи Коши (в тех задачах, где указаны начальные условия)

 

9.31. (x+2y)dxxdy=0. 9.32. (xy)dx+(x+y)dy=0.  
9.33. (y2–2xy)dx+x2dy=0. 9.34. y2+x2y¢=xyy¢.  
9.35. (x2+y2)y¢=2xy. 9.36. xy¢–y=xtg(y/x); y(1)=p/2.  
9.37. xdyydx=ydy; y(–1)=1. 9.38. (y2–3x2)dy+2xydx=0; y(1)= –2.

9.39. yxy¢=xsec(y/x); y(1)=p.

9.40.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (3;4) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемой любой касательной на оси ординат, равен удвоенному модулю радиус-вектора точки касания.

9.41. Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1;4) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси ординат любой касательной, равен удвоенной абсциссе точки касания.

9.42. (2x+y+1)dx+(x+2y–1)dy=0

9.43.(x+y+2)dx+(2x+2y–1)dy=0

9.44. (2x-4y+6)dx+(x+y–3)dy=0

9.45. (x+4y)y¢=2x+3y–5.

 

Разные уравнения первого порядка

9.85.y¢+y=xy3.

9.86.(xy2x)dx+(y+xy)dy=0.

9.87.yy¢+y2ctgx=cosx.

9.88.(ey+2xy)dx+(ey+x)xdy=0.

9.89.y(yxy¢)= .

9.90.x2(dydx)=(x+y)ydx.

9.91.(cosxxsinx)ydx+(xcosx–2y)dy=0.

9.92.(1–x2y)dx+x2(yx)dy=0.

9.93.xy¢(lny–lnx)=y.

9.94.yy¢=4x+3y–2.

9.95.(xycos(y/x))dx+xcos(y/x)dy=0.

9.96.(2x+3y–1)dx+(4x+6y–5)dy=0.

9.97.yy¢+xy=x3.

9.98.x(x–1)y¢+y3=xy.

9.99.(x2+y2+1)yy¢+(x2+y2–1)x=0.

 

Уравнения высших порядков,

Допускающие понижение порядка

9.100. y¢¢¢= –cosx. 9.101. y¢¢¢= 2/x3.
9.102. y¢¢= . 9.103. y¢¢= .
9.104. y¢¢= xsinx. 9.105. (1–x2)y¢¢–xy¢= 0.
9.106. y¢¢–2y¢ctgx = sin3x. 9.107. y¢¢+y¢/x = 0.
9.108. (1+x2)y¢¢+(y¢)2+1 = 0 9.109. xy¢¢– y¢= 0
9.110. 1+(y¢)2+yy¢¢= 0 9.111. y¢¢tgy = 2(y¢)2
9.112. 2yy¢¢=(y¢)2. 9.113. 2yy¢¢+(y¢)2+(y¢)4= 0.
9.114. y¢¢+2y(y¢)3= 0. 9.115. y¢¢= 3x2; y(0)=2; y¢(0)=1

9.116. y¢¢–y¢ctgx = sinx; =1; .

9.117. (x+2) y¢¢–y¢ = 0; y(0)= – 2; y¢(0)=5.

9.118. 2y¢¢=3y2; y(–2)=1; y¢(–2)= –1.

9.119. yy¢¢=(y¢)2–(y¢)3; y(1)=1; y¢(1)= –1.

 

Дифференциальные уравнения

 

Уравнения с разделяющимися переменными

Решить уравнения:

9.1. xydx+(x+1)dy=0. 9.2. .
9.3. z¢=10x+z. 9.4. .
9.5. (x+1)3dy–(y–2)2dx=0. 9.6.
9.7. . 9.8. 2x+y+3x–2y×y¢=0.
9.9.(y+xy)dx+(xxy)dy=0. 9.10. x2×(2yy¢–1)=1.

Найти решения, удовлетворяющие начальным условиям:

9.11. y¢ctgx+y=2; y(0)= –1.
9.12. ; y(2)=0.
9.13. xy¢+y=y2; y(1)=0,5.
9.14. ydx+ctgxdy=0; y(p/3)= –1.
9.15. S=S¢×cos2t×lnS; S(p)=1.
9.16. y2+x2y¢=0; y(–1)=1.
9.17. 2(1+ex)yy¢=ex; y(0)=0.
9.18. (1+x2)y3dx–(y2–1)x3dy=0; y(1)= –1.
9.19. (1+x2)dy+ydx=0; y(1)=1.
9.20. xdy+(y–5)dx=0; y(– 4)=8
     

9.21.Найти кривые, для которых площадь треугольника, образованного касательной, ординатой точки касания и осью абсцисс, есть величина постоянная, равная а2.

9.22.Найти кривые, для которых сумма катетов треугольника построенного как в предыдущей задаче есть величина постоянная, равная b.

9.23.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (3;1) и обладающей тем свойством, что отрезок касательной между точкой касания и осью ОХ делится пополам в точке пересечения с осью ОY.

9.24.Найти уравнение кривой, проходящей через точку (–1;–1) и обладающей тем свойством, что отрезок, отсекаемый на оси ОХ касательной, проведенной в любой точке кривой, равен квадрату абсциссы точки касания.

9.25.Кривая проходит через точку (1;2) и обладает тем свойством, что отношение ординаты любой ее точки к абсциссе пропорциональна угловому коэффициенту касательной, проведенной в той же точке, с коэффициентом пропорциональности K=3. Найти уравнение кривой.

9.26.В сосуд, содержащий 10 литров воды, непрерывно поступает со скоростью 2 литра в минуту раствор, в каждом литре которого содержится 0,3 кг соли. Поступающий в сосуд раствор перемешивается с водой и смесь вытекает из сосуда с той же скоростью. Сколько соли будет в сосуде через 5 минут?

9.27.Пуля, двигаясь со скоростью V0=400 м/с, углубляется в достаточно толстую стену. Сила сопротивления стены сообщает пуле отрицательное ускорение, пропорциональное квадрату ее скорости. Найти скорость пули через 0,001 с после вхождения пули в стену, если коэффициент пропорциональности K=7м –1.

9.28.Тело охладилось за 10 минут от 1000 до 600. Температура окружающего воздуха поддерживается равной 200. Когда тело остынет до 250? (Скорость остывания тела пропорциональна разности температуры тела и окружающей среды).

9.29.За 30 дней распалась 50% первоначального количество радиоактивного вещества. Через сколько времени останется 1% от первоначального количества?

9.30.За какое время вытечет вся вода из цилиндрического бака с диаметром 2R=1,8 м и высотой H=2,45 м через отверстие в дне диаметром 2r=6 см? Ось цилиндра вертикальна. Принять, что жидкость из сосуда вытекает со скоростью равной где g=10м/сек2, h – высота уровня жидкости над отверстием.

 

 









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2018 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.