Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Необходимое и достаточное условие существования обратного отображения.





Для того, чтобы отображение f: A® B имело обратное f-1: B®A,

Необходимо и достаточно, чтобы отображение f было биективным.

Декартово произведение множеств А и В.

Декартовым произведением множеств А и В называется множество, обозначаемое А×В, состоящее из упорядоченных пар а и b.

A×B={(a;b)| aÎA;bÎB}

Если ХÌR; YÌR,то (X;Y;f) отображение X®Y называют числовой функцией. X=D(f)-область определения функции E(f)=f(X)ÌY-множество значений функции Графиком функции называется множество: γ={(x;y)| xÎX;y=f(x)ÎY}Ì X×Y на координатной плоскости -это множество точек с координатами (x;y)
Обратите внимание, что не каждая линия на плоскости является графиком функции.

 


Рассмотрим следующие примеры.

Это графики некоторых функций, т.к. разным значениям аргумента х соответствуют определённые значения у.
у
х
y
x

 

 


 


х
Окружность не является графиком функции, но её можно задать уравнением: х22=r2 (в общем случае (х-х0)2+(у-у0)2=r2
у
x
y
Это парабола, но в данном случае это не график функции, т.к. разным значениям аргумента х соответствуют сразу два значения у. Уравнение такой параболы имеет вид: у2=2рх, где параметр «р» положителен.

 

 


Заметим, что если f -сюръекция, то множество значений f(X)=Y.

Если f-инъекция, то функция строго монотонна, т.е. или возрастает или убывает на множестве Х.

Если f-биекция, то f(X)=Y и функция строго монотонна и при этом существует обратная функция.


Если функция f: 1) строго монотонна на множестве D(f) 2) непрерывна 3) имеет множество значений E(f),то существует обратная функция f-1,такая что: 1) D(f-1)=E(f) 2) E(f-1)=D(f) 3) непрерывная 4) монотонна в том же смысле, что и данная функция. Если строить графики в одной системе координат y=f(x) и у=f-1(x), то эти графики расположены симметрично относительно прямой у=х.
Сформулируем основную теорему о существовании обратной функции.

 

 

Рассмотрим пример:

Дано: у=2х+5;

Найти обратную функцию.

Решение:

Данная функция f: y=2x+5

1)D(f)=R

2) E(f)=R

Строго возрастает на всей области определения

Непрерывна

 

Существует обратная функция

5)f-1: x=0,5y-2,5

6)x«y y=0,5x-2,5®обратная функция.

7)D(f-1)=E(f)=R

у
8)E(f-1)=D(f)=R

f
9)непрерывна

 
10)возрастает

f-1
y=x

 

 
х

 


 


Композиция (произведение) отображений в терминах функции называется сложной функцией.

Пусть: y=f(x); y=g(x), тогда y=f(g(x))- сложная функция.

[f(g(x))≠g(f(x))].

Рассмотрим следующий пример:

f(x)=|x-1|; g(x)=1/5(x+3).

Найти:

A) f(g(x))

B) g(f(x))

Решение:

а) f(g(x))=f( = | .

b) g(f(x))=g(|x-1|)=

Решение примеров.

Пример 1

A=[-2;5] B=[-2;4] f: A®B
 
По графикам функций, изображённых на рисунках, определите виды отображений.

 
-2
-2
а)

 

A=[-2;+∞) B=(-∞;+∞) f:A®B


-2
-1
b)


A=[-2;+∞) B=(0;5] f:A®B
 
-2
c)

 

 

 


Решение:

а) f(A)=B® сюръекция (биекции нет, т.к. функция не является строго монотонной)

b) f(A)≠B,но при этом функция строго возрастает® инъекция.

с) f(A)=B; функция строго убывает ® биекция

Пример 2(творческое задание).

Придумайте графики функций как отображение f: A®B так, чтобы получить различные виды отображений.


ГЛАВА 5. Числовые функции и их свойства.

Определение числовой функции. Основные свойства.

Как уже рассматривалось в предыдущей главе, числовую функцию можно определить, как отображение двух числовых множеств:

f: X®Y; (X;Y;f);XÌR;YÌR.

Существуют различные способы задания функции:

Табличный

Аналитический

Графический

При исследовании функции и для построения графика функции необходимо изучить основные свойства.

Область определения функции D(f)

Область определения функции- это множество допустимых значений аргумента.

При нахождении области определения функции помните, что нельзя:

Делить на ноль

Извлекать корень чётной степени из отрицательного числа

Вычислять логарифмы неположительных чисел

Вычислять арксинус и арккосинус чисел по модулю больших единицы.

Множество значений функции.

Если X=D(f)-область определения функции f, то f(X)=E(f)-множество всех значений функции.

E(f)={y| y=f(x); xÎD(f)}

Примечание: В некоторых случаях множество значений функции легко определить по построенному графику.

Множество корней функции.

Число 𝛂ÎD(f) называется корнем функции y=f(x), если f(𝛂)=0.

Для нахождения корней функции необходимо решить уравнение:

f(x)=0.(точки пересечения графика с осью абсцисс)

При этом множество корней может быть различным, а именно:

Конечным

Бесконечным счётным

Бесконечным несчётным

Пустым.







ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2024 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.