Аксиомы, тождества и основные законы алгебры логики

Алгебра логики — это раздел математической логики, значение всех элементов (функций и аргументов) которой определены в двухэлементном множестве: 0 и 1. Алгебра логики оперирует с логическими высказываниями.

Высказывание — это любое предложение, в отношении которого имеет смысл утверждение о его истинности или ложности. При этом считается, что высказывание удовлетворяет закону исключенного третьего, то есть каждое высказывание или истинно, или ложно, и не может быть одновременно и истинным и ложным.

В алгебре логики все высказывания обозначают буквами а, b, с и т. д. Содержание высказываний учитывается только при введении их буквенных обозначений, и в дальнейшем над ними можно производить любые действия, предусмотренные данной алгеброй. Причем если над исходными элементами алгебры выполнены некоторые разрешенные в алгебре логики операции, то результаты операций также будут элементами этой алгебры.

Простейшими операциями в алгебре логики являются операции логического сложения (иначе: операция ИЛИ (OR), операция дизъюнкции) и логического умножения (иначе: операция И (AND), операция конъюнкции). Для обозначения операции логического сложения используют символы + или V, а логического умножения — символы • или /\.

При определении значения логического выражения принято следующее старшинство (приоритет) логических операций: сначала выполняется инверсия, затем конъюнкция и в последнюю очередь— дизъюнкция. Для изменения указанного порядка используют скобки.

Алгебра логики определяется следующей системой аксиом:

x = 0, если x ¹ 1.

x = 1, если x ¹ 0.

1 Ú 1 = 1 0 Ù 0 = 0

0 Ú 0 = 0 1 Ù 1 = 1

0 Ú 1 = 1 Ú 0 = 1 1 Ù 0 = 0 Ù 1 = 0

Если в аксиомах произвести взаимную замену операций дизъюнкции и конъюнкции, а также элементов 0 и 1, то из одной аксиомы данной пары получается другая. Это свойство называется принципом двойственности.

С помощью аксиом можно получить ряд тождеств:

Правила выполнения операций в алгебре логики определяются рядом аксиом, теорем и следствий. В частности, для алгебры логики применимы законы:

переместительный (или коммутативный):

сочетательный (или ассоциативный):

распределительный (или дистрибутивный):

двойственности (или де Моргана):

поглощения:

склеивания:

Логический синтез вычислительных схем

И (AND), ИЛИ (OR) и НЕ (NOT) полагаются базовыми элементами, остальные можно получать на их основе.

Этапы построения логической схемы:

1. составляется таблица истинности;

2. по таблице истинности строится логическая функция с помощью СДНФ (совершенной дизъюнктивной нормальной формы);

3. по возможности полученная формула минимизируется;

4. если заданы базисные элементы, то с помощью законов Моргана приводится к заданному базису.

Алгоритм составления СДНФ:

1. выделяем в таблице истинные строки, в которых функция принимает единственные значения;

2. для каждой выделенной строки составляются конъюнкции всех входных переменных; если переменные принимают нулевое значение, сделать их отрицание;

3. записывается попарная дизъюнкция всех полученных конъюнкций.

Для логических выражений «ИЛИ», «И» и «НЕ» существуют типовые технические схемы, реализующие их на реле, электронных лампах, дискретных полупроводниковых элементах и интегральных схемах. В современных компьютерах применяются системы интегральных элементов, у которых в качестве базовой логической схемы используется всего одна из схем: «НЕ – И» (NAND, штрих Шеффера), «НЕ – ИЛИ» (NOR, стрелка Пирса) и «НЕ – И – ИЛИ» (NORAND).

Карты Карно.

Количество клеток в карте равно количеству строчек в таблице истинности.

Соседними считаются клетки карты, отличающиеся значениями только одной переменной. Минимализацию логической формулы при небольшом количестве переменных (до 5) удобно проводить с помощью карты Карно. Здесь группы из 2, 4, 8 и т.д. соседних ячеек, содержащих единицы, если они расположены так, что их можно обвести контуром в виде прямоугольника или квадрата, могут быть описаны одним логическим произведением. В это произведение входят только неизмененные для всех ячеек данной группы переменные.

Вопрос №30

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: