Относительное положение прямой и плоскости, двух плоскостей

а. Взаимная параллельность прямой и плоскости
Построение чертежа взаимно параллельных прямой и плоскости основано на теореме стереометрии: если прямая параллельна какой-либо прямой, принадлежащей плоскости, то данные прямая и плоскость параллельны. Пусть требуется через точку М провести прямую, параллельную плоскости Г(АВС). Для этого достаточно провести через точку М прямую l, параллельную какой-либо прямой, принадлежащей плоскости треугольника АВС. На чертеже (рис. 4.6) через точку М проведена прямая 1, параллельная CK: l₁ (С₁К₁) и l₂ (С₂К₂).
Рис. 2.6 Рис. 2.7

Обратная задача - построение плоскости, параллельной данной прямой - выполняется на основании той же теоремы стереометрии. Плоскость Г(l' m) параллельна прямой l (рис. 4.7), так как l' Г и l l'. Обе задачи, очевидно, имеют бесчисленное множество решений.

б. Взаимная параллельность двух плоскостей
Построение чертежа двух параллельных плоскостей основано на теореме стереометрии: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Следовательно, чтобы построить плоскость Г', параллельную плоскости Г(АВС), достаточно провести через точку М две прямые, соответственно параллельные каким-нибудь двум пересекающимся прямым, принадлежащим плоскости Г, например сторонам (АВ) и (ВС) (рис. 2.8).
Рис. 2.8

Плоскость Г'(а b) параллельна плоскости Г(АВС), так как а (АВ) и b (ВС). Можно задать новую плоскость какими-нибудь другими пересекающимися прямыми, например горизонталью и фронталью, соответственно параллельными горизонтали и фронтали плоскости Г(АВС). Такая плоскость на рис. 2.8 проведена через точку N - плоскость (h' f') параллельна плоскости Г(АВС), так как h' h и f' f.

Взаимно перпендикулярные прямые и плоскости

Признаки перпендикулярности двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей рассматриваются в стереометрии. Напомним некоторые из них:
1) две прямые называются взаимно перпендикулярными, если угол между ними равен 90^o;
2) если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых, принадлежащих плоскости, то эта прямая и плоскость взаимно перпендикулярны (рис. 2.9 а);
3) прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна к любой прямой, принадлежащей этой плоскости (рис. 2.9 б);
4) если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости (рис. 2.9 в).
Рис. 2.9

На основании указанных признаков в пространстве начертательная геометрия разработала соответствующие признаки для комплексного чертежа.

Проекции прямого угла

Любой линейный угол (острый, тупой, прямой) проецируется на плоскость проекций в истинную величину, если его стороны параллельны этой плоскости. При этом вторая проекция угла вырождается в прямую линию, перпендикулярную линиям связи.
Кроме того, прямой угол проецируется в истинную величину еще и тогда, когда только одна из его сторон параллельна плоскости проекций.
Теорема 1.
Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая является прямой общего положения, то прямой угол проецируется на эту плоскость проекций без искажения, т. е. в прямой же угол.
Пусть стороны (АВ) и (ВС) прямого угла АВС параллельны горизонтальной плоскости проекций П₁ (рис. 2.10). Тогда на П₁

< ABC < A₁B₁C₁ и < A₁B₁C₁ = 90^o

Рис. 2.10

Сторона (АВ) и ее горизонтальная проекция (А₁В₁) располагаются в горизонтально проецирующей плоскости ( ₁). Сторона (ВС) , так как (ВС) (АВ) по условию и (ВС) (ВВ₁) по построению. Следовательно, прямая (ВС) перпендикулярна к любой прямой (пересекающейся или скрещивающейся с ней), принадлежащей плоскости , например: (ВС) (ВD), (ВС) (МN) и т. п. (прямые (ВD), (МN),... общего положения). Очевидно, что проекция на плоскость П₁ прямого угла, образованного прямой (ВС) с любой прямой общего положения, например (ВD), принадлежащей плоскости , совпадает с проекцией А₁В₁С₁ угла АВС. Таким образом, теорема доказана.
Прямой угол DВС на плоскость П₂ проецируется в искаженную величину, так как по отношению к ней условия теоремы не выполняются. Если сторона (ВD) прямого угла DВС займет положение, перпендикулярное плоскости П₁, то проекция угла на эту плоскость выродится в прямую линию, а на две другие плоскости проекций прямой угол спроецируется без искажения.
Рис. 2.11

Проекции прямого угла DВС, сторона (ВС) которого параллельна плоскости П₁, изображены на рис. 2.11, а. На чертеже (рис. 2.11, б) показаны проекции взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых, одна из которых является горизонталью. На чертеже (рис. 2.12, а) показаны проекции прямого угла DВС, сторона (ВС) которого параллельна плоскости П₂. Проекции взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых, одна из которых является фронталью, изображены на чертеже (рис. 2.12, 6).
Рис. 2.12

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: