|
Векторная система координат.Стр 1 из 6Следующая ⇒ Билет №1.
Векторная система координат. Положение точки М определено, если радиус-вектор r из центра О выражен функцией времени t r= r (t) Þ задан способ определения модуля вектора и его направления, если имеется система координат. Скорость и ускорение: tà r (t), тогда (t+Δt)à r (t+Δt), получаем Δ r = r (t+Δt)- r (t) Þ V ср=Δ r /Δt. V =lim(Δ r /Δt)=d r /dt. a ср=Δ V/ Δt. a=lim(Δ v /Δt)=d V /dt= d² r (t)/dt². Переход от векторной формы к координатной: r (t)=x(t) i +y(t) j +z(t) k. Обратно: x= r (t)× i, y= r (t)× j, z= r (t)× k. Эквивалентность пар. Сложение пар. Условия равновесия пар сил. Эквивалентность: А) 2 пары, имеющие равные моменты, эквивалентны. Пару сил можно перемещать, поворачивать в плоскости действия, перемещать в параллельную плоскость, менять одновременно силу и плечо. Б) 2 пары, лежащие в одной плоскости, можно заменить на одну пару, лежащую в той же плоскости с моментом, равным сумме моментов этих пар. M=M(R,R’)= BA × R = BA ×(F 1+ F 2)= BA × F 1+ BA × F 2. При переносе сил вдоль линии действия момент пары не меняется Þ BA × F 1=M1, BA × F 2=M2, M=M1+M2. СЛОЖЕНИЕ. 2 пары, лежащие в пересекающихся плоскостях, эквивалентны 1 паре, момент которой равен сумме моментов двух данных пар. Дано: (F 1, F 1’), (F 2, F 2’) Доказательство: Приведем данные силы к плечу АВ – оси пересечения плоскостей. Получим пары: (Q 1, Q 1’) и (Q 2, Q 2’). При этом M 1= M (Q 1, Q 1’)= M (F 1, F 1’), M 2= M (Q 2, Q 2’)= M (F 2, F 2’). Сложим силы R = Q 1+ Q 2, R’ = Q 1’+ Q 2’. Т. к. Q 1’= - Q 1, Q 2’= - Q 2 Þ R = - R ’. Доказано, что система двух пар эквивалентна системе (R, R ’). M (R, R ’)= BA × R = BA ×(Q 1+ Q 2)= BA × Q 1+ BA × Q 2= M (Q 1, Q 1’)+ M (Q 2, Q 2’)= M (F 1, F 1’)+ M (F 2, F 2’) Þ M = M 1+ M 2. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ: Система находится в равновесии, если суммарный момент всех пар сил, действующих на тело, равен нулю. M 1+ M 2+…+ Mn =0. Билет №2.
Декартова система координат. Вектор r можно разложить по базису I, j, k: r =x i +y j +z k. Движение материальной точки полностью определено, если заданы три непрерывные и однозначные функции от времени t: x=x(t), y=y(t), z=z(t), описывающие изменение координат точки со временем. Эти уравнение называются кинематическими уравнениями движения точки. Радиус-вектор r является функцией переменных x, y, z, которые, в свою очередь, являются функциями времени t. Поэтому производная r ׳(t) может быть вычислена по правилу d r /dt=∂ r /∂x∙dx/dt+∂ r /∂y∙dy/dt+∂ r /∂z∙dz/dt. Отсюда вытекает, что v =vx i +vy j +vz k. V =√ (vx²+vy²+vz²) Ускорением точки в данный момент времени назовем вектор а, равный производной от вектора скорости v по времени. А =x׳׳(t) I +y׳׳(t) j +z׳׳(t) k. А=√((x׳׳(t))²+(y׳׳(t))²+(z׳׳(t))²) Аксиомы статики. 1) 2 силы, приложенные к абс. твердому телу будут эквивалентны 0 тогда и только тогда, когда они равны по модулю, действуют на одной прямой и направлены в противоположные стороны. 2) Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней добавить или отнять систему сил, эквивалентную 0 => точку приложения силы можно переносить вдоль линии её действия. 3) Если к телу приложены 2 силы, исходящие из одной точки, то их можно заменить равнодействующей (любую силу можно разложить на составляющие бесконечное число раз). 4) Силы взаимодействия двух тел равны по модулю и противоположны по направлению. Действие связей можно заменить действием сил – реакций связи.
Билет №3.
Естественный способ. Если задана траектория движения точки, выбрано начало и положительное направление отсчета и известна S=S(t) зависимость пути от времени, то такой способ задания движения точки называется естественным. V=d r /dt∙dS/dS=S׳(t)∙d r /dS=S׳(t)∙ τ = =vτ∙ τ. D r /dS= τ. Τ направлена всегда в «+» направлении отсчета S. A =d v /dt=S׳׳(t)∙ τ +S׳(t)∙d τ /dt=S׳׳∙ τ+ ( S׳)² n /ρ. Aτ=S׳׳-тангенциальное ускорение, an=(S׳)²/ρ-нормальное (центростремительное) ускорение, ρ-радиус кривизны. A=√((aτ)²+(an)²). Билет №4.
Полярные координаты Ox – полярная ось, φ – полярный угол, r – полярный радиус. Если задан закон r=r(t), φ=φ(t), то задано движение в полярной системе координат. Пусть r = rº r, rº - единичный вектор, pº┴rº - единичный вектор. Тогда v =d r /dt=r׳ rº + rd rº /dt=r׳ rº +rφ׳ pº =vr rº +vp pº. vp и vr – трансверсальная и радиальная составляющая скорости. A =d v /dt=d(r׳ rº +rφ׳ pº)/ dt=r׳׳ rº +r ׳ d rº /dt+r׳φ׳ pº +rφ׳׳ pº +rφ׳∙ d pº /dt=(r׳׳-(rφ׳)²) rº +(rφ׳׳+2r׳φ׳) pº = ar∙ rº +ap pº. r²=x²+y², φ=arctg(y/x). vr=r׳=(xvx+yvy)/r, vp=rφ׳=(xvy-yvx)/r Т. о приведении произвольной системы сил к силе и паре сил. Теорема Пуассо: Произвольная система сил, действующих на твердое тело, можно привести к какому-либо центру О, заменив все действующие силы главным вектором системы сил R, приложенным к точке О, и главным моментом M O системы сил относительно точки О. Доказательство: Пусть О – центр приведения. Переносим силы F 1, F 2,…, F n в точку О: F O= F 1 + F 2+…+ F n= ∑ F k. При этом получаем каждый раз соответствующую пару сил (F 1, F 1”)…(F n, F n”), Моменты этих пар равны моментам этих сил относительно точки О. M1=M(F 1, F 1”)= r 1x F 1=MO(F 1). На основании правила приведения систем пар к простейшему виду MO=M1+…+M2=∑MO(F k)= ∑ r kx F k => (F 1, F 2,…, F n) ~ (R, M O) (не зависит от выбора точки О). Билет №5.
Скорость точки в криволинейных координатах. V =d r /dt=(∂ r /∂q1)∙dq1/dt+(∂ r /∂q2)∙dq2/dt+(∂ r /∂q3)∙dq3/dt. v= (dq1/dt)H1 e 1+(dq2/dt)H2 e 2+(dq3/dt)H3 e 3. v=√(dq1/dt)²H1²+(dq2/dt)²H2²+(dq3/dt)²H3². vq1=(dq1/dt)H1, vq2=(dq2/dt)H2, vq3=(dq3/dt)H3. Пример: 1) скорость в цилиндрической системе. Т.к. x=ρcosφ, y=ρsinφ, z=z, то H1=1, H2=ρ, H3=1. vρ=dρ/dt, vφ=ρdφ/dt, vz=dz/dt. 2) Движение по винтовой. ρ=R=const, φ=kt, z=ut. vρ=0, vφ=kR, vz=u. Момент силы относительно оси. Момент силы относительно оси – алгебраический момент проекции этой силы на ось, перпендикулярную оси z, взятого относительно точки A пересечения оси с этой плоскостью. Характеризует вращательный эффект относительно оси. Mz(F)=±2SΔABC=±F┴∙h. Если Mz(F)=0, то сила F либо параллельна оси z, либо линия её действия пересекает ось z.
Билет №6.
Криволинейные координаты. Устанавливают закон выбора 3 чисел q1, q2, q3. q1, q2, q3 – криволинейные координаты. Функция координат: r = r (q1,q2,q3) (из точки О). Возьмем точку М0 с координатами q1,q10,q20. X=X(q1,q20,q30); Y=Y(q1,q20,q30); Z=Z(q1,q20,q30); Определяют кривую (переменная только q1). Кривая – координатная линия, соответствующая изменению q1 (аналогично q2 и q3). Касательные к координатным линиям, проведенные в точке M0 в сторону возрастания соответствующих координат – координатные оси: [q1], [q2], [q3].
H1= Коэффициент Ламе. e 1=(∂ r /∂q1)/H1. Аналогично Н2, Н3, е 2, е 3. Виды связей и их реакции. Связи – ограничения, накладываемые на свободное твердое тело (занимает произвольное положение в пространстве). Реакция связи направлена в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу. 1)Гладкая поверхность – по общей нормали. 2)Нить – вдоль к точке закрепления. 3)Сферический шарнир – по любому радиусу. 4)Сферический шарнир – по любому радиусу. 5)Подпятник, подшипник – любое направление. Дополнительно: А) Скользящий; Б) Внутренний.
Билет №7.
Билет №8.
Поступательное движение. Существует 5 видов движения – поступательное, вращательное вокруг неподвижной оси, плоское (плоскопараллельное), сферическое, общий случай. Поступательное движение твердого тела – движение, при котором любая прямая этого тела при движении остается параллельной самой себе. Траектории любой точки тела, совершающего поступательное движение, одинаковы. Радиус – вектор любой точки движущегося поступательно тела равен r B= r A+ AB, AB =const. d r B/dt=d r A/dt+ d AB /dt=d r A/dt => vB=vA, aB=aA Билет №9.
Билет №10.
2. Инварианты системы сил. Частные случаи приведения. Инвариант системы сил – векторные и скалярные величины, не зависящие от точки приведения системы сил. 1.Главный вектор R =∑ F i=const. 2.Скалярное произведение главного вектора и главного момента L O R =const=FxMx+ FyMy+FzMz. Доказательство: Умножим обе части выражения (1) на R: M O1 R = M O R + LO1xRx+ LO1yRy +LO1zRz =LO2xRx +LO2yRy +LO2zRz Приведение к простейшему виду: 1) M O=0, R ¹0 à к равнодействующей, равной R, проходящей через О. 2) R =0, M O¹0 à к паре с моментом M O (независимо от О). R ¹0, M O¹0, M O┴ R àк равнодействующей, равной R, проходящей через О1: ОО1=d= | M O| / | R |. Доказательство: R и пара сил с моментом M O лежат в одной плоскости Þ Þ силы R и R ” уравновешиваются, систему можно заменить равнодействующей R ’. 3) M O R ¹0, R ¹0, M O¹0, R не перпендикулярна M O – приводится к динаме. Доказательство: Разложим M O на 2 составляющих: M 1 и M 2. M 2 представим в виде пары сил R ’ и R ”. Силы R и R ” уравновешиваются, а M 1 перенесем в точку O1 (свободы). В результате получили винт R ’, M 1, проходящий через точку О1. Прямая, проходящая через точку О1 – ось динамы. Билет №11.
Билет №12.
МЦС. Способы нахождения. При плоском движении твердого тела в каждый момент времени существует точка, скорость которой равна нулю. v P= v O+ v PO=0, vO=ω∙OP=>OP= vO/ω. Способы нахождения: 1) на основе физического условия задачи. 2) На основе предваритель-ного определения скорости двух точек.
Билет №13.
Билет №14.
Теорема Вариньона. Если данная система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно произвольной точки О равен сумме моментов относительно той же точки. Пусть система сил (F 1, F 2,…, F n) приводит к равнодействующей R, проходящей через точку С пересечения линий действия сил. Возьмем произвольную точку О, тогда: M O(R)= r x R = r x∑ F i=∑(r x F i)= ∑ M Oi(F i). Ч. т. д..
Билет №15.
МЦУ. Способы нахождения. МЦУ – точка плоской фигуры, ускорение которой в данный момент времени равно нулю. a Q= a A+ a AQ=0. Угол между a QA и QA tgα= a BAτ/ a BAn=ε/ω², aAQ=√aAQτ+aAQn=AQ√ ε²+ω4 Þ 1 способ нахождения МЦУ: Отложить от точки А под углом α=arctg(ε/ω²) к a A отрезок AQ=aA/√(ε²+ω4 в направлении круговой стрелки ε. 2 способ нахождении МЦУ основан на условии задачи – если ускорение какой-либо точки по условию задачи равно нулю, то эта точка является МЦУ. Билет №16.
Билет №17.
Билет №18.
Сложное движение точки. Основные понятия. Сложное движение – движение по отношению к системе координат, выбранной за основную (абсолютную). Относительное движение – движение точки по отношению к подвижной системе координат. Переносное движение – движение подвижной системы координат относительно неподвижной. Установление связи между этими движениями позволяет решать различные задачи. Билет №19.
Сложное движение точки. Основные понятия. Сложное движение – движение по отношению к системе координат, выбранной за основную (абсолютную). Относительное движение – движение точки по отношению к подвижной системе координат. Переносное движение – движение подвижной системы координат относительно неподвижной. Установление связи между этими движениями позволяет решать различные задачи. Центр тяжести тела. Методы нахождения центра тяжести. Центр тяжести – центр системы параллельных сил тяжести частиц тела. Его радиус-вектор r C=∑Pi r i/P. XC=∑Pixi/P; Yc=∑Piyi/P; ZC=∑Pizi/P Вес тела P=∑Pi, Pi – сила тяжести частицы. Методы определения координат центра тяжести тела. 1) Свойства симметрии: если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то центр тяжести лежит на них. 2) Разбиение: Если известны центры тяжести отдельных частей тела, то r C=(V1 r C1+V2 r C2+…+Vn r Cn)/V Отрицательные массы: r C=Vспл r C-V1 r C1-…-Vn r Cn, где Vk, r Ck – объемы и радиус-векторы пустот тела. 3) Интегрирование: если тело нельзя разбить) XC=(∫xdV)/V, YC=(∫ydV)/V, ZC=(∫zdV)/V Билет №20.
Сложное движение точки. Основные понятия. Сложное движение – движение по отношению к системе координат, выбранной за основную (абсолютную). Относительное движение – движение точки по отношению к подвижной системе координат. Переносное движение – движение подвижной системы координат относительно неподвижной. Установление связи между этими движениями позволяет решать различные задачи. Опр-е ускорения точки в сложном движении VM=VO+[ ωr]+ Vr WM=d VM/dt=(d VO/dt)+[ εr]+[ ω(dr/dt)]+d Vr/dt dr/dt=[ ωr]+ Vr WM=Wo+[ εr]+ [ω[ωr]]+[ ω Vr]+ [ ωVr]+Wr d Vr/dt=[ ω Vr]+ Wr Wk=2[ω Vr] WM=WL+Wr+WK – кинематическая теорема Кариолиса Абсолютное ускорение точки –это есть сумма переносного ускорения, относительного ускорения и ускорения Кариолиса Переносное ускорение хар-ет измен-е переносной скорости в переносном движении. Относительное ускорение хар-ет изм-е относительной скоростив в относительном движении. Ускорение Кариолиса хар-ет изм-е относительной скорости в переносном движении Ускорение Кариолиса. Согласно правилу векторного произведения, вектор ускорения Кариолиса ┴ пл-ти, в кот-й лежат вектора ω и Vr и направлена в ту сторону,что с конца этого вектора кратчайшее совмещение первого вектора ко второму ω к Vr кажется видным против хода часовой стрелки.
Билет №21.
Сложное движение точки. Основные понятия. Сложное движение – движение по отношению к системе координат, выбранной за основную (абсолютную). Относительное движение – движение точки по отношению к подвижной системе координат. Переносное движение – движение подвижной системы координат относительно неподвижной. Установление связи между этими движениями позволяет решать различные задачи. Ускорение Кориолиса. Правило Жуковского. Полное ускорение точки А, участвующей в сложном движении a A= a r+ a e+2 ω × v r. Слагаемое a К=2 ω × v r называется ускорением Кориолиса. aK=2ωvrsin(ω, v r). Частные случаи: А) ω º0 – смена знака Б) v rº0 – относительный покой (смена знака движения). В) sin(ω, v r)º0, ω||v r. Правило Жуковского. Ускорение Кориолиса равно проекции относительной скорости на плоскость, перпендикулярную ω, увеличенной в 2ω раз и повернутой на 90° в направлении круговой стрелки ω. 2. Пара сил. ∑ моментов сил, составляющих пару. Пара сил – система 2-х равных по модулю и противоположных по направлению сил, действующих на твердое тело. ∑ F =0; ∑ M ≠0. Расстояние между линиями действия – плечо d. Пара сил характеризуется плоскостью действия, моментом пары. ТЕОРЕМА: Векторный момент пары сил равен векторному моменту одной из её сил относительно другой. Доказательство: M O(F 1)+ M O(F 2)= r Ax F 1+ r Ax F 2= r Ax F 1- r Bx F 1=(r A- r B) x F 1. Из сложения треугольником OA + AB = OB => AB = OB - OA => M O(F 1)+ M O(F 2)= AB x F 1= M A(F 1) => сумма моментов сил, составляющих пару, не зависит от положения точки, относительно которой берутся моменты. Билет №22.
Билет №23.
Билет №24.
Билет №25.
Билет №26.
Пара вращений. При противоположных направлениях векторов ω e и ω r и равенстве их модулей (ωe = ωr), если условие ω e=- ω r выполняется на отрезке времени t2-t1, абсолютное движение будет поступательным. Такой случай сложения вращательных движений называется парой вращений. Действительно, ω = ω e+ ω r= - ω r+ ω r=0, и для любой точки тела справедливы соотношения: v = ω e× r 1+ ω r ×r 2= ω e×(r 1- r 2)= ω e× O e O r= ω r× O r O e; Следовательно, скорости всех точек тела в данном случае одинаковы и равны скорости поступательного движения. Билет №27.
Билет №28.
Главный вектор, момент. Пусть дана система сил (F 1, F 2,…, F n). Главным вектором системы сил называется вектор, равный векторной сумме этих сил. R =∑ F k. R x=∑ F kx; cos(x,R)=Rx/R; R y=∑ F ky; cos(y,R)=Ry/R; R z=∑ F kz; cos(z,R)=Rz/R; Главный момент системы сил – сумма моментов сил относительно какого-либо полюса (центра приведения). Lx=∑Mx(F k) Билет №29.
Билет №30.
Главный вектор, момент. Пусть дана система сил (F 1, F 2,…, F n). Главным вектором системы сил называется вектор, равный векторной сумме этих сил. R =∑ F k. R x=∑ F kx; cos(x,R)=Rx/R; R y=∑ F ky; cos(y,R)=Ry/R; R z=∑ F kz; cos(z,R)=Rz/R; Главный момент системы сил – сумма моментов сил относительно какого-либо полюса (центра приведения). Lx=∑Mx(F k) Билет №1.
Векторная система координат. Положение точки М определено, если радиус-вектор r из центра О выражен функцией времени t r= r (t) Þ задан способ определения модуля вектора и его направления, если имеется система координат. Скорость и ускорение: tà r (t), тогда (t+Δt)à r (t+Δt), получаем Δ r = r (t+Δt)- r (t) Þ V ср=Δ r /Δt. V =lim(Δ r /Δt)=d r /dt. a ср=Δ V/ Δt. a=lim(Δ v /Δt)=d V /dt= d² r (t)/dt². Переход от векторной формы к координатной: r (t)=x(t) i +y(t) j +z(t) k. Обратно: x= r (t)× i, y= r (t)× j, z= r (t)× k. Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|