Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Данная функция строго монотонна, а именно убывает.





Сделаем контрольную проверку.

Пусть х1=2® f(2)=-1; x2=1®f(1)=6.

x1>x2®f(x1)<f(x2)®функция убывает.

Следовательно, существует обратная функция, при этом

E(f-1)=D(f)=(-∞; ]

Ответ: (-∞; ]

Пример 13 (самостоятельно).

Найти E(f-1)по заданной функции у=f(x), если

у= .

Ответ: (-∞;- )∪(- ;+∞).

Пример 14 (самостоятельно).

Найти E(f-1)по заданной функции у=f(x), если

у= .

Ответ: (-∞; ).

Пример 15.

Найти E(f-1)по заданной функции у=f(x), если

у= -4.

Ответ: (-∞;5,5].

Пример 16 (самостоятельно).

Найти E(f-1)по заданной функции у=f(x), если

у= -5.

Ответ: (-∞;+∞).

Пример 17.

Дано: у= -2.

Найти: 1)обратную функцию;2) построить графики функций f(x)и f-1(x).

Решение:

1.Построим график функции у= -2 (можно использовать преобразования графиков: (1) у= ; (2) у= -2).

у
Схема данного графика:

х
f-1
 
f
-2
-2
y=x
 

 


2.D(f)=(-∞;+∞)

3.E(f)=(-2;+∞); у=-2-горизонтальная асимптота.

Функция непрерывная и строго возрастает

Существует обратная функция.

Находим формулу обратной функции, выражая переменную х через у.

у= -2«3х+1=у+2«х+1= «х= 1 (f-1)

6.Для построения графика обратной функции в старой системе координат поменяем местами переменные:х«у: у= -1 (f—1).

7.D(f-1)=E(f)=(-2;+∞); х=-2-вертикальная асимптота.

8.E(f-1)=D(f)=(-∞;+∞).

9.f-1 возрастает и непрерывна.

Напомним, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у=х.

Пример 18.

Дано: y= +2

Найти: 1)обратную функцию;2) построить графики функций f(x)и f-1(x).

Решение:

y
f-1
1.Строим график функции y= +2

 
f
х=1
у=1
у=х
 
x

 


2.D(f)=(1;+∞); x=1-вертикальная асимптота.

3.E(f)=(-∞;+∞).

Функция непрерывна и строго убывает.

Существует обратная функция.

Находим формулу обратной функции, выражая переменную х через у.

y= +2« =у-2«х-1= «х=( +1.

Для построения графика обратной функции в старой системе

координат поменяем местами переменные:х«у =( +1 (f-1)

7.D(f-1)=E(f)=(-∞;+∞).

8.E(f-1)=D(f)=(1;+∞); y=1-горизонтальная асимптота.

Функция непрерывна и убывает.

Пример 19.

Дано:

у=х2-7х+12.

Определить интервалы монотонности и на каждом интервале найти обратную функцию.

Построить графики.

Решение:

у=х2-7х+12«у=(х-3,5)2-0,25-это парабола.

ü х=3,5- ось симметрии

ü (3,5;-0,25)-вершина параболы

ü корни: х1=3; х2=4.

ü у(0)=12.

f1
1.Строим график данной функции.

х
у
х=3,5
 
 
f2

 

 


Имеем два интервала монотонности.

N f1 f2
  D(f1)=(-∞;3,5] D(f2)=[3,5;+∞)
  E(f1)=[0,25;+∞) E(f2)=[0,25;+∞)
  Функция убывает Функция возрастает
  Формула обратной функции: (х-3,5)2=у+0,25« |х-3,5|= « Х-3,5=- « Х=3.5- Формула обратной функции: (х-3,5)2=у+0,25« |х-3,5|= « Х-3,5= « Х=3.5+
  x«y f1-1: y=3,5- x«y f2-1: y=3,5+
  D(f1-1)=E(f1)=[0,25;+∞) D(f2-1)=E(f2)=[0,25;+∞)
  E(f1-1)=D(f1)=(-∞;3,5] E(f2-1)=D(f2)=[3,5;+∞)
  f1-1(x) убывает f2-1(x)-возрастает
 
f1-1
f1

f2-1
f2

Замечание:

Обратите внимание, что f1=f2= х2-7х+12.

Но обратные функции имеют различные формулы задания.

Но, если построить графики обратных функций в одной системе координат, то получим тоже параболу, которую задают уравнением:

(у-3,5)2=х+0,25.

у=3.5

 


Пример 19.

Дано:

у=

Определить интервалы монотонности и на каждом интервале найти обратную функцию.

Построить графики.

Решение:

Данная функция задаётся объединением двух формул, если раскрыть знак модуля.

у= .

Схема графика:

f2
f1
x=1
 
-1
x
y

 


Имеем два интервала монотонности.

N f1(x)= f2(x)=
  D(f1)=(-∞;1] D(f2)=[1;+∞)
  E(f1)=[-4;+∞) E(f2)=[-4;+∞)
  Функция убывает Функция возрастает
  Формула обратной функции: У= « 21-х=у+4« 1-х= « Х=1- Формула обратной функции: У= « 2х-1=у+4« Х-1= « Х=1+
  х«у f1-1: y=1- х«у f2-1: y=1+
  D(f1-1)=E(f1)=[-4;+∞) D(f2-1)=E(f2)=[-4;+∞)
  E(f1-1)=D(f1)=(-∞;1] E(f2-1)=D(f2)=[1;+∞)
  f1-1(x)-убывает f2-1(x)-возрастает
 
f1-1
f1
х=1
у=х
-4
-4

f2-1
f2
-4
-4
x=1
y=x

Пример 20.

у
По данному графику найти аналитическое выражение функции и на каждом интервале монотонности определить обратную функцию и построить графики.

х
-3
 
-1
 
 
 
f1
f2
f3

 


Имеем ломаную и три интервала монотонности.

f1
На каждом интервале найдём аналитическое задание функции.

D(f1)=[-3;0]; проходит через точку (-3;0) с угловым

коэффициентом к1=1/3

Уравнение прямой ищем в виде: у=к1(х-х0)+у0®у=1/3(х+3).

f2
D(f2)=[0;2]; проходит через точку (0;1) с угловым

коэффициентом к2=-1

f3
Уравнение прямой ищем в виде: у=к2(х-х0)+у0®у=-х+1.

D(f3)=[2;5]; проходит через две точки М1(2;-1) и М2(5;4).

Уравнение прямой ищем в виде: ® «

5(х-2)=3(у+1)«у= х- .

Окончательно получаем объединённую формулу задания данной функции.

f(x)=

Далее на каждом интервале монотонности определим обратную функцию и проведём полное исследование.

Обратите внимание, что нельзя найти единой обратной функции, но можно определить обратную функцию на выбранном участке монотонности.


N f1(x)= f2(x)=-x+1 f3(x)=
  D(f1)=[-3;0] D(f2)=[0;2] D(f3)=[2;5]
  E(f1)=[0;1] E(f2)=[-1;1] E(f3)=[-1;4]
  Возрастает Убывает Возрастает
  Формула обратной функции У= Х=3у-3 Формула обратной функции У=-х+1 Х=-у+1 Формула обратной функции У= Х=
  x«y f1-1(x)= x«y f2-1(x)=-x+1 x«y f3-1(x)=
  D(f1-1)=E(f1)=[0;1] D(f2-1)=E(f2)=[-1;1] D(f3-1)=E(f3)=[-1;4]
  E(f1-1)=D(f1)=[-3;0] E(f2-1)=D(f2)=[0;2] E(f3-1)=D(f3)=[2;5]
  f1-1(x) возрастает f2-1(x) убывает f3-1(x) возрастает
 
f1-1
f1
-3
 
 
-3
у=х

f2
f2-1
-1
 
 
y=x
-1

y=x
f3
f3-1
 
 
 
 
 
 
-1
-1

Пример 21.

Дано:

у=|х-1|+2|х+3|-2х+1.

Построить график данной функции и определить интервалы монотонности.







Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2024 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.