Основные задачи, решаемые способом замены плоскостей проекций

Задача 1. Преобразовать прямую общего положения (рис. 3.7) в линию уровня (горизонталь или фронталь).
Рис. 3.7

Решение. Для решения задачи необходимо заменить плоскость проекций П₁, или П₂ новой плоскостью проекций П₄, параллельной прямой l и перпендикулярной к незаменяемой плоскости проекций. Для того чтобы прямая l в новой системе плоскостей проекций стала, например, фронталью, заменяем фронтальную плоскость проекций П₂ новой плоскостью П₄ П₁ и параллельной прямой l. Построение на комплексном чертеже (рис. 3.7).
1) проводим новую ось проекций х₁₄ параллельно l₁ на произвольном расстоянии от нее; такое положение оси х₁₄ обусловливается тем, что П₄ параллельна l. В частном случае, если плоскость П₄ проведена непосредственно через прямую l,
ось х₁₄ = l₁;
2) выберем на прямой l две точки А(А₁А₂) и В(В₁В₂);
3) построим проекции точек А и В на плоскости П₄;
4) прямая l₄ (А₄, В₄) является проекцией прямой l на плоскость П₄. Прямая l(A,B) в новой системе плоскостей проекций П₁/П₄ является фронталью.
Примечания:
1. Отрезок [АВ] прямой l проецируется на плоскость П₄ в истинную величину, т.е. | А₄В₄ | = | АB | 2. - величина угла наклона прямой l к плоскости П₁.

Подумайте и решите задачу 1 в безосной системе изображения.
Преобразуйте прямую l так, чтобы она стала в новой системе плоскостей проекций горизонталью.
3адача 2. Преобразовать линию уровня в проецирующую прямую. Решение. Допустим, что заданная линия уровня (рис. 3.9) является горизонталью h(h₁,h₂).
Рис. 3.9

Для решения задачи заменяем плоскость П₂ исходной системы П₂/П₁ плоскостью П₄ h, при этом плоскость П₄ будет перпендикулярна П₁
так как h П₁ и образует с ней новую систему плоскостей проекций П₁/П₄.
Построения на комплексном чертеже: 1) проводим новую ось проекций х_{14 1; такое положение оси обусловливается тем, что П4 h; 2) выберем на прямой h две точки А(А1,А2) и В(В1,В2); 3) построим проекции точек А и В на плоскости П4; так как расстояния точек А и В до плоскости П1 одинаковы, то проекции их на плоскости П4 совпадут, т. е. h4 = А4 = В4. Прямая h(h1,h4) в новой системе плоскостей проекций является фронтально проецирующей.}

_{Задайте самостоятельно комплексный чертеж фронтали f и преобразуйте ее в проецирующую прямую.
Подумайте и решите задачу 2 в безосной системе изображений.}

_{Прямую общего положения преобразовать в проецирующую заменой только одной плоскости проекций нельзя, так как плоскость П4 перпендикулярная прямой, не будет перпендикулярна ни одной из старых плоскостей проекций, и, следовательно, не образует ни с одной из них прямоугольной системы плоскостей проекций.
Для того чтобы прямую общего положения преобразовать в проецирующую, необходимо выполнить две последовательные замены плоскостей проекций. Вначале прямую следует преобразовать в линию уровня, а затем линию уровня преобразовать в проецирующую. На рис. 3.10 показано преобразование прямой l общего положения в горизонтально проецирующую.
Прямую l общего положения преобразуйте во фронтально проецирующую (чертеж задайте самостоятельно).
3адача 3. Преобразовать плоскость общего положения в проецирующую (рис. 3.11) Решение. Для решения задачи необходимо заменить плоскость П1 или П2 исходной системы П2/П1 новой плоскостью П4, перпендикулярной плоскости (АВС). Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости. Следовательно, если какую-либо прямую, принадлежащую плоскости , преобразовать в проецирующую, то плоскость в новой системе плоскостей проекций станет проецирующей. Проще всего для этой цели воспользоваться линией уровня (см. задачу 2).
Рис. 3.11}

<sub>На чертеже плоскость (АВС) преобразована во фронтально проецирующую (см. рис. 3.11) путем преобразования горизонтали h(h1,h2), принадлежащей плоскости , во фронтально проецирующую прямую (см, задачу 2). Все построения, выполненные на комплексном чертеже, cделаны на основе материала данного параграфа. В новой системе плоскостей проекций П1/П4 плоскость является фронтально проецирующей ( 4), и поэтому ее проекция на П4 вырождается в прямую линию 4 (С4, А4, В4).
- величина угла наклона плоскости к плоскости П1.
Преобразуйте плоскость общего положения Г в горизонтально проецирующую (исходный чертеж задайте самостоятельно).
3адача 4. Преобразовать проецирующую плоскость Г в плоскость уровня.
Решение. Допустим, что заданная плоскость Г является фронтально проецирующей (рис. 3.12). Заменим плоскость П1 новой плоскостью проекций П4, параллельной плоскости Г(АВС) и, следовательно, перпендикулярной незаменяемой плоскости П2. В новой системе плоскостей проекций П2/П4 плоскость Г(АВС) станет горизонтальной плоскостью уровня.
Рис. 3.12</sub>

_{Построения на комплексном чертеже: 1) проводим новую ось проекций х24 параллельно А2С2 на произвольном от нее расстоянии; такое положение оси проекций х24 обусловливается тем, что П4 параллельна Г(АВС). Ось х24 совпадает с прямой
(А2С2), если плоскость П4 совмещается с плоскостью Г(АВС); 2) построим проекции точек А, В и С на плоскость П4; 3) треугольник А4В4С4 является проекцией треугольника АВС на плоскость П4.
Примечание.
Так как плоскость треугольника АВС параллельна плоскости П4, то А4В4С4 АВС.
Преобразуйте горизонтально проецирующую плоскость во фронтальную плоскость уровня (исходный чертеж задайте самостоятельно).
Примечание.
Плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня заменой только одной плоскости проекций нельзя, так как плоскость П4, параллельная ей, не будет перпендикулярна ни одной из старых плоскостей проекций и, следовательно, не образует ни с одной из них прямоугольной системы плоскостей проекций.
Для того чтобы плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня, необходимо выполнить две последовательные замены плоскостей проекций.
Рис. 3.13}

_{Вначале плоскость необходимо преобразовать в проецирующую, а затем проецирующую плоскость преобразовать в плоскость уровня. На рис. 3.13 показано преобразование плоскости (АВС) в горизонтальную плоскость уровня.
Преобразуйте плоскость общего положения во фронтальную плоскость уровня (исходный чертеж задайте самостоятельно).}

5.4. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ В ПЛОСКОСТИ ОБЩЕГО
ПОЛОЖЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР ПО ЗАДАННЫМ РАЗМЕРАМ

Общей схемой решения задач этой группы является:
1) преобразование заданной плоскости общего положения в плоскость уровня;
2) решение в плоскости уровня заданной метрической задачи;
3) перенесение решения на исходные проекции обратным преобразованием.
Наиболее целесообразным при решении задач оказывается применение способа замены плоскостей проекций и вращения вокруг линии уровня.

Пример. Вписать окружность в треугольник АВС (рис. 5.2).
Рис.5.2

Алгоритм: 1. Преобразовать треугольник АВС в плоскость уровня способом замены плоскостей проекций.
2. В плоскости уровня построить вписанную в треугольник окружность.
3. Обратным преобразованием построить проекции окружности в исходной системе плоскостей проекций.
Построения. Для преобразования плоскости треугольника АВС в плоскость уровня выполнены две последовательные замены плоскостей проекций: вначале плоскость треугольника АВС преобразована в проецирующую, затем проецирующая плоскость преобразована в плоскость уровня. Построены проекции вписанной окружности в системе плоскостей проекций П₄/П₅. Проекции окружности в системе плоскостей проекций П₁/П₂, являющиеся эллипсами, построены по сопряженным диаметрам 1 - 2 и 3 - 4. На чертеже отмечены также точки касания окружности и сторон треугольника АВС.

ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Комплексными называются задачи, в которых на искомое наложены два условия и более. Их решение выполняется по следующей общей схеме:
1) вводятся вспомогательные геометрические фигуры (множества), каждая из которых, в отдельности удовлетворяет одному из условий, наложенных на искомое;
2) определяется искомое как результат пересечения введенных в задачу вспомогательных множеств.
При решении конкретной комплексной задачи первый пункт приведенной выше общей схемы необходимо расшифровать, т. е. точно указать, сколько и какие именно вспомогательные множества (по виду и положению) должны быть введены для определения искомого. Этот вопрос может быть решен только после проведения анализа условий задачи.
Анализ является первым этапом решения задачи. Он преследует следующие цели:
а) выявить искомое, изучить заданные геометрические фигуры и представить их пространственное расположение;
б) установить взаимосвязь искомого с каждой из заданных геометрических фигур и определить условия, которым он должен удовлетворять; каждое выявленное условие должно быть однозначным;
в) выявить геометрические фигуры, каждая из которых является множеством элементов, удовлетворяющих одному из условий, наложенных на искомое; количество множеств равно количеству условий.
Таким образом, анализ позволяет наметить содержание и последовательность пространственных операций, необходимых для определения искомого, т. е. составить алгоритм решения задачи.
Вторым этапом решения задачи является исследование. Исследование проводится с целью выявления условий существования решения и числа решений. Выше было указано, что искомое определяется как результат пересечения некоторого числа вспомогательных геометрических фигур (множеств). Поэтому при исследовании необходимо иметь в виду следующее:

1. Две алгебраические поверхности порядков q₁ и q₂ пересекаются в общем случае по кривой порядка q₁ x q₂. В некоторых частных случаях эта кривая распадается на кривые более низких порядков.
2. Алгебраическая кривая порядка m пересекает произвольную плоскость в m точках.
3. Три алгебраические поверхности порядков q₁, q₂ и q₃ пересекаются в общем случае в q₁ x q₂ x q₃ точках, и, следовательно, поверхность порядка q и линии порядка m пересекаются в общем случае в q x m точках.

Примечание. В числе указанных точек пересечения могут быть мнимые и совпавшие.
Только после составления алгоритма и исследования задачи можно приступать к третьему заключительному этапу ее решения - построению на комплексном чертеже, - т. е. к графической реализации алгоритма. При этом следует выполнить в установленной алгоритмом последовательности известные из предыдущих разделов курса элементарные построения, не задумываясь уже над расположением заданных и возникающих в пространстве геометрических фигур.
Решая ту или иную задачу на комплексном чертеже, нужно выбрать такой путь, который позволит найти искомое при наименьшем количестве графических построений. Решение в этом смысле, как правило, будет и более точным. Выбор рационального пути не зависит от алгоритма решения задачи и является вопросом, связанным только с построением. При решении комплексных задач приходится пользоваться множествами [1].

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: