Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

Пусть имеется п различных отраслей, каждая из которых производит свой продукт. В процессе производства своего продукта каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Будем вести речь о не­котором определенном промежутке времени (обычно таким промежутком служит плановый год) и введем следующие обозначения:

х_i – объем продукции отрасли i за данный промежуток времени – так называемый валовой выпуск отрасли i;

х_ij – объем продукции отрасли i, расходуемый отраслью j в процессе своего производства;

y_i – объем продукции отрасли i, предназначенный к потребле­нию в непроизводственной сфере – объем конечного потребления. Этот объем составляет обычно более 75% всей произведенной продукции. В него входят создаваемые в хозяйстве запасы, личное потребление граждан, обеспечение общественных потребностей (просвещение, наука, здравоохранение, развитие инфраструктуры и т. д.), поставки на экспорт.

Очевидно, что при i = 1,..., п должно выполняться соотношение

х_i = х_{i 1} + х_{i 2} +...+ х_in + y_i, (1.2.1)

означающее, что валовой выпуск х_i расходуется на производственное потребление, равное х_{i 1} + х_{i 2} +...+ х_in и непроизводственное потребление, равное y_i. Будем называть (1.2.1) соотношениями баланса.

Единицы измерения всех указанных величин могут быть или натуральными (кубометры, тонны, штуки, киловатт-часы и т. п.), или стоимостными. В зависимости от этого различают натуральный и стоимостной межотраслевой балансы. Для определенности в дальнейшем будем иметь в виду (если не оговорено противное) стоимостной баланс.

В.Леонтьев, рассматривая развитие американской экономики в предвоенный период, обратил внимание на важное обстоятельство. А именно, для выпуска любого объема х_j продукции отрасли j необходимо затра­тить продукцию отрасли i в количестве a_ijх_j, где a_ij – постоянный коэффициент. Проще говоря, материальные издержки пропорцио­нальны объему производимой продукции (линейность существующей технологии). Принцип линейности распространяется и на другие виды издержек, например, на оплату труда, а также на нормативную прибыль.

Коэффициенты a_ij называют коэффициентами прямых затрат (коэффициентами материалоемкости).

В предположении линейности соотношения (1.2.1) принимают вид:

х ₁ = a ₁₁ х ₁ + a ₁₂ х ₂ +...+ a _{1 n} х_n + у ₁,

х ₂ = a ₂₁ х ₁ + a ₂₂ х ₂ +...+ a _{2 n} х_n + у ₂,

…………………………..

х_n = a _n1 х ₁ + a _n2 х ₂ +...+ a _{n n} х_n + у_n,

или, в матричной записи, x = A x + y, (1.2.2)

где – матрица коэффициентов прямых затрат;

– столбец неизвестных объемов валового выпуска;

– столбец объемов конечного потребления.

Соотношение (1.2.2) называется уравнением линейного межотраслевого баланса. Вместе с изложенной интерпретацией матрицы А и векторов х и у это соотношение называют также моделью Леонтьева.

Уравнения межотраслевого баланса можно использовать для целей планирования. В этом случае задача ставится так: для предстоящего планового периода задается вектор у конечного потребления. Требуется определить вектор х валового выпуска. Проще говоря, нужно решить задачу: сколько следует произвести продукции различных видов, чтобы обеспечить заданный уровень конечного потребления? В этом случае необходимо решить систему линейных уравнений, соответствующую матричному уравнению (1.2.2) с неизвестным вектором х при заданных матрице А и векторе у.

Если обратная матрица (Е – А)^-1 существует, то решение находится в виде

х = (Е – А)^-1 у. (1.2.3)

Замечание. Обратим внимание на смысл коэффициентов а_ij прямых затрат в случае стоимостного (а не натурального) баланса. В этом случае а_ij есть стоимость продукции отрасли i, вложен­ной в 1 руб. продукции отрасли j. Отсюда, между прочим, видно, что стоимостной подход по сравнению с натуральным обладает более широкими возможностями. При таком подходе уже необязательно рассматривать «чистые», т.е. однопродуктовые, отрасли. Ведь и в случае многопродуктовых отраслей тоже можно говорить о стоимостном вкладе одной отрасли в выпуск 1 руб. продукции другой отрасли; скажем, о вкладе промышленной сферы в выпуск 1 pyб. сельскохозяйственной продукции или о вкладе промышленной группы А (производство средств производства) в выпуск 1 руб. продукции группы В (производство предметов потребления). Вместе с тем надо понимать, что планирование исключительно в стоимостных величинах может легко привести к дисбалансу потоков материально-технического снабжения.

Коэффициенты обратной матрицы (Е–А)^-1 называются коэффициентами полных затрат.

Пример 1.2.1. Решить уравнение межотраслевого баланса, если

у =

В данном случае

откуда получаем х =

Модель равновесных цен

Рассмотрим теперь балансовую модель, двойственную к модели Леонтьева – так называемую модель равновесных цен. Пусть, как и прежде, А – матрица прямых затрат, х =(х ₁, х ₂,..., х_n) – вектор валового выпуска. Обозначим через р =(p ₁, p ₂,..., p_n) – вектор цен, i -я координата которого равна цене единицы продукции i -й отрасли.

1. Часть своего дохода каждая i -я отрасль потратит на закупку продукции у дру­гих отраслей. Так, для выпуска единицы продукции ей необходима продукция первой отрасли в объеме а _{1 i} , второй отрасли в объеме а _{2 i} , п -й отрасли в объеме а_ni и т.д. На покупку этой продукции ею будет затрачена сумма, равная a _{1 i} р ₁ + a _{2 i} р ₂ +...+ a_ni р_n. Следовательно, для выпуска продукции в объеме х_i отрасли необ­ходимо потратить на закупку продукции других отраслей сумму, равную х_i (a _{1 i} р ₁ + a _{2 i} р ₂ +...+ a_ni р_n). Оставшуюся часть дохода, называемую добавленной стоимостью, мы обозначим через V _i (эта часть дохода идет на выплату зарплаты и налогов, предпринимательскую прибыль и инвестиции).

Таким образом, имеет место следующее равенство:

х_iр_i = х_i (a _{1 i} р ₁ + a _{2 i} р ₂ +...+ a_ni р_n)+ V _i.

Разделив это равенство на х_i, получаем

р_i = х_i (a _{1 i} р ₁ + a _{2 i} р ₂ +...+ a_ni р_n)+ v _i.

где v _i = V _i / х_i – норма добавленной стоимости (величина добавленной стоимости на единицу выпускаемой продукции).

Найденные равенства могут быть записаны в матричной форме следующим образом:

p = A^T p + v,

где v = (v₁, v₂,..., v _п) – вектор норм добавленной стоимости, A^T – транспонированная матрица.

Как мы видим, полученные уравнения очень похожи на уравнения модели Леонтьева с той лишь разницей, что х заменен на р, у – на v, А – на А^T.

Модель равновесных цен позволяет, зная величины норм добавленной стоимости, прогнозировать цены на продукцию отраслей Она также позволяет прогнозировать изменение цен и инфляцию, являющиеся следствием изменения цены в одной из отраслей.

Пример 1.2.2. Рассмотрим экономическую систему, состоящую из трех отраслей. Назовем их условно: топливно-энергетическая от­расль, промышленность и сельское хозяйство. Пусть

– транспонированная матрица прямых затрат;

– столбец норм добавленной стоимости.

Определим равновесные цены. Для этого, как и в модели Леонтьева, воспользуемся формулой р =С^T v, где С^T = (Е–А^Т)^-1 – транспонированная матрица полных затрат. После необходимых вычислений имеем

0,58 0,14 0,18

С^T = (1/0,444) 0,28 0,68 0,24

0,25 0,29 0,69.

10

Отсюда получаем, что р = С^T v = 20.

Допустим теперь, что в топливно-энергетической отрасли произойдет увеличение нормы добавленной стоимости на 1,11. Определим равновесные цены в этом случае. Принимая во внимание, что v = (5,11; 10; 4), находим, что

11,45

р = С^T v = 20,7.

15,625

Таким образом, продукция первой отрасли подорожала на 14,5%, второй – на 3,5%, третьей отрасли – на 4,17%. Нетрудно также, зная объемы выпуска, подсчитать вызванную этим повышением инфляцию.

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: