Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







ЧАСТИЦА В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ЯМЕ





Рассмотрим вариант предыдущей модели ("частица, запертая в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками"), в котором две противоположные стенки ямы "склеены" друг с другом таким образом, что одномерная яма с длиной L превращается в яму в виде цилиндра с радиусом r (L = 2pr). Физическую модель такой ямы можно получить, если в некотором твердом материале прорезать плоский кольцевой канал и запустить в него частицу. Не имея возможности проникнуть внутрь материала, частица будет вынуждена двигаться только по окружности. Совершенно аналогичную картину можно получить, если закрепить частицу на тонкой кольцевой проволоке или на конце жесткого стержня длины r, который, в свою очередь, может свободно вращаться вокруг некоторой оси.

Ясно, что такие модели описывают особый случай механического движения —- вращение. Поэтому описанная модель называется жестким плоским ротатором. Определение "жесткий" обусловлено неизменностью радиуса r , а определение "плоский" связано с тем фактом, что вращательное движение единственной частицы происходит всегда в некоторой постоянной плоскости, перпендикулярной оси вращения (направление оси и ориентация плоскости задаются начальными условиями). Существуют и более сложные структуры, вращательное движение в которых является нежестким и/или неплоским. Например, электрон в атоме описывается моделью нежесткого сферического ротатора. Тем не менее, основные особенности вращательного движения можно проследить и на самом простом случае (жесткого и плоского) ротатора.

Подчеркнем, что данная система, как и предыдущая, является одномерной, т.е. для полного задания текущего состояния системы достаточно указать только одно число — угол поворота (j), достигнутый частицей к данному моменту времени. Все остальные наблюдаемые должны быть либо постоянными, либо однозначно выражаться через величину этого угла.

В классическом варианте вращательное движение описывается очень просто: j(t) = w • t, где константа w — угловая скорость (частота вращения) в радианах/сек. Энергия (кинетическая) для ротатора определяется стандартным способом

Е = mv2/2 = mw2r2/2 = L2/2I

где параметр L= rmv называется механическим моментом (моментом импульса, моментом количества движения) ротатора, а константа I = mr2моментом инерции. По виду формул легко заметить, что момент импульсаL — аналог обычного импульса при прямолинейном движении, а момент инерции I — аналог массы (мера инерции ротатора). Необходимо иметь в виду одно существенное отличие: механический момент — это вектор, направленный вдоль оси вращения, т.е. он всегда перпендикулярен вектору линейной скорости и плоскости вращения.

Следует отметить, что векторные величины в квантовой механике, обычно, характеризуются величиной (модулем) и ориентацией, которая задается величиной проекции вектора на одну из координатных осей. Поэтому необходимо различать две наблюдаемые: |L| и Lz. В данном случае (плоский ротатор) ориентация вектора L строго определена — вектор направлен точно вдоль оси вращения, но направление его может быть двояким. Если частица вращается против часовой стрелки (при наблюдении сверху) то вектор направлен вверх и его проекция считается положительной. Напротив, если частица вращается по часовой стрелке, вектор направлен вниз и его проекция будет отрицательной. Таким образом, механический момент плоского ротатора характеризуется одним числом L, но двумя параметрами: модулем |L| = L и проекцией Lz = ± L.



Численные величины параметров w, E, L, I для жесткого ротатора сохраняются во времени, и полностью задаются начальными условиями. Можно сказать, что любое начальное состояние вращения будет стационарным. Если частица ротатора электрически заряжена, то, из-за ускоренного характера вращательного движения, ротатор будет непрерывно излучать электромагнитную волну. В конце концов это приведет к полной потере энергии и остановке ротатора. Другими словами, для электрически заряженного ротатора в классическом варианте стационарных состояний нет вообще.

Обратимся теперь к квантово-механическому случаю. Состояния КМ-ротатора должны описываться волновыми функциями Ф, зависящими только от одной пространственной переменной — угла j. Среди них могут существовать некоторые особые состояния — стационарные, для которых зависимость от времени выражается стандартным образом: Ф(j, t) = Ф(j) • eхр[i(E/h)t]. Пространственная часть волновой функции должна подчиняться стационарному уравнению Шредингера: НФ(j) = ЕФ(j).

Оператор Гамильтона для плоского вращения включает только оператор кинетической энергии (потенциальная энергия на всей окружности вращения равна 0), и уравнение Шредингера выглядит следующим образом:

Легко заметить, что это уравнение выглядит точно также как и для свободной частицы или частицы в ящике. Вся разница только в обозначении переменной — вместо координаты х стоит координата j. Следовательно и вид решений этого уравнения должен быть совершенно такой же (с учетом обозначения переменной):

Ф(j) = Ае imj + Be imj , где m = L/h

Каждая экспонента представляет собой частное решение, а общее решение является суперпозицией обеих частных, причем коэффициенты суперпозиции (А и В) определяются начальными условиями. Заметим, что в этом решении величина p (импульс) заменена на L (момент импульса), а константа k — на другую константу m. Как и в случае с потенциальным ящиком, в данном случае имеются определенные граничные условия: состояния ротатора отличающиеся между собой целым числом оборотов, физически (т.е. экспериментально) неразличимы. Следовательно, значение волновой функции должно в точности повторяться через каждое приращение ее аргумента (угла j) на величину 2p: Ф(j) = Ф(j + 2p). Построим две функции для разных аргументов:

Ф(j) = Ae imj + Be imj

Ф(j + 2p) = Ae im(j + 2p ) + Be im(j + 2p ) = Ae imj e im2p + Be imj e im2p

Легко заметить, что равенство двух функций будет наблюдаться при условии e im2p = e im2p = 1. Комплексная экспонента равна 1 только тогда, когда ее фаза кратна 2p: m • 2p = k • 2p , где k — любое целое число. Отсюда вытекает, что константа m может иметь только целочисленные значения: m = 0, 1, 2, 3 . . . . . . , вследствие чего m называется вращательным квантовым числом. Следовательно, учет граничных условий приводит к выделению некоторых разрешенных значений момента и энергии:

|L| = mh = 0, h, 2h, 3h, … ; Lz = ± mh = 0, ±h , ±2h , ±3h, … ;

E = L2/2I = bm2 = 0, b, 4b, 9b, …, где b = h2/2Iвращательная постоянная. Таким образом, получаем дискретный набор стационарных состояний, располагающихся на расходящейся дискретной системе энергетических уровней:

 
 

 

 


Энергетические уровни являются дважды вырожденными, что связано с возможностью вращения ротатора в двух противоположных направлениях.

Обратимся к рассмотрению волновых функций. Общее решение является суперпозицией двух частных решений:

Ф(j) = Ае imj + Be imj , где m = L/h

причем здесь на коэффициенты А и В не накладывается дополнительных условий (кроме условия нормировки), вследствие того, что у цилиндрической ямы нет границ и частица не обязана периодически изменять направление движения на противоположное). В результате, для заданных значений наблюдаемых Е и L существует целое двумерное пространство стационарных состояний, одним из базисов которого являются специальные состояния с волновыми функциями:

Ф+(j) = С+ е imj ( A = 1, B = 0 )

Ф(j) = Се imj ( A = 0, B = 1 )

Константы С+ и С нужны для нормировки волновых функций (в данном случае они одинаковы и равны числу (1/2p)1/2. Графики таких функций можно примерно представить в виде спиралей, навивающихся на окружность вращения (дляФ — по часовой стрелке, для Ф+ — против часовой стрелки). Частота спиралей определяется значением m. Можно заметить, что при m = 0 обе эти функции вырождаются в действительные константы: Ф+ = Ф = (1/2p)1/2.

Физический смысл выбора именно этих двух состояний в качестве базисных заключается в том, что для них является строго определенным направление вращения частицы, а, следовательно, и ориентация вектора L. Все остальные состояния являются суперпозиционными, и для них определенное значение имеют только энергия и длина (модуль) вектора момента|L|,тогда как при измерении проекции вектора Lz мы будем получать случайным образом два возможных результата: +L (с вероятностью А2) и –L (с вероятностью В2).

В полном соответствии с принципом неопределенности, в базисных состояниях указанного вида строго определено направление вращения частицы, и совершенно не определено положение этой частицы на окружности вращения. Если мы рассчитаем вероятность обнаружения частицы в некоторой определенной точке с заданным значением координаты j,

P (j) = |Ф+(j)|2= |Ф(j)|2 = (1/2p)1/2 = const

то увидим, что эта вероятность не зависит от положения точки. Другими словами, все положения равновероятны, и частица как бы равномерно "размазана" по всей окружности. Существуют, однако, некоторые суперпозиционные состояния, в которых пространственное положение частицы на окружности более определённо. Это такие состояния, для которых коэффициенты суперпозиции имеют следующие значения:

А = +В и Ф'(j) = Аimj + e imj ) ,

A = –BиФ"(j) = Аimj – e imj ) .

Применив тригонометрическое представление комплексных экспонент, найдем, что обе эти функции действительные:

Ф'(j) ~ cos (mj) и Ф"(j) ~ sin (mj)

Вследствие взаимной ортогональности, эти две функции образуют еще один базис двумерного подпространства состояний с определенными значениями E и L.

Для таких стационарных состояний вероятность найти частицу в некоторой определенной точке окружности уже будет зависеть от положения этой точки:

P' (j) = (1/2p) cos2 (mj) и P” (j) = (1/2p) sin2 (mj)

Таким образом, частица "размазана" по окружности не совсем равномерно, а образует в некоторых областях более плотное облако, а в некоторых — менее плотное. Имеются даже такие точки, где плотность облака равна нулю, т.е. облако разделено узловыми поверхностями на части.

Другими словами, здесь также получается стоячая волна с узлами и пучностями (отрезки синусоид, свернутые в кольцо), но расположенная не вдоль прямой, как для частицы в ящике, а вдоль окружности. Смысл квантования, проявляющегося в данном случае, сводится к тому, чтобы на окружности помещалось целое число полуволн, т.е. чтобы при добавлении еще одного целого поворота максимумы и минимумы волны совпадали с предыдущими (только так можно обеспечить стационарность состояния).

Очевидно, что ориентация вектора Lдля таких состояний совершенно не определена: при измерении мы будем получать два результата: Lz = +mh и Lz = –mh с одинаковыми вероятностями 1/2.

При m = 0 эти формулы вырождаются в константы:

Ф'(j) = (1/2p)1/2 и Ф"(j) = 0.

Можно построить графики и самих волновых функций и их квадратов. Это удобнее сделать в виде т.н. полярных диаграмм, которые строятся следующим образом. Для рассматриваемого значения координаты j проведем вектор под этим углом из центра окружности, причем длина этого вектора будет равна величине функции при данном значении j, т.е. Ф(j). Концы всех таких векторов и образуют кривую — полярную диаграмму функцииФ(j).

На приведенном ниже рисунке пунктирными прямыми линиями обозначены узловые плоскости. Видно, что узловая структура волновых функций плоского ротатора закономерно меняется с изменением вращательного квантового числа.

 
 

 

 


 









Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2017 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.