Сдам Сам

Обобщения модели осциллятора

Многомерный осциллятор. В большинстве реальных структур возможно не одно, а несколько типов колебаний. Такие системы описываются моделью многомерного осциллятора. Если все колебания относятся к гармоническим, то эта модель относительно проста. В ее основе лежит следующее обстоятельство: колебательное движение сложной системы всегда можно представить как совокупность (наложение, суперпозицию) независимых друг от друга одномерных колебаний — т.н. нормальных. Нормальным называется такое колебательное движение, в котором участвуют все атомы молекулы, причем их движения согласованы и по частоте, и по фазе.

Каждое нормальное колебание описывается моделью одномерного осциллятора. Поэтому, модель многомерного осциллятора является простой совокупностью нескольких моделей одномерного осциллятора. Все, что требуется — это указание набора квантовых чисел { v1, v2, …, vn } и набора параметров — собственных частот { w1, w2, …, wn }. Число нормальных колебаний (n) зависит от числа атомов (N) в молекуле и равно n = 3N – 6 (для нелинейных молекул) или n = 3N – 5 (для линейных молекул).

Волновая функция многомерного осциллятора будет произведением одномерных функций стандартного типа.

Ф(x1 , x2 , . . . xn ) = Ф1(x1) • Ф2(x2) • ... • Фn(xn)

а полная энергия — суммой энергий всех нормальных колебаний:

Е = Е1 + Е2 + . . . . = hw1(v1 + 1/2) + hw2(v2 + 1/2) + . . .

Ангармонический осциллятор. В некоторых системах упругая сила в осцилляторе не подчиняется закону Гука, и колебания не являются гармоническими. Такие “ангармонические осцилляторы” имеют описание аналогичное в качественном отношении, но отличающееся количественно — в отношении вида волновых функций и расстояний между уровнями энергии.

Например, для двухатомных молекул силы отталкивания, возникающие при сближении атомов, больше, чем силы притяжения, возникающие при удалении атомов от равновесного положения. Поэтому форма потенциальной ямы уже не имеет правильного параболического вида, а описывается т.н. “потенциалом Морзе”.

Из рисунка видно, что потенциальная яма такой формы расширяется быстрее, чем параболическая. Это приводит к нарушению эквидистантности в расположении энергетических уровней и их постепенному схождению к т.н. “диссоциационному пределу” (D).

 

 

 
 

 


Следовательно, для молекул существует некоторое предельное значение колебательной энергии, выше которого наступает разрыв химической связи. При условии Екол > D расстояние между атомами может увеличиваться до бесконечности без изменения энергии, т.е. атомы свободно движутся относительно друг друга.

Осциллятор в термостате. При наличии возможности взаимодействия с окружающей средой (термостатом), осциллятор, подобно частице в ящике и ротатору, пробегает со временем все доступные ему стационарные состояния с вероятностями, определяемыми значениями энергии (в соответствии с функцией Больцмана).

Вопросы для самоконтроля

1. В чем различие между физическими и математическими моделями? Для чего нужны физические модели?

2. Дайте определение понятия "свободная частица". Каковы особенности этой модели, отличающие ее от остальных?

3. Какими величинами характеризуются стационарные состояния свободной частицы?

4. Укажите основные отличия классического описания свободной частицы от квантово-механического.

5. Для описания каких типов реальных объектов может быть использована модель свободной частицы?

6. Дайте определение понятия "потенциальная яма". Перечислите основные разновидности потенциальных ям.

7. Дайте определение понятия "потенциальный ящик". Какими параметрами характеризуется потенциальный ящик?

8. Какой тип движения характерен для частицы в потенциальном ящике? Какие величины характеризуют стационарное состояние частицы для этого вида движения?

9. Постройте вид энергетической и импульсной диаграммы для частицы в потенциальном ящике. Как повлияет изменение параметров модели (размерность модели, размеры ящика, наклон стенок, масса частицы) на вид этих диаграмм?

10. Дайте определение понятия "адиабатичность".

11. Каково влияние граничных условий на возможные стационарные состояния частицы в потенциальном ящике?

12. Укажите основные отличия классического описания частицы в ящике от квантово-механического.

13. Для описания каких типов реальных объектов может быть использована модель частицы в потенциальном ящике?

14. Дайте определение понятия "плоский ротатор". Какие еще разновидности ротаторов Вам известны?

15. Какой тип движения характерен для частицы в цилиндрическом потенциальном ящике? Какие величины характеризуют стационарное состояние частицы для этого вида движения?

16. Постройте диаграммы для стационарных значений энергии, модуля вектора момента импульса и проекций этого вектора для плоского ротатора. Как повлияет изменение параметров модели (размерность модели, радиус вращения, масса частицы) на их вид?

17. Как выглядят граничные условия для модели плоского ротатора?

18. Укажите основные отличия классического описания ротатора от квантово-механического.

19. Для описания каких типов реальных объектов может быть использована модель плоского ротатора?

20. Дайте определение понятия "гармонический осциллятор".

21. Какой тип движения характерен для частицы в параболической потенциальной яме? Какие величины характеризуют стационарное состояние частицы для этого вида движения?

22. Постройте энергетическую диаграмму для стационарных состояний одномерного гармонического осциллятора. Как повлияет изменение параметров модели (размерность модели, силовая постоянная, масса частицы) на вид этой диаграммы?

23. Как выглядят граничные условия для модели плоского ротатора? Каким образом осуществляется их учет?

24. Опишите узловую структуру полиномов Эрмита в зависимости от величины колебательного квантового числа.

25. Укажите основные отличия классического описания гармонического осциллятора от квантово-механического.

26. Дайте определение понятия "нормальное колебание". Сколько нормальных колебаний возможно для некоторой данной молекулы? Каковы ограничения применимости модели нормальных колебаний?

27. Для описания каких типов реальных объектов может быть использована модель гармонического осциллятора?

28. Каково влияние термостата на состояния частицы в ящике, плоского ротатора и гармонического осциллятора?

 

Типовые задачи

1. В изолированном потенциальном ящике с размерами Lх, Ly, Lz находится атом гелия-4. в стационарном состоянии с квантовыми числами nx, ny, nz .

а) Рассчитать энергию частицы и модуль ее импульса.

б) Рассчитать работу, которую необходимо совершить, чтобы разделить ящик пополам перегородкой, ориентированной перпендикулярно осям х, y, z. Процесс считать адиабатическим (без квантовых скачков).

в) Изобразить узловую структуру волновой функции.

2. Молекула дейтерия приготовлена в таких условиях, что ведет себя как плоский ротатор. Ось вращения проходит через центр молекулы перпендикулярно химической связи D-D (длину связи считать неизменной).

а) Рассчитать энергии первых пяти вращательных уровней.

б) Что произойдет с этими уровнями, если дейтерий заменить на тритий (Т-Т) или на протий (Н-Н)?

в) Рассчитать длину и частоту волны света, вызывающего переход между третьим и четвертым вращательными уровнями.

г) Для указанных пяти стационарных состояний рассчитать величины модуля вектора момента импульса и его возможных проекций на ось вращения

3. Имеется трехатомная молекула (нелинейная). Собственные частоты нормальных колебаний равны:

w1 = 1•1014 гц, w2 = 2•1014 гц, w3 = 3•1014 гц

а) Рассчитать энергии первых шести колебательных энергетических уровней этой молекулы (уровень определяется суммарной энергией всей молекулы).

б) Рассчитать длину и частоту волны света, вызывающего переход между вторым и третьим колебательными уровнями.

4. Определить число нормальных колебаний заданной молекулы.

Список рекомендуемой литературы

Введение в квантовую химию (под ред. С. Накагура). М.: Мир, 1982.

Заградник Р., Полак Р. Основы квантовой химии. М.: Мир, 1979.

Мелешина А.М. Курс квантовой механики для химиков. М.: ВШ, 1980.

Минкин В.И., Симкин Б.Я., Миняев Р.М. Теория строения молекул. Ростов на Дону.: Феникс, 1997.

Симкин Б.Я., и др. Задачи по теории строения молекул. Ростов на Дону.: Феникс, 1997.

Суханов А.Д. Лекции по квантовой физике. М.: ВШ, 1991.

Шпольский Э.В. Атомная физика. Т. 1 и 2. М.: Наука, 1984.

Фейнман Р. и др. Фейнмановские лекции по физике. М.: Мир, 1967. Т. 8, 9.

Хабердитцл В. Строение материи и химическая связь. М.: Мир, 1974.

Хедвиг П. Прикладная квантовая химия. М.: Мир, 1977.

Эрдеи-Груз Т. Основы строения материи. М.: Мир, 1976.

 







Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2017 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.