Функциональное представление векторов

Иногда приходится иметь дело с векторами многомерных ЛП, имеющими очень много координат. Встречаются даже бесконечномерные пространства, как например, в квантовой механике. Очевидно, что перечислить все координаты такого вектора в явном виде практически невозможно. Однако, в подавляющем большинстве случаев, между отдельными координатами таких векторов можно установить взаимосвязь — она заключается в том, что соседние (в отношении их номеров) координаты имеют близкие значения. Это позволяет рассматривать координаты вектора как значения некоторой непрерывной алгебраической функции. Например, легко представить себе вектор, i -я координата которого удовлетворяет уравнению x_i = sin(i). Поэтому между векторами и функциями существует определенное соответствие, которое позволяет, с одной стороны, трактовать всякую функцию как бесконечномерный вектор, а с другой — экономно описывать векторы через функции. Такие функции называются функциональными представлениями векторов. Например, широко использующиеся в квантовой механике волновые функции представляют собой функциональные представления квантовомеханических векторов состояния. Другими словами, каждое значение волновой функции является некоторой координатой вектора состояния.

В заключение подчеркнем, что векторы используются как математические модели некоторых физических или химических объектов. При этом, физико-химический смысл этих объектов никак не отражается на свойствах самих векторов, которые (свойства) всегда остаются постоянными и определенными лишь аксиомами линейной алгебры. Именно это и делает векторную модель универсальной. Одни и те же правила обращения с векторами мы можем применять для самых разных случаев. За абстрактным вектором может стоять и обычный геометрический вектор, и механическое движение, и химическая реакция, и химическое вещество и т.д. Аналогично, за абстрактными операциями сложения векторов и умножения их на число может стоять сложение векторов по правилу параллелограмма, смешивание нескольких веществ, проведение химической реакции, перемещение объекта во времени и в пространстве и т.д. В тех же случаях, когда конкретные физико-химические особенности объектов имеют существенное значение, и мы не можем от них абстрагироваться, это означает, что векторная модель к ним неприменима.

Матрицы являются математическими объектами, которые, подобно векторам, широко используются для моделирования различных физических и химических структур и их свойств. Матрица — таблица, состоящая из строк и столбцов. Элементами матрицы (матричными элементами) являются чаще всего числа. Однако, в качестве матричных элементов могут выступать и объекты другого вида — векторы, функции, другие матрицы и т.д. В общем случае, количества строк и столбцов матрицы могут отличаться. Однако, наиболее часто используются квадратные матрицы, в которых число строк равно числу столбцов. Квадратную матрицу принято изображать следующим образом:

Первый индекс матричного элемента служит номером строки, а второй — номером столбца.

Матрицу можно рассматривать как вектор-столбец, элементами которого являются вектор-строки, или, наоборот, как вектор-строку, элементами которой являются вектор-столбцы. Для матриц можно определить несколько полезных характеристик.

Определитель. Под определителем или детерминантом матрицы (обозначается как Det или D) понимается некоторое число, которое можно рассчитать через матричные элементы по известным правилам. Рассмотрим эти правила подробно.

В основе вычисления определителя лежит процедура разложения по элементам строки. Для ее выполнения необходимо:

• выбрать некоторую строку (обычно выбирается та строка, которая содержит наибольшее количество нулей),

• записать первый элемент выбранной строки и умножить его на вспомогательную матрицу (минор), которая получается из исходной посредством вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых стоит выписанный элемент,

• выполнить описанный выше прием для всех элементов выделенной строки,

• каждое произведение дополнительно умножить на (–1) ^i+j, где i и j — индексы элемента выделенной строки,

• сложить все полученные таким образом произведения (элементов выделенной строки на вспомогательные матрицы-миноры).

Полученная сумма и будет представлять собой разложение определителя по элементам данной строки. Это разложение содержит матрицы, размер которых меньше на единицу, чем у исходной матрицы. Теперь необходимо описанную процедуру разложения по элементам строки применить к каждой из этих вспомогательных матриц. В результате получим разложение, содержащее матрицы еще меньшего размера. Продолжая эту процедуру, мы придем к матрицам размера 1, представляющим собой обычные числа. Теперь необходимо выполнить все арифметические операции умножения и сложения. В результате получим некоторое число, которое и будет определителем исходной матрицы.

