Фронт волны, волновые поверхности, фазовая скорость

Волна, распространяясь от источника колебаний, охватывает все новые и новые области пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется волновым фронтом.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью (поверхностью постоянных фаз, фазовой поверхностью).

Волновых поверхностей можно провести бесчисленное множество, а волновой фронт в каждый момент времени – один.

Гармоническая бегущая волна (5) является плоской волной, т.к. ее волновые поверхности представляет собой совокупности плоскостей, параллельных друг другу и перпендикулярных оси х.

Уравнение гармонической сферической волны имеет вид

, (7)

где r – радиальная координата. При распространении волны в непоглощающей среде A(r) ~ 1 /r.

Скорость v распространения гармонической волны называется фазовой скоростью. Она равна скорости перемещения волновой поверхности. Например, в случае плоской гармонической волны из условия следует, что

. (8)

Волновое уравнение

Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением – дифференциальным уравнением в частных производных.

, (9)

где (10)

D – оператор Лапласа, v – фазовая скорость.

Решением уравнения (9) является уравнение любой волны (плоской, сферической и т.д.). В частности, для анализируемой здесь плоской гармонической волны (5), которая не зависит от координат y и z волновое уравнение принимает вид

. (11)

Соответствующей подстановкой можно убедится, что уравнению (11) удовлетворяет уравнение (5).

Принцип суперпозиции волн. Групповая скорость

Предполагается, что гармоническая волна вида (5) не имеет ни начала, ни конца во времени и пространстве.

Реальная волна ограничена во времени и в пространстве, поэтому является негармонической, оказывается такую волну можно заменить эквивалентной ей системой гармонических волн, которые распространяются в линейной среде независимо друг от друга.

Это утверждение справедливо для волн любой природы и носит название принципа суперпозиции.

Негармоническую волнузаменяют системой гармонических волн, частоты которых мало отличаются друг от друга, т.е. негармоническую волну представляют в виде группы волн или волнового пакета.

Интерес представляет скорость распространения огибающей этой группы волн (по существу, скорость распространения энергии волнового пакета или скорость передачи сигнала). Эту скорость называют групповой скоростью. Можно показать, что групповая скорость

u=dw /dk (12)

и она связана с фазовой скоростью соотношением

(13)

Для гармонической волны =0 и скорость переноса энергии (групповая скорость) равна фазовой скорости, т.е. u =v. (14)

Энергия бегущей волны. Вектор плотности потока энергии

Упругая среда, в которой распространяется волна, обладает как кинетической энергией колебательного движения частиц, так и потенциальной энергией, обусловленной деформацией среды. Можно показать, что объемная плотность энергии для плоской бегущей гармонической волны (5)

, (15)

где r=dm/dV – плотность среды, т.е. периодически изменяется от 0 до rА²w² за время p/w=Т/ 2.

Среднее значение плотности энергии за промежуток времени p/w=Т/ 2

. (16)

Для характеристики переноса энергии вводят понятие вектора плотности потока энергии – вектор Умова.

Выведем выражение для него.

Если через площадку DS _^, перпендикулярную к направлению распространения волны, переносится за время Dt энергия DW, то плотность потока энергии

, (17)

где DV=DS _^ uDt – объем элементарного цилиндра, выделенного в среде.

Поскольку скорость переноса энергии или групповая скорость есть вектор, то и плотность потока энергии можно представить в виде вектора

, Вт/м². (18)

Этот вектор ввел профессор Московского университета Н.А. Умов в 1874 г.

Среднее значение его модуля называют интенсивностью волны

. (19)

Для гармонической волны u =v[cм.(14)], поэтому для такой волны в формулах (17)-(19) u можно заменить на v.

Стоячие волны

Если навстречу друг другу распространяются две гармонические волны и , то образуется стоячая волна

. (20)

Исследуем сначала множитель cos kx= cos2 px/l. В точках x= ±(1+2 n) l/ 4, где n =0,1,2..., cos kx= 0и, следовательно, S= 0. Эти точки не колеблются и поэтому называются узлами стоячей волны (см. рис.3). Расстояние между соседними узлами равно l/ 2. Точки максимальной амплитуды стоячей волны называются пучностями. Их координаты x= ± nl/ 2. Расстояние между соседними пучностями равно l/ 2.

На рис. 3 сплошной линией изображена зависимость от х, соответствующая моменту времени t (например, t= 0), при котором cos wt= cos2 pt/T =1. Через четверть периода cos =0и S =0. Еще через время, равное T/ 4, cos = -1, и соответствующая зависимость S от х изображена штриховой линией (см. рис. 3). Спустя t= 3 T/ 4 S =0 и через t=T все повторится.

В случае стоячей волны переноса энергии нет, т.к. падающая и отраженная волны одинаковой амплитуды несут энергию в противоположных направлениях. Т.о., стоячая волна характеризует колебательное состояние среды.

В заключении отметим, что несмотря на разнообразие волновых явлений, они описываются одинаковыми законами (математичеcкими уравнениями). Это позволяет, например, перенести полученные в данной лекции закономерности для упругих волн на электромагнитные волны.

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: