Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Задача о приближенном решении уравнений





В школьном курсе математики изучаются различные виды уравнений: линейные, квадратные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические. При этом каждый раз ставится задача о точном решении уравнения — найти все числа, удовлетворяющие данному уравнению.

Однако, класс уравнений, допускающих точное решение, весьма узок. Уже для алгебраических уравнений пятой степени нет общей формулы, выражающей корни этого уравнения через его коэффициенты с помощью арифметических действий и операции извлечения корня. А уравнения такого типа часто встречаются при решении практических задач.

На практике нет необходимости непременно находить точное решение того или иного уравнения. Обычно вполне достаточно знать его корни с определенной степенью точности. Поэтому возникает задача о приближенном решении уравнений. Она формулируется так:

Дано уравнение f (x) = 0 и число e > 0. Найти числа b 1,...., bn, отличающиеся от корней a 1..., аn этого уравнения меньше, чем. на e, то есть такие, что

, где 1≤ kn.

Отделение корней

Многие нелинейные уравнения имеют более одного корня. Первым шагом в приближенном решении уравнений является отделение его корней друг от друга: необходимо так разделить числовые промежутки, чтобы на каждом из них содержался только один корень данного уравнения.

Если функция f (x) непрерывна, то в математическом анализе отделение корней уравнения f (x) = 0 делается на основании теоремы о промежуточном значении: «Если функция y = f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ] и ее значения на концах отрезка f (a), f (b) имеют различные знаки, то на отрезке [ a; b ] обязательно найдется точка c, в которой функция обращается в нуль f (с) = 0».

Теорема о промежуточном значении раскрывает методику отделения корней:

отрезок [ а, b ], на котором ищут корни, необходимо разбить на части точками а = х 0 < x 1<... < хn = b;

найти значения функции f (x) в этих точках: f (x 0), f (x 1),..., f (xn);

если соседние точки функции f(xk) и f(xk+ 1) имеют различные знаки, то на отрезке [ xk; xk +1] уравнение f (x) = 0 имеет, по крайней мере, один корень.

Естественно, что на ранних этапах развития математики корни отделяли вручную, позднее с помощью калькулятора. Современное средство программирования Microsoft Excel позволяет обойтись без утомительного процесса отделения корней. Достаточно построить график функции и визуально отделить корни друг от друга.

 

Решение задач

Задача 1. Отделить корни уравнения х 4– 2 х 3– 5 х 2+ 2 х + 0,9 = 0 на отрезке [–2; 2].

Построим график данной функции на отрезке [–2; 2] с шагом 0,25. График функции х 4– 2 х 3– 5 х 2+ 2 х + 0,9 = 0 на отрезке [–2; 2] представлен на рисунке 3.11.

Рисунок 3.11. График функции х 4– 2 х 3– 5 х 2+ 2 х + 0,9 = 0 на отрезке [–2; 2]

 

Из графика легко определить, что на данном участке функция трижды меняет знак (пересекает ось абсцисс), и, следовательно, имеет три корня на трех отрезках: [–1,75; –1,5]; [–0,5; 0]; [0,5; 0,75].

 

Задача 2. Найти корни уравнения х 4– 2 х 3– 5 х 2+ 2 х + 0,9 = 0 методом последовательных приближений на отрезке [–2; 2] с заданной погрешностью 0,001.

Точные значения корней установить из графика весьма затруднительно. Графическое решение уравнения в принципе возможно, но потребует много времени для изменения масштаба графика и непосредственного исследования поведения графика функции вблизи корней. Проще использовать средство Подбор параметра, встроенное в Microsoft Excel, которое позволяет оперативно найти корни с заданной точностью.

Перед началом использования средства Подбор параметра, необходимо настроить специальные средства Microsoft Excel для организации циклических алгоритмов (итераций). Для этого необходимо командой Сервис 4 Параметры 4 Вычисления открыть вкладку Вычисления окна диалога Параметры и установить:

в поле Относительная погрешность значение погрешности 0,001;

в поле Предельное число итераций максимальное число итераций 32 767. Это позволит избежать ограничения числа итераций, прежде чем будет выполнено условие Относительная погрешность<0,001;

нажать кнопку OK.

Для нахождения корня на отрезке [–1,75; –1,5] необходимо заполнить рабочий лист в соответствии с рисунком 3.12.

 

  A B
  X –1,75
  Y =B1^4-2*B1^3-5*B1^2+2*B1+0,9

 

Рисунок 3.12. - Заполнение рабочего листа

 

В данной таблице используется решение предыдущей задачи:

[–1,75; –1,5];

[–0,5; 0];

[0,5; 0,75].

В ячейку B1 внесена левая точка отрезка [–1,75; –1,5].

В ячейку B2 расчетная формула функции х 4– 2 х 3– 5 х 2+ 2 х + 0,9 = 0.

Далее необходимо выделить ячейку B2 и командой Сервис 4 Подбор параметра (на рисунке 3.12) открыть окно диалога Подбор параметра (рисунок 3.13).

В окне диалога Подбор параметра:

1. В поле Установить в ячейке следует указать имя ячейки, содержащей формулу, для которой следует подобрать параметр (если предварительно ячейка была выделена, то ее имя в этом поле появится автоматически).

2. В поле Значение необходимо ввести число (значение функции), которое должна возвратить формула по окончании процесса подбора параметра.

3. В поле Изменяя значение ячейки необходимо указать ссылку на ячейку, которая содержит начальное значение аргумента. На эту ячейку прямо или косвенно должна ссылаться формула, содержащаяся в ячейке, адрес которой указан в поле Установить в ячейке. Указать ссылку можно, выполнив Щелчок на нужной ячейке (в данном случае на ячейке B1).

4. Нажать кнопку OK.

 

 

 

 

Рисунок 3.13. - Окно диалога Подбор параметра

 

По окончании итерационного процесса подбора параметра появится информационное окно о нахождении или отсутствии решения (рисунок 3.14).

 

 

Рисунок 3.14. - Окно диалога Результат подбора параметра

 

В ячейку B1 будет помещен аргумент X, при котором значение функции Y в ячейке B2 менее чем на 0,001 отлично от нуля. Это означает, что с заданной погрешностью 0,001 найден корень функции x 1 = —1,624 920 583 202 58.

Аналогично осуществляет поиск оставшихся двух корней x 2 и x 3.

Ответ:

На отрезке [–1,75; –1,5] корень x 1 = —1,624 920 583 202 58.

На отрезке [–0,5; 0] корень x 2 = —0,279 725 512 565 86.

На отрезке [0,5; 0,75] корень x 3 = 0,599 543 914 148 49.

Задание. Программно округлите значения корней до сотых долей.

 

Задача 3. Найти методом последовательных приближений корни уравнения с заданной погрешностью 0,001.

Данное уравнение можно представить в виде и решать с помощью средства Подбор параметра, т.е. способом, предложенным в задаче 2. Но численные методы и Microsoft Excel позволяют решить это уравнение и другим способом. Последнее уравнение можно представить в виде системы двух уравнений:

Система уравнений решается графически. Для этого необходимо построить графики функций y 1, y 2 и найти координаты точки пересечения. Графическое решение системы уравнений возможно (рисунок 3.15), но займет много времени, так как для достижения заданной погрешности вычислений потребует изменения масштаба графика и исследований поведения графиков функций вблизи точки пересечения.

Рисунок 3.15. - Графическое решение системы уравнений

 

Необходимо заметить, данное уравнение содержит один корень и не требует проведения операции отделения корней. Если уравнение имеет более одного корня, то операцию отделения корней проводить необходимо. Из рисунка 16 следует, что корень находится на отрезке [0,75; 1]. Для повышения точности решения применим метод последовательных приближений, организованный с помощью итераций.

Прежде чем приступить к оформлению и программированию задачи, необходимо задействовать специальные средства Microsoft Excel для организации циклических алгоритмов (итераций).

Командой Сервис 4 Параметры 4 Вычисления открыть вкладку Вычисления окна диалога Параметры (рисунок 3.16) и установить:

1. Селективный переключатель Вычисления в положение Вручную.

2. В поле Относительная погрешность значение заданной погрешности 0,001;

3. В поле Предельное число итераций максимальное число итераций 32 767. Это позволит избежать ограничения числа итераций, прежде чем будет выполнено условие Относительная погрешность<0,001;

4. Включить переключатель с флажком Итерации.

5. Нажать кнопку OK.

Для нахождения корня методом приближенных вычислений необходимо заполнить рабочий лист в соответствии с рисунком 3.16.

В ячейку B2 помещена расчетная формула =(1+COS(A2))/2.

 

Рисунок 3.16. - Заполнение рабочего листа

 

Значение, вычисленное в ячейке В2, поступает в ячейку A2 (A2=B2), и с учетом нового значения A2 рассчитывается новое значение в ячейке B2. То есть, ячейки A2 и B2 связаны между собой циклическими ссылками. Итерационный процесс будет происходить до тех пор, пока содержимое ячеек A2 и B2 не станет отличаться друг от друга на величину заданной относительной погрешности (рисунок 3.17).

Запуск программы в работу осуществляется нажатием на клавишу F9. Для повышения точности расчета клавишу F9 необходимо нажимать до тех пор, пока не прекратятся изменения чисел в ячейках (рисунок 3.17).

 

 

Рисунок 3.17.- Решение найдено

 

Ответ. Данное уравнение имеет единственный корень x = 0,835 43.

Задание. Данный алгоритм (способ) приближенных вычислений целесообразно использовать, если уравнение имеет единственный корень. Усовершенствуйте алгоритм, чтобы он позволял данным способом находить в заданном уравнении несколько корней, если таковые имеются.

Задача 4. Дана функциональная зависимость давления воздуха от высоты: . На какой высоте давление воздуха будет равно 5 000 Па? На какой высоте давление воздуха будет равно нулю с погрешностью 0,001?

Формализация

Из справочника по физике почерпнем дополнительные сведения:

m = 0,029 кг/моль — молярная масса воздуха;

g = 9,8 м/с2 — ускорение свободного падения на Земле;

R = 8,31 Дж/(моль·K) — универсальная газовая постоянная;

T = 300 K — температура воздуха по шкале Кельвина;

P 0 = 101 325 Па — нормальное атмосферное давление.

Для упрощения расчетов считается, что T = const и g = const.

На рисунке 3.18 представлен рабочий лист с данными.







Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2024 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.