Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.

Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство:

Пусть { } – сходящаяся послеовательность и число a – ее педел. Пусть, далее, - произвольное положительное число и N – номер, начиная с которого выполняется неравенство | - a|< . Тогда

для всех n>N. Пусть A=max{|a|+ Очевидно, | | для всех номеров n, что и означает ограниченность последовательности {Xn}.

Теорема о сумме и произведений сходящихся последовательностей.

Теорема о частном сходящихся последовательностей.

Теорема о произведении бесконечно малой и ограниченной последовательности.

Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть – ограниченная, а – бесконечно малая последовательности. Это означает, что существует число М >0 такое, что для любого номера n выполняется , и для любого числа существует номер N такой, что для всех номеров выполняется . Тогда для всех номеров и любого ε>0 выполняется , а это и означает, что последовательность – бесконечно малая.

Бесконечно большая последовательность.Монотонные последовательности. Число e.

Бесконечно малая — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Бесконечно большая — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

e — основание натурального логарифма, математическая константа, иррациональное и трансцендентное число. Приблизительно равно 2,71828.

Функция. Обратные функции. Суперпозиция функций. Предел функции. Теоремы о пределах.

Функция (отображение, оператор, преобразование) — математическое понятие, отражающее однозначную парную связь элементов одного множества с элементами из другого множества.

Другими словами, функция — это соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу одного множества ставится в соответствие некоторый элемент из другого множества.

Суперпози́ция фу́нкций — это применение одной функции к результату другой.

Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Например, если функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x.

Преде́л фу́нкции — такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке.

Теоремы о пределах функции:

Сравнение бесконечно малых. Односторонние пределы функций.

Сравнение бесконечно малых:

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величины и (либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности).

· Если , то — бесконечно малая высшего порядка малости, чем . Обозначают или .

· Если , то — бесконечно малая низшего порядка малости, чем . Соответственно или .

· Если (предел конечен и не равен 0), то и являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости. Это обозначается как или как одновременное выполнение отношений и . Следует заметить, что в некоторых источниках можно встретить обозначение, когда одинаковость порядков записывают в виде только одного отношения «о большое», что является вольным использованием данного символа.

· Если (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина имеет -й порядок малости относительно бесконечно малой .

Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (преде́лом спра́ва).

Пусть на некотором числовом множестве задана числовая функция и число — предельная точка области определения . Существуют различные определения для односторонних пределов функции в точке , но все они эквивалентны.

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: