Розряд конденсатора через котушку індуктивності (продовження)

Проаналізуємо різні типи перехідних процесів.

3. Аперіодичний процес (, ).

Такий процес характерний для контурів з великими втратами (великим R). Для них корені характеристичного рівняння є дійсними і різними.

Застосувавши теорему розкладання, одержимо такі результати

(3.36)

(3.37)

(3.38)

. (3.39)

Таким чином, струм та напруга в електричному колі являють собою різницю двох експоненційних складових, одна з яких затухає повільно, а інша - швидко (оскільки , то ).

На графіках рис.3.15 ці експоненти зображено відповідно кривими 1 та 2.

З графіків випливає, що напруги та , а також струм і змінюються за законами, які різко відрізняються від гармонічного. В теорії ланцюгів такі процеси називають аперіодичними (тобто не періодичними).

З енергетичної точки зору в контурі відбувається такі процеси.

В інтервалі від 0 до t₁ струм в контурі зростає і підтримується за рахунок енергії електричного поля конденсатора. На цьому етапі енергія, яку віддає конденсатор, частково перетворюється в енергію магнітного поля котушки індуктивності. Але більша частина енергії розсіюється в активному опорі контура, у вигляді тепла.

У момент t₁ струм, а отже і енергія магнітного поля котушки індуктивності досягає максимального значення.

При t > t₁ струм у контурі зменшується і підтримується не тільки за рахунок енергії конденсатора, що залишилась, але також за рахунок енергії, яка накопичилась у магнітному полі котушки.

Після того, як ця енергія розсіюється в активних опорах контура, струм контура спадає до нуля.

При збільшенні L, зменшується коефіцієнт

затухання , що призводить до сповільнення

У попередніх прикладах розглянуто найпростіші електричні кола з реактивними елементами. При цьому диференційне рівняння співпадало з рівнянням, складеним за ІІ-м законом Кірхгофа. Якщо електричний ланцюг містить кілька гілок, диференційне рівняння одержують шляхом виключення з системи рівнянь, що описують струми та напруги на елементах, усіх невідомих, крім струму і_к, або напруги u_к, які треба визначити.

5. Приклад розрахунку найпростішого розгалуженого ланцюга (рис.2.15)

Складаємо систему рівнянь на основі законів Кірхгофа та рівнянь елементів електричного кола.

Оскільки, як реактивний елемент використовується конденсатор С, диференційне рівняння доцільно складати відносно напруги на конденсаторі u_C.

Відповідно до ІІ-го закону Кірхгофа або

За І-м законом Кірхгофа

; .

Виключаючи всі невідомі, крім , та підставляючи одержані вирази у перше рівняння, одержимо диференційне рівняння ланцюга:

;

або . (2.28)

Характеристичне рівняння має такий вигляд

; корінь характеристичного рівняння .

Напругу на конденсаторі будемо шукати у вигляді

.

Усталена напруга на конденсаторі

.

Вільна напруга на конденсаторі

,

де - стала часу ланцюга.

Отже

. (2.29)

У загальному випадку будемо вважати, що конденсатор С у момент комутації уже був заряджений до напруги U₀. Знак напруги залежатиме від її полярності.

Таким чином, маємо такі початкові умови: при t = 0, .

Підставляємо початкові умови в (2.29)

. Отже .

Якщо ;.

Таким чином, у перехідному режимі напруга на конденсаторі змінюється за таким законом

Одержане загальне рішення дозволяє розглядати різні окремі випадки, а також визначити струми та напруги на інших елементах.

Так, напруга на резисторі R2 співпадає з напругою на ємності

.

Напругу на резисторі R1 при нульових початкових умовах можна визначити як

.

Струм резистора R1 ; струм резистора R2 , а струм ємності і_С можна визначити як .

Маючи аналітичні вирази для струмів та напруг можемо побудувати їх графіки (побудувати самостійно).

У найпростіших випадках, при аналізі перехідних процесів в електричних ланцюгах 1-го порядку, в яких діє джерело постійної напруги або струму, аналітичні вирази для перехідного струму індуктивності або перехідної напруги на ємності можна одержати не складаючи і не розв’язуючи диференційне рівняння електричного ланцюга. Теоретичне обгрунтування такого підходу буде дано пізніше.

Методика розрахунку перехідних процесів в RL та RC ланцюгах без розв’язання диференційного рівняння

Нехай у момент t = 0 електричний ланцюг підключається до джерела сталого струму або напруги, або працюючи в усталеному режимі на постійному струмі, в момент t = 0 у ланцюзі відбувається комутація окремих елементів.

Для визначення перехідного струму в індуктивності або перехідної напруги на ємності можна не складати і не розв’язувати диференційне рівняння електричного ланцюга, а одразу записати рішення у такому вигляді

; (2.31)

(2.32)

Де , - значення відповідного струму (напруги) в усталеному режимі (при t ® ¥);

, - початкові значення відповідного струму (напруги) в момент комутації (при t = 0);

t - стала часу електричного ланцюга.

Для визначення струму i(t) скористаємося теоремою розкладання

.

Коренями характеристичного рівняння є корені квадратного рівняння .

Отже . (3.35)

Для спрощення аналітичних виразів, введемо такі позначення:

- коефіцієнт затухання контура;

- резонансна частота контура LC;

; ;

Отже корені характеристичного рівняння

.

Залежно від співвідношення між величинами коефіцієнта затухання контура a та його резонансною частотою w₀ у контурі можуть мати місце три різних типи перехідних процесів:

1) при a > w₀ – аперіодичний перехідний процес;

2) при a = w₀ – граничний випадок аперіодичного перехідного процесу;

3) при a < w₀ – коливальний перехідний процес.

Умову a > w₀ можна записати в іншому вигляді

або , де - хвильовий опір контура.

Відношення називають добротністю контура.

Таким чином умови протікання трьох типів перехідних процесів є такими:

1) a > w₀, або , або .

2) a = w₀, або , або .

3) a < w₀, або , або .

2) закорочування RC ланцюга (Е = 0)

.

Якщо полярність початкової напруги протилежна (вказана у дужках), знак при U₀ у виразі (3.32) треба змінити на протилежний.

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: