|
|
Координатное представление векторовКоординаты вектора — это числа х 1, х 2, х 3, …, являющиеся коэффициентами ЛК типа: х = х 1 е1 + х 2 е2 + х 3 е3 +...., где е1, е2, е3, … — базисные векторы (базис). Координаты векторов принято записывать двумя альтернативными способами:
Вектор-столбец принято отмечать чертой над символом вектора, а вектор-строку — чертой под символом вектора. (Иногда вектор-столбцы называют контравариантными векторами или контравекторами, а вектор-строки — ковариантными векторами или ковекторами.) С математической точки зрения контра- и ко векторы эквивалентны, однако они могут использоваться для обозначения различных типов физических объектов. Важную роль играет следующее обстоятельство: выбор базиса неоднозначен и в любом ЛП возможных базисов бесконечно много, однако все они содержат одно и то же число базисных векторов. Это фундаментальное число называется размерностью ЛП. Координатное представление позволяет очень просто и наглядно выполнять операции над векторами. При сложении двух векторов складываются их координаты, расположенные на одинаковых позициях. Например: (1, 2, 3) + (2, –5, 8) = (1 + 2, 2 – 5, 3 + 8) = (3, –3, 11) При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число. Например: 4 • (2, –5, 8) = (4 • 2, – 4 • 5, 4 • 8) = (8, –20, 32) Если мы имеем линейную комбинацию, то любая координата результирующего вектора будет получаться как линейная комбинация координат исходных векторов, расположенных на соответствующих позициях. Например: 2 • (1, 3) – 4 • (5, 2) = (2 • 1 – 4 • 5, 2 • 3 – 4 • 2) = (–18, –2) Координатное представление базисных векторов имеет особенно простой вид: каждый базисный вектор имеет одну координату (под номером, совпадающим с номером данного базисного вектора), равную единице, а все остальные его координаты равны нулю: е 1 = (1, 0, 0, …) е 2 = (0, 1, 0, …) и т.д. Используя координатное представление, можно ввести еще одну операцию, которая выполняется над парой векторов. Эта операция называется скалярным умножением векторов и изображается одним из следующих способов: a = (x, y) = x · y = á x | y ñ Сомножитель, идущий первым, всегда представляет собой ковектор (вектор-строку), тогда как второй сомножитель всегда является контравектором (вектор-столбцом). Результатом этой операции является число, называемое скалярным произведением векторов, значение которого можно рассчитать через координаты векторов х и у по формуле:
Таким образом, чтобы найти скалярное произведение двух векторов, необходимо первый из них записать в форме строки, а второй — в форме столбца. Аналогичным образом можно найти и скалярный квадрат вектора, т.е. произведение вектора на себя:
Cкалярный квадрат вектора называют также квадратом модуля вектора, поскольку корень квадратный из произведения вектора на себя называется модулем вектора
С помощью скалярного умножения можно ввести метрические понятия в модель ЛП, т.е. определить длины векторов и углы между ними. В качестве длины вектора принимается величина его модуля. Угол j между двумя векторами определяется по формуле:
Отметим следующее обстоятельство: при умножении вектора на некоторое число a его модуль (длина) увеличивается в a раз, а ориентация (угол относительно всех остальных векторов) остается неизменным. Таким образом, среди всех векторов можно выделить подмножества, в которые входят все векторы одной и той же ориентации, но отличающиеся друг от друга длиной. Такие подмножества сами по себе образуют одномерные ЛВП и называются лучами. В каждом луче можно выделить один особый вектор, длина которого равна единице. Такой вектор называется нормированным, его можно рассматривать в качестве представителя данного луча. Комплексные векторы В квантовой механике широко применяют векторы, координаты которых могут быть комплексными числами. В этом случае имеются некоторые особенности в правилах построения скалярного произведения. Они, в основном, сводятся к установлению соотношения между ко- и контравекторами. В квантовой механике ковекторы принято обозначать символом á x | и называть бра- векторами, тогда как контравекторы обозначаются символом | x ñ и называются кет -векторами. Один и то же вектор можно представить и в виде бра-вектора и в виде кет-вектора. При этом они будут отличаться друг от друга не просто способом расположения (горизонтальным или вертикальным) чисел-координат, но и тем, что их координаты (с одними и теми же номерами) являются комплексно сопряженными между собой. (Комплексно сопряженными являются два комплексных числа, отличающиеся только знаком при мнимой части, например, Z = 2 + 3i и Z * = 2 – 3i.) Особенность взаимно сопряженных комплексных чисел состоит в том, что их произведение, называемое квадратом комплексного числа, всегда является действительным числом. Например: Z · Z * = | Z |2 = 22 + 32 = 13. Поэтому, если перемножить (в смысле скалярногоумножения) два вектора, координаты которых взаимно сопряжены, то квадрат модуля любого вектора будет не только действительным, но и положительным числом. А, следовательно, из него всегда можно извлечь корень и определить модуль (длину) вектора. Подчеркнем, что два вектора, отличающиеся типом (бра- и кет-), и координаты которых взаимно комплексно сопряжены, называются эрмитово сопряженными векторами, что отмечается специальным верхним индексом (+). á x | = (x 1*, x 2*, x 3 *,....) и á x |+ º | x ñ= Если векторы-сомножители различны, то их скалярное произведение не будет действительным числом. Такие комплексные числа, являющиеся скалярным произведением двух комплексных векторов: С = á х | у ñ называются квантовомеханическими амплитудами и играют важную роль в математическом аппарате квантовой механики. Отсюда понятно и происхождение названия: первая половина скобки (от англ. — bracket), изображающей скалярное произведение, называется бра-, а вторая половина — кет-вектором.   Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот...  Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...  Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...  Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|
Любой другой вектор можно получить из нормированного посредством умножения на некоторое число или свести к нормированному посредством операции, называемой нормировкой (нормированием). При нормировке каждая координата вектора делится на величину модуля этого вектора. Например, двумерный вектор х = (6, 8) имеет квадрат модуля: ê х ê2 = 62 + 82 = 100 и, следовательно, является ненормированным. Для нормировки разделим все координаты на 10 и получим нормированный вектор х' =(6/10, 8/10), совпадающий по направлению с исходным (т.е. принадлежащий тому же лучу), но имеющий единичную длину.