Сдам Сам

ЧАСТИЦА В ПОТЕНЦИАЛЬНОМ ЯЩИКЕ



В этом случае зависимость потенциальной энергии от пространственных координат имеет следующий вид (для простоты ограничимся одномерным случаем движения вдоль оси х):

В промежутке от х = 0 до х = L потенциальная энергия нулевая, и когда частица находится здесь, на нее не действуют никакие силы. В остальных местах потенциальная энергия бесконечно велика, и поэтому частица не может выйти за пределы ящика: в момент касания стенки на частицу действует бесконечно большая сила, мгновенно обращающая направление ее движения.

Классическое описание

В классической механике такой тип движения называется возвратно-поступательным: частица все время движется равномерно и прямолинейно, но направление движения периодически изменяется на противоположное. Следовательно, классическое описание такой частицы практически ничем не отличается от описания свободной частицы, за исключением некоторой потери определенности направления движения. Все допустимые состояния частицы стационарны и каждое из них можно охарактеризовать двумя взаимосвязанными наблюдаемыми:

- энергия (Е = Т), имеющая определенное и постоянное значение, и всегда представляющей собой кинетическую энергию (за исключением точек возврата),

- импульср и его проекция на ось х,который может иметь всего два возможных значения рх= ±р, при этом выполняется соотношение Т = р2/2m.

В отличие от свободной частицы, для возвратно-поступательного движения можно определить еще одну наблюдаемую: частоту n = р/2mL, имеющую смысл только для достаточно длинных промежутковвремени.

Подчеркнем то обстоятельство, что мы можем приготовить классическую частицу в состоянии с любой энергией, и это состояние будет стационарным.

Отметим две особенности такой системы.

Во-первых, рассмотрим задачу о характере распределения частицы вдоль ящика. Если усреднить результаты наблюдений по достаточно большому промежутку времени, то мы получим, очевидно, полностью равномерное распределение. Действительно, так как частица всегда движется с одной и той же скоростью, то время, за которое она пробегает любой постоянный отрезок пути, будет одним и тем же, независимо от расположения этого отрезка внутри ящика (ближе к центру или к стенкам). Этот результат не зависит и от величины энергии частицы.

Во-вторых, если сделать одну из стенок ящика подвижной и медленно, по сравнению с движением самой частицы, вдвигать ее в ящик, уменьшая тем самым его размер, то будет наблюдаться постепенное увеличение энергии частицы. Такой способ изменения энергии механической системы называется адиабатическим.Физический механизм этого явления достаточно понятен: когда частица отражается от неподвижной стенки, ее энергия не изменяется, но когда частица отражается от стенки, движущейся навстречу, она каждый раз приобретает небольшую дополнительную порцию энергии. Условие “медленности” обусловлено тем, что при быстром перемещении стенки частица может не успеть удариться об нее, и изменение размера системы произойдет без изменения энергии. Поэтому, в идеале, адиабатическим можно назвать только бесконечно медленное перемещение стенки. Подчеркнем, что процесс увеличения энергии связан с изменением пространственной координаты и, следовательно, с наличием механической силы. Можно сказать, что частица, запертая в ящике, препятствует уменьшению его размера, и такое уменьшение всегда сопряжено с необходимостью преодоления силы сопротивления (давление) и совершенияработы, которая и идет на увеличение энергии частицы. Аналогично, если позволить подвижной стенке выдвигаться наружу, то частица сама будет совершать работу над внешней средой, и энергия частицы будет постепенно уменьшаться. С математической точки зрения этот процесс описывается с помощью понятия адиабатического инварианта (I): произведение импульса на размер ящика остается постоянной величиной рL = I = const, тогда р = I/L и Т = I2/2mL2.Другими словами, энергия зависит от размера ящика по квадратичному закону. При уменьшении размера ящика и увеличении скорости движения частицы, частота ее циклического движения будет возрастать вместе с энергией. При этом, отношение Т/n = I = const или Т = In (энергия пропорциональна частоте). Это соотношение (в виде Е = hn) часто трактуется как чисто квантово-механический закон. В действительности, такое соотношение является общим как для квантовой, так и для классической механики, и обусловлено только адиабатическим характером воздействия на замкнутую механическую систему с циклическим типом движения.











Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2017 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.