Рассмотрим пример вычисления определителя. Пусть имеется матрица размера (3´3):

Выберем для разложения первую строку. Выполним первый этап разложения и получим сумму трех произведений элементов первой строки на вспомогательные матрицы размера (2´2):

Выполним второй этап, подвергнув процедуре разложения вспомогательные матрицы размера (2´2) и получим совокупность чисел, связанных определенными операциями умножения и сложения: 2 × (5 × 5 – 7 × 1) – 4 × (3 × 5 – 7 × 4) + 8 × (3 × 1 – 5 × 4). Выполним арифметические действия и получим конечный результат:

Полученное число и равно определителю матрицы: Det (A) = – 48. Подчеркнем, что для разложения определителя можно выбирать любую строку и любой столбец на любой из стадий вычисления.

Перманент. Перманент — это число, которое рассчитывается во всем аналогично определителю, за исключением того, что множители вида (–1) ^i+j вставляться не должны. Перманент, поэтому, иногда называют плюс-определителем матрицы. Так, для приведенного выше примера перманент будет равен:

Алгебраическое дополнение. Алгебраическое дополнение — это число, которое можно поставить в соответствие каждому матричному элементу. Чтобы рассчитать алгебраическое дополнение для элемента а_ij необходимо вычеркнуть строку с номером i и столбец с номером j из исходной матрицы и рассчитать определитель матрицы меньшего размера, которая получится в результате такого вычеркивания. Кроме того, этот определитель необходимо умножить на множитель (–1) ^i+j. Алгебраическое дополнение обозначается той же буквой, что и матричный элемент, но только прописной (А_ij). Очевидно, что определитель матрицы может быть выражен как сумма произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

След. Следом называется число, равное сумме всех диагональных (у которых оба индекса одинаковы) элементов матрицы: Sр (A)= å a_ii. Для приведенного выше примера матрицы А след будет равен: 2 + 5 + 5 = 12

Для матриц определены операции сложения и умножения на число, вполне аналогичные таким операциям для векторов:

1) при сложении двух матриц одинакового размера снова образуется матрица того же размера, причем матричные элементы матрицы-суммы являются суммами матричных элементов матриц-слагаемых с одинаковыми индексам (т.е. если А + В = С, то a_ij + b_ij = c_ij);

2) при умножении матрицы на число все ее элементы умножаются на это число (если a × А = В, то a × а_ij = b_ij).

Для квадратных матриц одинакового размера определена еще одна важная операция — умножение матриц друг на друга. В результате перемножения двух квадратных матриц получается матрица того же размера, что и матрицы-сомножители. Матричные элементы матрицы-произведения находятся по следующему правилу. Для расчета матричного элемента с индексами i и j необходимо:

• выделить в первой матрице-сомножителе строку с номером i,

• выделить во второй матрице столбец с номером j,

• рассчитать скалярное произведение выделенного вектора-строки в первой матрице на выделенный вектор-столбец во второй матрице.

Таким образом, чтобы найти произведение двух матриц, необходимо рассчитать скалярные произведения каждой строки первой матрицы на каждый столбец второй матрицы.

В общем случае результат перемножения двух матриц зависит от порядка расположения сомножителей. В том случае, когда такой зависимости нет и выполняется равенство А * В = В * А, матрицы называются коммутирующими. В противном случае матрицы будут не коммутирующими.

Среди всех матриц данного размера имеется одна особая матрица, называемая единичной (она обозначается символом Е), для которой выполняется условие: А * Е = Е * А = А, где А — любая матрица. Другими словами, единичная матрица выполняет при умножении матриц ту же роль, что число 1 при умножении чисел.

Существует обширная классификация матриц. Отметим некоторые, наиболее часто употребляемые типы матриц.

Матрицы, для которых выполняется условие А * В = В * А = Е, называются взаимно обратными. В этом случае, обычно, употребляются специальные обозначения: В = А ^–1 и А = В ^–1 в которых вышеприведенное условие выглядит так:

Если мы располагаем некоторой матрицей А, то мы всегда можем рассчитать и обратную ей матрицу А ^–1. Элемент обратной матрицы с индексами i и j, рассчитывается по формуле:

Другими словами, надо рассчитать алгебраическое дополнение элемента a_ji (он расположен симметрично данному элементу а_ij, относительно главной диагонали матрицы) и разделить его на определитель исходной матрицы. Из этого правила вытекает одно ограничение: если определитель матрицы равен нулю, то у нее нет обратной матрицы. Такие матрицы, не имеющие обратных, называются особенными.

Для примера найдем обратную матрицу для матрицы А, приведенной выше. Вначале рассчитаем алгебраические дополнения для всех элементов прямой матрицы

Теперь можно записать обратную матрицу в виде, где общий множитель вынесен за знак матрицы:

Правильность найденного результата легко проверить прямым перемножением обеих матриц.

Две матрицы, отличающиеся тем, что строки одной из них в точности совпадают со столбцами другой (с одними и теми же номерами), называются взаимно транспонированными. Для заданной матрицы А найти транспонированную очень просто — надо отразить исходную матрицу относительно главной диагонали, т.е. превратить строки в столбцы, а столбцы в строки. Например, для нашей матрицы А транспонированная ей матрица будет иметь вид:

Для симметричных (относительно главной диагонали) матриц операция транспонирования, не приводит к каким-либо изменениям, т.е. А = А ^т. Для некоторых матриц совпадают друг с другом транспонированная и обратная матрицы: А ^-1 = А ^т. Такие матрицы относятся к типу ортогональных. Для них нахождение обратной матрицы сводится к ее транспонированию.

Некоторые особенности имеются у матриц, элементами которых являются комплексные числа. Для таких матриц можно определить операцию комплексного сопряжения, в результате которой все комплексные элементы исходной матрицы заменяются на комплексно сопряженные им (при этом к символу матрицы добавляется верхний индекс *). Последовательное проведение операций транспонирования и комплексного сопряжения называется эрмитовым сопряжением (или просто сопряжением, что отмечается верхним индексом ⁺). Например, для комплексной матрицы

комплексно сопряженная и сопряженная матрицы будут иметь вид:

Если для комплексной матрицы выполняется условие: С = С ⁺, то она называется самосопряженной или эрмитовой матрицей. Если для комплексной матрицы выполняется условие: С ^-1 = С ⁺, то она называется унитарной матрицей.

Можно заметить, что эрмитовы матрицы играют в множестве комплексных матриц ту же роль, что и симметричные матрицы в множестве действительных матриц. В том же отношении аналогичными являются унитарные и ортогональные матрицы.

Рассмотрим такой частный случай умножения матриц, когда одна из матриц-сомножителей содержит всего один столбец (или одну строку):

В соответствии с правилами умножения, в данном случае результат умножения будет представлять собой также матрицу с одним столбцом. Очевидно, что такое умножение можно трактовать несколько иначе, а именно: как умножение матрицы на вектор-столбец. Заметим, что в результате снова получился вектор того же типа (столбец) и той же размерности. Такую операцию, обычно называют преобразованием вектора х в вектор у посредством матрицы А и записывают в виде следующего уравнения:

Матрица, преобразующая исходный вектор (вектор- прообраз) в конечный вектор (вектор- образ) называется специальным термином — линейный оператор. В более общем смысле, под оператором понимается любое правило преобразования однотипных объектов друг в друга, например, прибавление числа, умножение на число, возведение в степень, дифференцирование, интегрирование и т.д. Такое правило можно описать многими способами. Одним из таких способов является задание оператора посредством матрицы (совокупности чисел — матричных элементов). Поэтому матрицы часто называют также матричными представлениями операторов.

Рассмотрим в качестве наглядного примера операции симметрии. Будем трактовать эти операции как операторы, т.е. как правила преобразования объектов. Каждый такой оператор можно легко изобразить посредством квадратной матрицы — матричного представления операции симметрии.

Например, смысл единичной операции заключается в том, что все составные части объекта сохраняют свое положение. Пространственные координаты любой такой части можно задать в векторной форме:

Таким образом, матричным представлением единичной операции симметрии является единичная матрица.

Рассмотрим другую операцию — С ₂^z. Ее смысл заключается в повороте любого объекта вокруг оси z на половину полного оборота. Легко догадаться, что при этом происходит с координатами вектора: что координата z не изменяется вообще, а координаты x и у меняют свои знаки на противоположные. Чтобы достичь такого результата действием матрицы на вектор-столбец, необходимо, чтобы матрица имела следующий вид:

Аналогично, найдем матричные представления для операций отражения:

Между полученными матрицами существуют те же самые соотношения (связи) что и между операциями симметрии. Так, например, в группе симметрии С ₂ _v выполняется равенство: s ^хz * s ^yz = С ₂^z. Если мы заменим операции симметрии их матричными представлениями, то равенство не нарушится. Отсюда можно заключить, что для матриц-представлений можно построить точно такую же таблицу умножения, что и для операций симметрии. Эти таблицы отличаются только обозначениями. Другими словами, полученный нами набор из 4-х матриц-представлений является группой, устроенной идентично группе симметрии С ₂ _v. Мы получили две одинаковые (изоморфные) группы, которые можно рассматривать как два экземпляра одной и той же абстрактной группы, в которых мы придаем элементам этой абстрактной группы различный конкретный смысл. Такие конкретизированные группы называются представлениями абстрактных групп.Группы, элементами которых являются числовые матрицы называются матричными представлениями. Матричные представления ТГС играют очень важную роль в описании симметрии физических и химических объектов и имеют обширные практические приложения.

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: