Переполнение при выполнении операции сложения целых чисел со знаком в ЭВМ

Переполнением называется выход результата выполнения арифметической операции из допустимого диапазона представления чисел. В двоичной системе при выполнении операции сложения чисел со знаком переполнение может возникнуть в двух случаях:

· если слагаемые положительны, а их сумма – отрицательна;

· если слагаемые отрицательны, а их сумма – положительна. При сложении чисел с разным знаком переполнение возникнуть не может.

Пример. n = 4. Диапазон представления от -8 до +7.

0111 (+7)

+ 0110 (+6)

1101 (-3). Правильный результат сложения - +13 выходит за допустимый диапазон представления чисел, и поэтому фиксируется арифметическое переполнение.

6. ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ КОНТРОЛЬНОГО ЗАДАНИЯ

Выполнение задания рассмотрим на конкретном примере, предположив, что предпоследней цифре шифра соответствует число A1 = 90 (10), а последней – число A2 = 33 (10).

Для выполнения задания необходимо выполнить следующую последовательность действий:

1. Cформировать число W в десятичной системе. W = 90,33 (10).

2. Для перевода числа W в другие системы необходимо воспользоваться отдельно правилами перевода целой и дробной части числа (число A1 – целое, а число A2 – дробное).

Перевод в двоичную систему.

а) целой части б) дробной части

90 2 0,33

90 45 2 2

0 44 22 2 0,66

1 22 11 2 2

0 10 5 2 1,32

1 4 2 2 2

1 2 1 0,64

0 2

1,28

2

0,56

2

1,12

W =1011010,010101 (2). Проверим правильность перевода:

+

(10).

Перевод в восьмеричную систему.

а) целой части б) дробной части

90 8 0,33

88 11 8 8

2 8 1 2,64

3 8

5,12

W =132,25 (8). Проверим правильность перевода:

(10).

Перевод в шестнадцатеричную систему.

а) целой части б) дробной части

90 16 0,33

80 5 16

10 5,28

16

4,48

W =5A,54 (16). Проверим правильность перевода:

(10).

Заметим, что дробная часть исходного числа и дробная часть, получаемая при переводе в десятичную систему из двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем отличается на 0,001875, что обусловлено заданной точностью перевода.

Поскольку двоичная система связана с восьмеричной и шестнадцатеричной специальными соотношениями (8 = 2³,16 = 2⁴), то выполнив перевод из десятичной системы в двоичную, можно выполнить перевод в восьмеричную систему (разбивая двоичное число на триады) и в шестнадцатеричную систему (разбивая число на тетрады).

W = 0 0 1 0 1 1 0 1 0, 0 1 0 1 0 1 (2)

1 3 2, 2 5 (8)

W = 0 1 0 1 1 0 1 0, 0 1 0 1 0 1 0 0 (2)

5 A, 5 4 (16).

3. Представим числа в дополнительном коде.

3.1 Для двоичной системы

A1 = 1011010 (2). + A1 = 0 | 1011010.

- A1 = 1 | 0100101 (инвертируем разряды)

+ 1 (добавляем 1 к младшему разряду)

1 | 0100110.

Переведем целое число A2 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатиричную системы счисления (также как мы переводили число A1).

A2 = 33 (10) = 100001 (2) = 41 (8) = 21 (16).

Так как число A2 меньше числа A1, а операции над числами выполняются в фиксированном формате, то в качестве базового выбираем формат, имеющий число разрядов, необходимое для представления числа A1, а в старшую часть числа A2 для выравнивания добавляем незначащие нули, если это необходимо.

A2 = 0100001 (2). + A2 = 0 | 0100001.

- A2 = 1 | 1011110 (инвертируем разряды)

+ 1 (добавляем 1 к младшему разряду)

1 | 1011111.

В этом примере для представления чисел в двоичной системе счисления требуется 8 двоичных разрядов, включая знаковый разряд, т.е. можно сказать, что используется формат байта.

Следовательно, в восьмеричной системе для представления чисел потребуется три разряда, а в шестнадцатеричной – два.

3.2 Для восьмеричной системы:

A1 = 132 (8). + A1 = 132.

- A1 = 645 (заменяем цифры на взаимно обратные)

+ 1 (добавляем 1 к младшему разряду)

646.

A2 = 41 (8). + A2 = 041.

- A2 = 736 (заменяем цифры на взаимно обратные)

+ 1 (добавляем 1 к младшему разряду)

737.

3.3 Для шестнадцатиричной системы:

A1 = 5A (16). +A1 = 5A.

- A1 = A5 (заменяем цифры на взаимно обратные)

+ 1 (добавляем 1 к младшему разряду)

A6.

A2 = 21 (16). + A2 = 21.

- A2 = DE (заменяем цифры на взаимно обратные)

+ 1 (добавляем 1 к младшему разряду)

DF.

4. Выполним операции сложения над числами в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах:

4.1 В двоичной системе:

A1 + A2 = 0 | 1011010 -A1 – A2 = 1 | 0100110

+ 0 | 0100001 1 | 1011111

0 | 1111011 (2) 1| 0000101 (2)

A1 - A2 = 0 | 1011010 -A1 + A2 = 1 | 0100110

+ 1 | 1011111 0 | 0100001

0 | 0111001 (2) 1| 1000111 (2).

4.2 В восьмеричной системе:

A1 + A2 = 132 -A1 – A2 = 646

+ 041 737

173 (8) 605 (8)

A1 - A2 = 132 -A1 + A2 = 646

+ 737 041

071 (8) 707 (8).

4.3 В шестнадцатеричной системе:

A1 + A2 = 5A -A1 – A2 = A6

+ 21 DF

7B (16) 85 (16)

A1 - A2 = 5A -A1 + A2 = A6

+ DF 21

3 9 (16) C7 (16).

Заметим, что так как A1 + A2 = - (-A1 - A2) и A1 - A2 = - (A2 – A1), то вместо четырех действий в каждой системе можно было выполнить только два, а остальные два результата получить, используя перевод в дополнительный код. Например, для системы с основанием 16 имеем:

A1 + A2 = 7B (16) -A1 – A2 = 84

+ 1

85 (16).

Покажем, что для операции A1 – A2 действия во всех системах счисления приводят к одному и тому же результату, используя перевод в десятичную систему.

A1 – A2 = 90 – 33 = 57 (10).

A1 – A2 = 0111001 (2) = 1 + 8 + 16 + 32 = 57 (10).

A1 – A2 = 071 (8) = 1 + 56 = 57 (10).

A1 – A2 = 039 (16) = 9 + 48 = 57 (10).

5. Проверим полученные результаты на наличие арифметического переполнения.

Так как в нашем примере знаковые числа представляются в формате байта, то допустимый диапазон представления чисел в десятичной системе составляет от -128 до + 127. В рассмотренном примере при сложении чисел арифметического переполнения не возникает

7. ПРИМЕРНЫЙ ПЕРЕЧЕНЬ ЭКЗАМЕНАЦИОННЫХ ВОПРОСОВ

1. Понятие структурной организации и архитектуры компьютерных систем.
2. Общая структура и функции ЭВМ.
3. Принцип программного управления. Машина фон Неймана.
4. Основные характеристики ЭВМ.
5. Классификация ЭВМ.
6. Булева алгебра. Основные законы булевой алгебры.
7. Комбинационные схемы.
8. Понятие системы счисления. Представление чисел в различных системах счисления.
9. Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую.
10. Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую.
11. Представление данных в ЭВМ. Целые числа без знака.
12. Представление данных в ЭВМ. Целые числа со знаком.
13. Выполнение арифметических операций с целыми знаковыми числами.
14. Определение наличия переполнения разрядной сетки при выполнении арифметических операций в ЭВМ.
15. Представление вещественных чисел в ЭВМ. Представление чисел в формате с фиксированной запятой.
16. Представление вещественных чисел в ЭВМ. Представление чисел в формате с плавающей запятой. Стандарт IEEE 754.
17. Выполнение арифметических операций в формате с плавающей точкой.
18. Представление символьной информации в ЭВМ.
19. Центральный процессор как композиция операционного и управляющего автомата.
20. Операционный автомат. Функции и состав операционного автомата.
21. Управляющий автомат. Принцип микропрограммного управления.
22. Управляющий автомат на основе жесткой логики.
23. Управляющий автомат на основе программируемой логики.
24. Сравнение управляющих автоматов на основе жесткой и программируемой логики.
25. Организация системы команд процессора. Форматы команд.
26. Машинные операции. Классификация.
27. Способы адресации. Организация памяти в ЭВМ.
28. Способы адресации, использующие регистры общего назначения.
29. Способы адресации с использованием счетчика команд.
30. Алгоритм выполнения двухадресной команды в процессоре.
31. Конвейерная обработка команд.
32. Структуры процессоров с регистром-аккумулятором.
33. Структуры процессоров с регистрами общего назначения.
34. Структуры процессоров, ориентированные на использование стековой памяти.
35. Характеристики запоминающих устройств.
36. Классификация запоминающих устройств.
37. Кэш-память. Назначение и принцип работы.
38. Кэш-память. Прямая функция отображения строк кэша.
39. Классификация периферийных устройств.
40. Программируемый ввод-вывод.
41. Ввод-вывод по прерыванию.
42. Прямой доступ к памяти.

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Цели и общая характеристика учебной дисциплины.................................. 3
2. Программа учебной дисциплины.................................................................. 4
3. Методические указания по изучению курса и контрольные вопросы...... 6
4. Контрольное задание..................................................................................... 10
5. Методические указания по выполнению контрольного задания …......... 11
6. Пример выполнения контрольного задания …........................................... 19
7. Примерный перечень экзаменационных вопросов....................................... 23

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: