Указания к задаче 1: матрицы и определители.

Задача 1 связана с действиями над матрицами. Для решения этой задачи следует использовать следующие сведения:

1)Всякая система , расположенных в виде прямоугольной таблицы, содержащей m строк и n столбцов, называется матрицей размера и записывается в виде:

2) Матрица размера (количество строчек равно количеству столбиков) называется квадратной матрицей порядка m.

3) Диагональ квадратной матрицы, идущая от левого верхнего угла к правому нижнему, называется главной диагональю, а вторая диагональ называется побочной.

4) Квадратная матрица, у которой на главной диагонали стоят единицы, а остальные цифры нули, называется единичной матрицей и обозначается следующим образом:

5) Две матрицы одной размерности равны друг другу, если равны все элементы этих матриц, стоящие на одинаковых местах, т.е. если

6) Произведением матрицы

на число называется матрица , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы

на число .

7) Суммой двух матриц одной размерности

называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц и , т.е.

+ = , где

8) Умножение матрицы на матрицу

Пусть даны две матрицы и , таких что число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Тогда произведением матриц и называется матрица ,каждый элемент которой C_ij равен сумме попарных произведений элементов i -той строки матрицы А на соответствующие элементы j -того столбца матрицы В, т.е.

Сij = ai1 b1j + ai2 b2j +ai3 b3j +...+ain bnj для всех i = 1 до m и j = 1 до к. Заметим, что

9) Определители квадратных матриц

Каждой квадратной матрице ставится в соответствие число, обозначаемое

Рассмотрим определители для матриц первого, второго и третьего порядков:

а) Пусть А= (а11), тогда (1)

Из формулы (1) следует, что определитель для матрицы первого порядка совпадает с элементом матрицы

б) Пусть ,тогда (2)

Из формулы (2) следует, что определитель для матрицы второго порядка равен разности произведений элементов матрицы, стоящих на главной и побочной диагоналях.

в.) Пусть , тогда (3)

Формулу (3) запомнить значительно труднее, чем (1) и (2), но это и не требуется, так как существуют различные правила,позволяющие легко подсчитать те шесть слагаемых, из которых состоит определитель для матрицы третьего порядка.

Например, можно использовать «правило треугольников», которое условно показано на схемах 1 и 2.

схема 1 схема 2

Первые три слагаемые, входящие в формулу (3) со своим знаком, подсчитываются в соответствии со схемой 1, а следующие три слагаемые, входящие с противоположным знаком, подсчитываются по схеме 2.

10) Алгебраическим дополнением элемента а_ij квадратной матрицы называется число А_ij,вычисляемое по формуле:

где M_ij -определитель полученный из определителя матрицы удалением строки с номером i и столбца с номером j.

11)Обратная матрица

Матрица А^-1 называется обратной к матрице А, если

,где Е - единичная матрица. Из определения следует, что матрицы А и А^-1 - квадратные матрицы одного порядка. Квадратная матрица имеет обратную, если ее определитель отличен от нуля и , где А_ij -алгебраические дополнения элемента а_ij матрицы .

12) Решение простейших алгебраических уравнений

а) , где А и В - заданные матрицы, причем А - квадратная матрица, определитель которой .Тогда .

б) , где А и В - заданные матрицы, причем А - квадратная матрица, определитель которой .Тогда

Примеры:

1) Выполнить действия: , где

Решение: (по п. 6)

(по п.7)

(по п.8)

2) Найти А^-1,если

Решение:

Проверим, верно ли нашли А^-1 . Для этого умножим А на А^-1 и убедимся, что получим единичную матрицу.

Задача 1.

Решить уравнение AX - B = C, где

Задача 2

2.1-2.20. Даны координаты точек А, В, С. Найти уравнения сторон треугольника АВС. Найти уравнение одной из медиан треугольника АВС. Найти уравнение одной из высот треугольника АВС. Найти уравнение одной из биссектрис треугольника АВС. Найти площадь треугольника АВС.

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: