|
Найти множество значений функции E(f) и точки экстремумов.⇐ ПредыдущаяСтр 17 из 17 1) f(x)=cos2x + cosx –3/4; 2) f(x)=cos2x + cosx - 3/2; 3) f(x)= -4cos2x + 4 cosx Решение: 1) f(x)=cos2x + cosx –3/4 Введем новую переменную t=cosx, t Є [-1,1] f(t)= t2 +t – ¾ è f(t)= (t+1/2)2-1, t Є [-1,1] (рис1) min f|t=-1/2= -1 è m=-1; f(-1)=-3/4; f(1)= 5/4 è M=5/4 E(f)= [-1;1 ] min f=-1 при t=- <==> cosx= - <==> x=± π + 2πк, к Є Z Ответ: E(f)= [-1;1 ]; minf(± +2πk)=-1 2) f(x)=cos2x + cosx - Введем новую переменную: t=cosx, t Є [-1,1] f(t)=t2+ t - è f(t)= (t+ )2-2, t Є [-1,1] (рис. 2) minf|t=- = -2 è m=-2; f(-1)= (-1+ )2-2 = = 1 - + -2= - -√2; f(1)= (1 + )2-2= - +√2 M= - è E(f)= [-2;√2 - ] minf=-2 при t= <==> cosx = - <==> x=± π + 2πк Ответ: E(f)= [-2; - ]; minf| x=± π + 2πк =-2 Рис.2 3) f(x)= -4cos2x+4√3 cosx Введем новую переменную: t= cosx; t Є [-1,1] f(t)= -4t2+4√3 t, t Є [-1,1] f(t)=-4(t- )2+3 (рис.3) maxf|t= =3 è M=3; f(-1)= -4 - 4 è m= -4 - 4 f(1)= -4+ 4 E(f)=[ -4 - 4 ;3] maxf=3 при t= <==>cosx= <==> x=± 𝛑+ 2𝛑к, кÎZ. Ответ: E(f)=[ -4 - 4 ;3]; maxf(± Пример 3 (самостоятельно) Найти множество значений функции E(f) и точки экстремумов (самостоятельно) 2) f(x)= -2 sin2x+ 2 sinx +2 3) f(x)=4sin2x +4 sinx -2 Ответ: 1) E(f)= [-1 ;1] maxf((-1)k+1 +πk; kÎZ)=1 2) E(f)=[- 2 ;3] maxf((-1)k +πk;kÎZ)=3 3) E(f)=[-5; 2+4 ] minf((-1)k+1 )=-5
Пример 4. Решить уравнение: | + |=1 Решение: Обозначим tÎ[-1;1] ® |t- Геометрическое решение: (Повторите в разделе «специальные функции» функцию «корыто»)
Ответ:{[- Пример 5 (самостоятельно). | . Ответ: {2πk, kÎZ}. Пример 6. Решить неравенство: . Решение: Рассмотрим две функции: f(x)= ; g(x)= ® f(x)³g(x). Определим множество значений для каждой функции: f(x)= , т.к. -1≤ , то 1/3≤ ≤1®D(f)=[1/3; 1] g(x)= , т.к. ,.то 1≤ ≤2® D(g)=[1;2] f(x)³g(x) « « « ® Ответ:{ } Пример 7 Самостоятельно). Решить неравенство: . Ответ:{ . Пример 8. Найти область определения функции: y=arcsin(3x+4). Решение: Область определения данной функции: |3х+4|≤1«|х+
Ответ:D(f)=[- Пример 9 (самостоятельно). Найти область определения функции: y=arccos(2-5x). Ответ: [1/5; 3/5]. Пример 10. Решить уравнение: (x2-8)+3x2+16x+8=0. Решение: О.д.з.:|х2-8|≤1«7≤х2≤9«√7≤|х|≤3.
О.д.з.:хÎ[-3; -√7]∪[√7; 3]. Т.к. ® x2-8+3x2+16x+8=0 «4x2+16x=0«x(x+4)=0« Ответ:∅ Пример 11(самостоятельно). Решить уравнение: Ответ:{2}. Пример 12 (самостоятельно). Вычислить: *( . Ответ:√5. Пример 13 (самостоятельно). Вычислить: |3 , если 2,5 . Ответ: 5 Пример 14. Вычислить: 1) ; 2) ; 3) ; 4) Решение: 1) = = . Пусть arctg( )=𝛂«
Ответ: = = . Пусть arcctg(1/√7)=𝛂«
Ответ: . 3) = = . Пусть =𝛂«
Ответ:-2. 1) 4) = =- Пусть =𝛂«
Ответ:- Пример 15 (самостоятельно) Вычислить: 1) arccos ); 2) tg(arcctg(-2/5); 3) ; 4) ; 5) tg(arc ); 6) ctg(arc Ответ: 1) ; 2)-2,5; 3) ;4)√5/3; 5)-1; 6) -1/√5. Пример 14. Найти периоды данных функций и вычислить значения функций в указанных точках. 1. y= 2 sin ; х1= х2=- 2. y= - cos ; х1= х2=- 3. y= 5 tg ; х1= х2= - 4. y= ctg ; х1= х2= - 5. y= 2 sin3x+1; х1= х2= - 6. y= 4 cos -1; х1= х2= - 7. y=sin2x; х1= х2= - 8. y=cos2 2x; х1= х2=- Решение: Заметим, что для функций y=sin x и y=cos x основной период Т=2 . Для функций y=tg x и y=ctg x основной период Т= . Bычислим значения функций в указанных точках. 1. y= 2 sin ; х1= х2=- По свойствам периодических функций Т=2 y =2sin =2sin =2sin (0)=0 y =2sin =-2sin =2sin =2sin =1 Ответ: Т=2 ; у =0; у =1
2. y= - cos ; х1= х2=- По свойствам периодических функций Т=2 y = - cos =- cos =- cos = y =- cos =- cos =- cos = 0 Ответ: Т=2 ; y = ; y = 0
3. y= 5 tg ; х1= х2= - По свойствам периодических функций Т= y = 5tg = 5tg = - 5tg0=0 y = 5tg = 5tg = 5tg =5tg =5 Ответ: Т= ; y =0; y =5
4. y= ctg ; х1= х2= - По свойствам периодических функций Т= y = ctg = ctg = ctg = = ctg = y = ctg = ctg =- ctg = = ctg =- Ответ: Т= ; y = ; y =-
5. y= 2 sin3x+1; х1= х2= - По свойствам периодических функций Т= y =2 sin +1=2 sin +1=2 sin +1=2 sin +1=3 y =2 sin +1=2 sin =2 sin +1=2 sin +1=-2 +1=1- Ответ: Т= ; y =3; y =1- 6. y= 4 cos -1; х1= х2= - По свойствам периодических функций Т=2 : =6𝛑 y =4cos -1=4cos -1=4cos -1==4cos -1=4 -1=2 -1 y =4cos -1=4cos -1=4cos -1= 4cos -1= =2 -1 Ответ: Т=6π; y =2 -1; =2 -1 7. y=sin2x; х1= х2= - y=sin2x y= По свойствам периодических функций Т=2𝛑:2= 𝛑 y = = = = = y = = = = = Ответ: Т=π; y = ; y = 8. y=cos2 2x; х1= х2=- y=cos2 2x y= (1+cos4x) По свойствам периодических функций Т= y = = = = = = y = = = = = Ответ: Т= ; y = ; y =
Пример15 (самостоятельно). Найти периоды данных функций и вычислить значения функций в указанных точках. 1. y= -3sin , х1= х2=- 2. y= cos , х1= х2=- 3. y= 2 tg ; х1= х2= - 4. y= ctg ; х1= х2= - 5. y= sin , х1= х2= - 6. y= 2 cos +7; х1= х2= - 7. y=2sin2 3x; х1= х2=- 8. y= - cos2 x; х1= х2= - Ответы: 1) Т=2 ; =0; = - 2) Т=2 ; = ; = 6) Т= ; =8 = 5 3) Т= ; =0; = -2 7) Т= ; =2 = 4) Т= ; = ; = 0 8) Т= ; =0; = - 5) Т=6 ; = ; = - Пример16. Найти периоды данных функций. 1. y= 2 sin +3 cos 2. y= sin -2 cos 3. y= 2tg + ctg 4. y=3 sin +tg Решение: 1. y= 2 sin +3 cos f (x)= 2 sin T = f (x)= 3 cos T = Найдём основной период Т функции y= f (x)+ f (x), используя соотношение: k Т1=nТ2 (k,n N) = = = ®k 3, n 2 T= k T =3 =2 (n =2 ) Ответ: 2π. 2. y= sin -2 cos f (x)= sin T =2𝛑: f (x)= -2 cos T =2 : y= f (x)+ f (x) Основной период Т будем находить из соотношения: k Т1= n Т2 (k,n N) = = = k 8, n 15 T= k (T=n Ответ: Т= 3. y= 2tg + ctg f (x)= 2tg T =7𝛑 f (x)= ctg T = : y= f (x)+ f (x) Основной период Т будем находить из соотношения: k T =n T (k,n N) = = = ® k 3, n 14 T= k (k = Ответ: Т= 4. y= 3 sin +tg y=3 sin -tg f (x)= 3 sin T =2𝛑: f (x)= - tg T = Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|