Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Зависимость массы от скорости





Возможно, кто-то остался неудовлетворенным этим довольно формальным выводом выражений для энергии и импульса релятивистской частицы. Поэтому приведем еще один вывод, заимствованный из книги М.Борна "Эйнштейновская теория относительности", Мир, Москва, 1972 г. (стр. 262). Давайте будем искать выражение для импульса частицы в виде

p = m (v) v, (27)

считая, что масса частицы m (v) есть некоторая функция ее скорости, которую нам предстоит определить исходя из предположения, что импульс частицы — сохраняющаяся величина.

Рассмотрим для этого неупругое столкновение двух одинаковых тел одно из которых покоится (в некоторой лабораторной системе отсчета K), а другое движется к нему со скоростью v. После столкновения тела слипаются и продолжают движение вместе с некоторой скоростью u, которую нам надо найти.

Рис. 2. Неупругое столкновение двух одинаковых тел.

Закон сохранения импульса в проекции на первоначальное направления движения (которое мы выбираем качестве оси x) в лабораторной системе гласит

m (v) v = M (u) u, (28)

где M (u) — масса образовавшегося тела. Посмотрим теперь на то же столкновение из другой инерциальной системы K ', которая движется вправо относительно системы K со скоростью v (рис. 3).

Рис. 3. То же столкновение в системе K '.

В этой системе первая частица покоится, а вторая налетает на нее со скоростью – v. В результате образующаяся составная частица движется со скоростью – u (так как процесс симметрично выглядит в этой системе по сравнению с системой K). Применяя теперь закон сложения скоростей, мы можем связать u и v. Для этого в формулу

(29)

подставим vx = u, v ' x = – u и V = v. В результате получим

(30)

Относительно скорости u это есть квадратное уравнение. Выбирая из двух корней тот корень, который соответствует скорости, меньшей скорости света, получим

(31)

В пределе c →∞ это переходит в известный классический предел u = v /2.

Рассмотрим теперь то же столкновение из системы K '', которая движется вниз со скоростью V.

Рис. 4. Система K ''.

В этой системе отсчета, если мы развернем картинку и снова сделаем ось x горизонтальной, столкновение тел будет выглядеть так, как показано на рис 5.

Рис. 5. Столкновение в системе K ''.

Для определения компонент скоростей тел до и после столкновения в системе K '' воспользуемся формулами преобразования скоростей

(32)

В данном случае

Vx = – V (33)

и

v 1 x = v 2 x = vσ x = 0 (34)

(значок σ относится к телу образовавшемуся в результате столкновения). Поэтому из формул (32) следует для x компонент скоростей в системе K ''

v ''1 x = v ''2 x = v '' σ x = V. (35)

Аналогичным образом, поскольку

v 1 y = v, v 2 y = 0, vσ y = u, (36)

получаем для y компонент скоростей

(37)

Запишем теперь закон сохранения импульса в системе K '' в проекции на ось x

Сокращая на V, получаем

(38)

Это равенство должно выполняться при любом V, в том числе и при V = 0

m (0)+ m (v) = M (u). (39)

В таком виде оно представляет собой не что иное, как закон сохранения массы при неупругом столкновении двух тел. Подставляя теперь M (u) в закон сохранения импульса (28), получим

(40)

Разрешая это уравнение относительно m (v), приходим к соотношению

(41)

Нам теперь осталось вычислить только отношение u /(vu). Подставляя в него скорость u из уравнения (31), получим

     
    (42)

Таким образом, мы приходим к уже известному нам выражению для массы тела, зависящей от его скорости

(43)

Попутно мы доказали, что если сохраняется импульс (во всех инерциальных системах отсчета), то сохраняется и масса (зависящая от скорости), или, что то же самое, энергия, равная произведению массы тела на квадрат скорости света.

Связь энергии с массой. Формула Эйнштейна

Важнейший результат специальной теории относительности относится к понятию массы. В дорелятивистской физике было два закона сохранения: закон сохранения массы и закон сохранения энергии. Оба этих фундаментальных закона считались совершенно независимыми друг от друга. Теория относительности объединила их в один. Так, если тело, движущееся со скоростью v и получающее энергию E 0 в форме излучения 3 без изменения своей скорости, увеличивает при этом свою энергию на величину

(44)

В результате полная энергия тела становится равной

(45)

Следовательно, тело обладает такой же энергией, как и тело, движущееся со скоростью v и имеющее массу покоя m 0+ E 0/ c 2. Таким образом, можно сказать, что если тело получает энергию E 0, то его масса покоя увеличивается на величину E 0/ c 2. Так, например, нагретое тело имеет большую массу, чем холодное, и, если бы в нашем распоряжении были бы очень точные весы, мы бы убедились в этом непосредственно с помощью взвешивания.

Однако в нерелятивистской физике изменения энергии E 0, которые мы могли сообщить телу, были, как правило, недостаточно велики, чтобы можно было заметить изменения инертной массы тела. Величина E 0/ c 2 в нашей обыденной жизни слишком мала по сравнению с массой покоя m 0, которую имело тело до изменения энергии. Этим обстоятельством объясняется тот факт, что закон сохранения массы так долго имел в физике самостоятельное значение.

Совершенно по-другому обстоит дело в релятивистской физике. Хорошо известно, что с помощью ускорителей мы можем сообщить телам (элементарным частицам) огромную энергию, достаточную для рождения новых (элементарных) частиц — процесс, который наблюдается сейчас сплошь и рядом на современных ускорителях элементарных частиц. Формула Эйнштейна "работает" в ядерных реакторах атомных электростанций, где энергия высвобождается за счет процесса деления ядер тяжелых элементов. Масса конечных продуктов реакции меньше массы исходного вещества. Эта разница масс, деленная на квадрат скорости света, и представляет собой полезную высвобожденную энергию. Подобным же образом нас обеспечивает теплом и наше Солнце, где за счет реакции термоядерного синтеза водород превращается в гелий и выделяется огромное количество энергии.

Сейчас можно считать твердо установленным, что инертная масса тела определяется количеством запасенной в теле энергии. Эту энергию сполна можно получить в процессе аннигиляции вещества с антивеществом, например, электрона с позитроном. В результате такой реакции образуются два гамма-кванта — фотона очень большой энергии. Этот источник энергии, возможно, будет использоваться в будущем в фотонных двигателях ракет для достижения ими субсветовых скоростей при полетах к далеким галактикам.

1 Поскольку при x << 1

2 Когда такие отклонения обнаруживаются, то в конце концов оказывается, что это либо ошибка, либо, если выясняется, что ошибки нет, это приводит к открытию новых элементарных частиц. Наиболее яркий пример такого рода — это открытие нейтрино.

3 Здесь E 0 — полученная телом энергия при наблюдении из системы координат, движущейся вместе с телом.


ЛЕКЦИЯ 6

· Связь энергии и импульса в релятивистской механике.

· Эффект Доплера. Момент импульса.

· Распад частиц. Звездные реакции с превращением энергии.

· Комптон эффект. Антипротонный порог.







ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2024 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.