Сдам Сам

Многоканальные системы массового обслуживания.



Модель 3.

Пусть параллельно могут обслуживаться не более s клиентов. Такие модели называются многоканальными (s – число каналов обслуживания). Здесь ln =l (n³0), mn = nm при n £s , mn = sm при n ³ s. Рассмотрим случай неограниченной длины очереди.

Для данной модели расчетные формулы (Эрланга) имеют вид:

Рn = Р0(l/m)n / n! (n £ s), (2.6.9)

Рn = Р0(l/m)n / s!/sn-s (n ³ s), (2.6.10)

(2.6.11)

Для среднее число клиентов, ожидающих обслуживания:

= Р0(l/m)s+1/(s–1)!/(s–l/m)2, (2.6.12)

для общего числа клиентов, находящихся в системе, имеем

n = +l/m, (2.6.13)

для среднее время ожидания обслуживания:

= /l. (2.6.14)

Вероятность обязательного пребывания в очереди равна вероятности занятости всех каналов обслуживания. Обозначим ее через W. Тогда

W= Р0(l/m)s/s!. (2.6.15)

Известный интерес представляет вероятность того, что суммарное время обслуживания и его ожидания превзойдет заданную величину t. Обозначим эту вероятность через Р(>t).

Р(>t)=emt(1+(W/s)(1– emst(1–l/ms–1/s))/(1–l/ms–1/s)). (2.6.16)

Вычисления в соответствии с данной моделью могут оказаться весьма громоздкими, тогда используют приближенные методы. Например, при l/m<<1 можно принять Р0 »1 – l/m, »(l/m)s+1/s2, тогда как для значений l/m, близких к 1,

Р0 » (s – l/m)(s – 1)! /ss и » (l/m)/(s – l/m).

Пример 2.6.4. Пусть на нашей станции 3 канала обслуживания (исполнителя), а мест для ожидания неограниченное число. Пусть, как и прежде l = 5 и m =6. Имеем l/m =0.833, s =3 и

Р0 = 1/(0.8330/0!+0.8331/1!+0.8332/2!+ 0.8333 /(3!(1 –0.833/3))) = 0.432,

=0.432×0.8334/2!/(3–0.833)2 = 0.022,

=0.022/5 = 0.0044 часа.(16 сек.)

Таким образом, при данных условиях 43.2% времени станция простаивает, среднее время ожидания обслуживания составляет 16сек. С точки зрения клиента отлично, но простой оборудования (исполнителей) влетает в копеечку. Кроме того, имеем:

Р1 =0.40, Р2 =0.15, Р3 =0.04.

Вычислим параметры системы при 2 исполнителях.

Р0 = 1/(0.8330/0!+0.8331/1!+ 0.8332 /(2!(1 –0.833/2))) = 0.412,

= 0.412×0.8333/1!/(2–0.833)2 = 0.17,

= 0.17/5 = 0.034 часа.(2 мин.)

Простой составляет 41.2% времени, среднее время ожидания 2 мин.

Сравним с результатами примера 2.6.2, где при наличии только одного исполнителя простой составлял 17%, а среднее время ожидания 50 мин. В силу малого времени ожидания параметры W и Р(>t) в данном примере интереса не представляют. Р1 =0.34, Р2 =0.14, Р3 =0.06.

Модель 4.

Рассмотрим теперь модель, которая отличается от предыдущей только тем, что число мест для ожидания обслуживания ограничено величиной k. Здесь ln =l при 0≤n < k+s и ln =0 при n ³ k+s; mn = nm при n£s, mn = sm при s ≤ n ≤ s+k.

Формулы для характеристик модели имеют вид:

Рn = Р0(l/m)n / n! (n £ s), (2.6.17)

Рn = Р0(l/m)n / s!/sn-s (s ≤ n ≤ s+k ), (2.6.18)

, l/m≠s, (2.6.19)

, l/m=s, (2.6.20)

Для среднее число клиентов, ожидающих обслуживания:

0(l/m)s+1(1–(l/ms)k–k(l/ms)k(1–l/ms))/(s–1)!/(s–l/m)2, l/m≠s, (2.6.21)

0(l/m)sk(k+1)/(2s!), l/m=s, (2.6.22)

для среднее время ожидания обслуживания:

= /l/(1– Рk+s). (2.6.23)

Пример 2.6.5. Пусть в дополнение к последнему примеру наша станция располагает двумя местами для ожидания обслуживания (k=2 и s=2). Тогда получим:



Р0=1/(0.8330/0!+0.833/1!+0.8332(1–(0.833/2)2+1)/2!/(1–0.833/2)) = 0.423,

=0.423×0.8333(1–(0.833/2)2–2(0.833/2)2(1–0.833/2))/1!/(2–0.833)2=0.25,

и =0.25/5/(1– Р2+2)= 0.25/5/(1 – 0.423×0.8334 /2!/22)=0.05 час.

Для двух каналов обслуживания входной поток заказов очень слабый, изменим его, пусть l=12, тогда l/m=2= s и мы имеем

Р0=1/(20/0! +2/1!+22(2+1)/2!)= 0.111,

=0.111*22*2*3/(2*2!)=0.67,

=0.67/12/(1–Р2+2)=0.67/12/(1–0.111×24/2!/22)=0.07 ч.

При таком входном потоке простой оборудования составляет 11.1%, а среднее время ожидания обслуживания 0.07×60= 4.3 мин.

Рассмотрим более крупный пример, на котором нагляднее иллюстрируются формулы моделей 3 и 4.

Пример 2.6.6.

Вариант 1. Имеем станцию с 4 каналами обслуживания и с неограниченным количеством мест для ожидания. Пусть l=20 заявок в час, время обслуживания одной заявки 11.5 мин. (m=60/11.5=5.217), тогда l/m=20/5.217=3.83 и s=4. Используем (2.6.11):

Р0 = 1/(3.830/0!+3.83/1!+3.832/2!+3.833/3!+3.834/4!/(1–3.83/4))=0.0042.

Из (2.6.12)–(2.6.14) получаем среднее время ожидания:

=0.0042×3.835/3!/(4–3.83)2/20= 1 час.

Вероятность обязательного пребывания в очереди(2.6.15):

W= 0.0042×3.834/4!=0.886.

Найдем вероятность того, что суммарное время обслуживания и ожидания превзойдет величину t=0.5 (30 мин.). Применим (2.6.16):

Р(>0.5) =e–5.217/2(1+0.886/4)(1–e–5.217×4/2(1–3.83/4–1/4))/(1–3.83/4–1/4))=0.7.

Таким образом, 88.6% клиентов обязательно проходят через очередь, причем 70% находятся в ней более получаса (правда, включая время обслуживания).

Вариант 2. Добавим к варианту 1 ограничение на количество мест для ожидания. Пусть k=16, тогда из (2.6.19) находим сначала

Р0=1/(1+3.83+3.832/2!+3.833/3!+3.834(1–(3.83/4)17)/4!/(1–3.83/4))=0.00759

и, следовательно, из (2.6.21) получаем

=0.00759×3.835(1–(3.83/4)16–16(3.83/4)16(1–3.83/4))/3!/(4–3.83)2=5.82.

Поскольку Р20=3.8320×0.00759/4!/416=0.03397, используя (2.6.23), имеем для среднего времени ожидания обслуживания:

=5.82/20/(1–0.03397) =0.301 часа.(18 мин.)

Сравнивая варианты 1 и 2, видим, что при ограничении мест для ожидания, продолжительность ожидания сокращается более чем в три раза, причем это достигается ценой потери около 3.4% потенциальных клиентов (Р20=0.03397).









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2017 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.