|
Задача о приближенном решении уравненийВ школьном курсе математики изучаются различные виды уравнений: линейные, квадратные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические. При этом каждый раз ставится задача о точном решении уравнения — найти все числа, удовлетворяющие данному уравнению. Однако, класс уравнений, допускающих точное решение, весьма узок. Уже для алгебраических уравнений пятой степени нет общей формулы, выражающей корни этого уравнения через его коэффициенты с помощью арифметических действий и операции извлечения корня. А уравнения такого типа часто встречаются при решении практических задач. На практике нет необходимости непременно находить точное решение того или иного уравнения. Обычно вполне достаточно знать его корни с определенной степенью точности. Поэтому возникает задача о приближенном решении уравнений. Она формулируется так: Дано уравнение f (x) = 0 и число e > 0. Найти числа b 1,...., bn, отличающиеся от корней a 1..., аn этого уравнения меньше, чем. на e, то есть такие, что , где 1≤ k ≤ n. Отделение корней Многие нелинейные уравнения имеют более одного корня. Первым шагом в приближенном решении уравнений является отделение его корней друг от друга: необходимо так разделить числовые промежутки, чтобы на каждом из них содержался только один корень данного уравнения. Если функция f (x) непрерывна, то в математическом анализе отделение корней уравнения f (x) = 0 делается на основании теоремы о промежуточном значении: «Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ] и ее значения на концах отрезка f (a), f (b) имеют различные знаки, то на отрезке [ a; b ] обязательно найдется точка c, в которой функция обращается в нуль f (с) = 0». Теорема о промежуточном значении раскрывает методику отделения корней: отрезок [ а, b ], на котором ищут корни, необходимо разбить на части точками а = х 0 < x 1<... < хn = b; найти значения функции f (x) в этих точках: f (x 0), f (x 1),..., f (xn); если соседние точки функции f(xk) и f(xk+ 1) имеют различные знаки, то на отрезке [ xk; xk +1] уравнение f (x) = 0 имеет, по крайней мере, один корень. Естественно, что на ранних этапах развития математики корни отделяли вручную, позднее с помощью калькулятора. Современное средство программирования Microsoft Excel позволяет обойтись без утомительного процесса отделения корней. Достаточно построить график функции и визуально отделить корни друг от друга.
Решение задач Задача 1. Отделить корни уравнения х 4– 2 х 3– 5 х 2+ 2 х + 0,9 = 0 на отрезке [–2; 2]. Построим график данной функции на отрезке [–2; 2] с шагом 0,25. График функции х 4– 2 х 3– 5 х 2+ 2 х + 0,9 = 0 на отрезке [–2; 2] представлен на рисунке 3.11. Рисунок 3.11. График функции х 4– 2 х 3– 5 х 2+ 2 х + 0,9 = 0 на отрезке [–2; 2]
Из графика легко определить, что на данном участке функция трижды меняет знак (пересекает ось абсцисс), и, следовательно, имеет три корня на трех отрезках: [–1,75; –1,5]; [–0,5; 0]; [0,5; 0,75].
Задача 2. Найти корни уравнения х 4– 2 х 3– 5 х 2+ 2 х + 0,9 = 0 методом последовательных приближений на отрезке [–2; 2] с заданной погрешностью 0,001. Точные значения корней установить из графика весьма затруднительно. Графическое решение уравнения в принципе возможно, но потребует много времени для изменения масштаба графика и непосредственного исследования поведения графика функции вблизи корней. Проще использовать средство Подбор параметра, встроенное в Microsoft Excel, которое позволяет оперативно найти корни с заданной точностью. Перед началом использования средства Подбор параметра, необходимо настроить специальные средства Microsoft Excel для организации циклических алгоритмов (итераций). Для этого необходимо командой Сервис 4 Параметры 4 Вычисления открыть вкладку Вычисления окна диалога Параметры и установить: в поле Относительная погрешность значение погрешности 0,001; в поле Предельное число итераций максимальное число итераций 32 767. Это позволит избежать ограничения числа итераций, прежде чем будет выполнено условие Относительная погрешность<0,001; нажать кнопку OK. Для нахождения корня на отрезке [–1,75; –1,5] необходимо заполнить рабочий лист в соответствии с рисунком 3.12.
Рисунок 3.12. - Заполнение рабочего листа
В данной таблице используется решение предыдущей задачи: [–1,75; –1,5]; [–0,5; 0]; [0,5; 0,75]. В ячейку B1 внесена левая точка отрезка [–1,75; –1,5]. В ячейку B2 расчетная формула функции х 4– 2 х 3– 5 х 2+ 2 х + 0,9 = 0. Далее необходимо выделить ячейку B2 и командой Сервис 4 Подбор параметра (на рисунке 3.12) открыть окно диалога Подбор параметра (рисунок 3.13). В окне диалога Подбор параметра: 1. В поле Установить в ячейке следует указать имя ячейки, содержащей формулу, для которой следует подобрать параметр (если предварительно ячейка была выделена, то ее имя в этом поле появится автоматически). 2. В поле Значение необходимо ввести число (значение функции), которое должна возвратить формула по окончании процесса подбора параметра. 3. В поле Изменяя значение ячейки необходимо указать ссылку на ячейку, которая содержит начальное значение аргумента. На эту ячейку прямо или косвенно должна ссылаться формула, содержащаяся в ячейке, адрес которой указан в поле Установить в ячейке. Указать ссылку можно, выполнив Щелчок на нужной ячейке (в данном случае на ячейке B1). 4. Нажать кнопку OK.
Рисунок 3.13. - Окно диалога Подбор параметра
По окончании итерационного процесса подбора параметра появится информационное окно о нахождении или отсутствии решения (рисунок 3.14).
Рисунок 3.14. - Окно диалога Результат подбора параметра
В ячейку B1 будет помещен аргумент X, при котором значение функции Y в ячейке B2 менее чем на 0,001 отлично от нуля. Это означает, что с заданной погрешностью 0,001 найден корень функции x 1 = —1,624 920 583 202 58. Аналогично осуществляет поиск оставшихся двух корней x 2 и x 3. Ответ: На отрезке [–1,75; –1,5] корень x 1 = —1,624 920 583 202 58. На отрезке [–0,5; 0] корень x 2 = —0,279 725 512 565 86. На отрезке [0,5; 0,75] корень x 3 = 0,599 543 914 148 49. Задание. Программно округлите значения корней до сотых долей.
Задача 3. Найти методом последовательных приближений корни уравнения с заданной погрешностью 0,001. Данное уравнение можно представить в виде и решать с помощью средства Подбор параметра, т.е. способом, предложенным в задаче 2. Но численные методы и Microsoft Excel позволяют решить это уравнение и другим способом. Последнее уравнение можно представить в виде системы двух уравнений: Система уравнений решается графически. Для этого необходимо построить графики функций y 1, y 2 и найти координаты точки пересечения. Графическое решение системы уравнений возможно (рисунок 3.15), но займет много времени, так как для достижения заданной погрешности вычислений потребует изменения масштаба графика и исследований поведения графиков функций вблизи точки пересечения. Рисунок 3.15. - Графическое решение системы уравнений
Необходимо заметить, данное уравнение содержит один корень и не требует проведения операции отделения корней. Если уравнение имеет более одного корня, то операцию отделения корней проводить необходимо. Из рисунка 16 следует, что корень находится на отрезке [0,75; 1]. Для повышения точности решения применим метод последовательных приближений, организованный с помощью итераций. Прежде чем приступить к оформлению и программированию задачи, необходимо задействовать специальные средства Microsoft Excel для организации циклических алгоритмов (итераций). Командой Сервис 4 Параметры 4 Вычисления открыть вкладку Вычисления окна диалога Параметры (рисунок 3.16) и установить: 1. Селективный переключатель Вычисления в положение Вручную. 2. В поле Относительная погрешность значение заданной погрешности 0,001; 3. В поле Предельное число итераций максимальное число итераций 32 767. Это позволит избежать ограничения числа итераций, прежде чем будет выполнено условие Относительная погрешность<0,001; 4. Включить переключатель с флажком Итерации. 5. Нажать кнопку OK. Для нахождения корня методом приближенных вычислений необходимо заполнить рабочий лист в соответствии с рисунком 3.16. В ячейку B2 помещена расчетная формула =(1+COS(A2))/2.
Рисунок 3.16. - Заполнение рабочего листа
Значение, вычисленное в ячейке В2, поступает в ячейку A2 (A2=B2), и с учетом нового значения A2 рассчитывается новое значение в ячейке B2. То есть, ячейки A2 и B2 связаны между собой циклическими ссылками. Итерационный процесс будет происходить до тех пор, пока содержимое ячеек A2 и B2 не станет отличаться друг от друга на величину заданной относительной погрешности (рисунок 3.17). Запуск программы в работу осуществляется нажатием на клавишу F9. Для повышения точности расчета клавишу F9 необходимо нажимать до тех пор, пока не прекратятся изменения чисел в ячейках (рисунок 3.17).
Рисунок 3.17.- Решение найдено
Ответ. Данное уравнение имеет единственный корень x = 0,835 43. Задание. Данный алгоритм (способ) приближенных вычислений целесообразно использовать, если уравнение имеет единственный корень. Усовершенствуйте алгоритм, чтобы он позволял данным способом находить в заданном уравнении несколько корней, если таковые имеются. Задача 4. Дана функциональная зависимость давления воздуха от высоты: . На какой высоте давление воздуха будет равно 5 000 Па? На какой высоте давление воздуха будет равно нулю с погрешностью 0,001? Формализация Из справочника по физике почерпнем дополнительные сведения: m = 0,029 кг/моль — молярная масса воздуха; g = 9,8 м/с2 — ускорение свободного падения на Земле; R = 8,31 Дж/(моль·K) — универсальная газовая постоянная; T = 300 K — температура воздуха по шкале Кельвина; P 0 = 101 325 Па — нормальное атмосферное давление. Для упрощения расчетов считается, что T = const и g = const. На рисунке 3.18 представлен рабочий лист с данными. Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|