|
Арифметические вычисления. Проценты.Стр 1 из 9Следующая ⇒ Тема №1. Арифметические вычисления. Проценты.
Обыкновенные дроби. Действия над обыкновенными дробями. 1º. Натуральные числа – это числа, употребляемые при счете. Множество всех натуральных чисел обозначают N, т.е. N={1, 2, 3, …}. Дробью называется число, состоящее из нескольких долей единицы. Обыкновенной дробью называется число вида , где натуральное число n показывает, на сколько равных частей разделена единица, а натуральное число m показывает, сколько таких равных частей взято. Числа m и n называют соответственно числителем и знаменателем дроби. Если числитель меньше знаменателя, то обыкновенная дробь называется правильной; если числитель равен знаменателю или больше него, то дробь называется неправильной. Число, состоящее из целой и дробной частей, называется смешанным числом. Например, - правильные обыкновенные дроби, - неправильные обыкновенные дроби, 1 - смешанное число. 2º. При выполнении действий над обыкновенными дробями следует помнить следующие правила: 1) Основное свойство дроби. Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной. Например, а) ; б) . Деление числителя и знаменателя дроби на их общий делитель, отличный от единицы, называется сокращением дроби. 2) Чтобы смешанное число представить в виде неправильной дроби, нужно умножить его целую часть на знаменатель дробной части и к полученному произведению прибавить числитель дробной части, записать полученную сумму числителем дроби, а знаменатель оставить прежним. Аналогично любое натуральное число можно записать в виде неправильной дроби с любым знаменателем. Например, а) , так как ; б) и т.д. 3) Чтобы неправильную дробь записать в виде смешанного числа (т.е. из неправильной дроби выделить целую часть), нужно числитель разделить на знаменатель, частное от деления взять в качестве целой части, остаток - в качестве числителя, знаменатель оставить прежним. Например, а) , так как 200: 7 = 28 (ост. 4); 4) Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей этих дробей (оно и будет их наименьшим общим знаменателем), разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей (т.е. найти дополнительные множители для дробей), умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель. Например, приведем дроби к наименьшему общему знаменателю: , , ; ; 630: 18 = 35, 630: 10 = 63, 630: 21 = 30. Значит, ; ; . 5) Правила арифметических действий над обыкновенными дробями: a) Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями выполняется по правилу: . b) Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями выполняется по правилу a), предварительно приведя дроби к наименьшему общему знаменателю. c) При сложении и вычитании смешанных чисел можно обратить их в неправильные дроби, а затем выполнить действия по правилам a) и b), d) При умножении дробей пользуются правилом: . e) Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю: . f) При умножении и делении смешанных чисел, их предварительно переводят в неправильные дроби, а затем пользуются правилами d) и e). 3º. При решении примеров на все действия с дробями следует помнить, что сначала выполняются действия в скобках. Как в скобках, так и вне их сначала выполняют умножение и деление, а затем сложение и вычитание. Рассмотрим выполнение вышеизложенных правил на примере. Пример 1. Вычислить: . 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) . Ответ: 3.
Дидактический материал. Найдите значение выражения: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . Ответы:
Дидактический материал. Найдите значение выражения: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) ; 16) ; 17) ; 18) ; 19) ; 20) . Найти Х из пропорции: 21) ; 22) ; 23) ; 24) .
Ответы: 1) 84,075; 2) 1; 3) 6; 4) 8; 5) 20; 6) 32; 7) 1; 8) 2; 9) 4; 10) 2; 11) 3; 12) 3; 13) 0,5; 14) 3; 15) 1; 16) 3; 17) 5; 18) ; 19) 1; 20) 9; 21) 1; 22) 5; 23) 25; 24) 5.
Дидактический материал. 1) Найдите: а) 4% от 75; б) % от 330; в) 160% от 82,25. 2) Найдите число, если: а) 40% его равны 12; б) 1,25 % его равны 55; в) 0,8% его равны 1,84; г) % его равны . 3) Найти, сколько процентов составляет: а) число 15,57 от числа 90; б) число 150 от числа 120; в) число 0,3 от 1,9 4) Число, % которого составляют , равно: а) 0,672 б) 400 в) 672 г) 500 д) 472 5) Число, % которого составляет , равно: а) 762 б) 580 в) 140 г) 350 д) 7,62 6) Сколько процентов числа 3 составляет разность между ним и 3% числа 20? 7) 18% числа 10 равны 15% числа с. Найти с. 8) После увеличения числа на 17% получили 108,81. Исходное число равно:
а) 93,05 б) 93 в) 94 г) 92 д) 92,86 9) Некоторое число уменьшили на 14%, получив в результате 95. Это число с точностью до 0,01 равно: а) 110,46 б) 110,44 в) 109,59 г) 110,50 д) 110,47 10) Сберегательный банк начисляет по вкладам ежегодно 2% вклада. Вкладчик внес в банк 15000 руб. Какой станет сумма через 2 года? 11) По долгосрочному вкладу банк выплачивает 10% годовых. По истечении каждого года начисленная сумма присоединяется к вкладу. На этот вид вклада был открыт счет в 20000 руб., который не пополнялся и с которого не снимали деньги в течение 3-х лет. Какой доход был получен по истечении этого срока? 12) Вкладчику на положенные в банк деньги через год начислили проценты в размере 15 тыс.рублей. Не взяв их, а добавив еще 85 тыс.рублей, он оставил все деньги еще на год под те же проценты. По истечении второго срока вклад вместе с процентными начислениями составил 275 тыс.рублей. Сколько тысяч рублей было положено в банк первоначально? (При решении задачи следует учесть, что процентная ставка банка не может превышать 100% годовых). 13) Вкладчик положил в банк некоторую сумму под 10% годовых. Каждый год после начисления процентов он добавляет на свой счет 5000 рублей. В результате через три года его вклад составил 29860 рублей. Какова была сумма первоначального вклада? 14) Производительность труда второй бригады на 20% больше, чем первой бригады, а производительность труда третьей бригады на 25% меньше, чем второй. На сколько процентов производительность труда третьей бригады меньше, чем первой? 15) Владелец магазина дважды за год повышал центы на товары в среднем на 10%. На сколько процентов повысилась цена на товары за год? 16) Цены на компьютерную технику в среднем понижались за год дважды на 10%. На сколько процентов понизились цены на компьютерную технику за год? 17) Два спиртовых раствора борной кислоты одинаковой массы слили в один сосуд. Раствор какой концентрации получили в результате, если первый раствор был пятипроцентным (5% борной кислоты и 95% спирта), а второй – однопроцентный? 18) Сколько мл воды нужно добавить к 500 мл 96%-ного раствора спирта (96% спирта, 4% воды), чтобы получить 40%-ный раствор спирта? 19) Из сосуда, полностью заполненного 12%-ным раствором соли, отлили 1л и налили 1л воды. После этого в сосуде оказался 9%-ный раствор соли. Сколько литров вмещает сосуд? 20) В библиотеке имеются книги на английском, французском и немецком языках. Английские книги составляют 36% всех книг на иностранных языках. Французские – 75% английских, а остальные 185 книг – немецкие. Сколько книг на иностранных языках в библиотеке? 21) Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие – 12%. Сколько получится сухих грибов из 44 кг свежих?
Ответы: 6) 80%; 7) 12; 10) 15660; 11) 15606; 12) 150; 13) 10000; 14) 10; 15) 21; 16) 19; 17) 3; 18) 700; 19) 4; 20) 500; 21) 5.
Тема №2. Уравнения. Модуль числа.
Квадратные уравнения. 1º. Уравнение вида , где a,b,c – действительные числа, причем а ≠ 0, называют квадратным уравнением. Корни квадратного уравнения находят по формуле: . Если коэффициент а = 1, то квадратное уравнение называют приведенным; если коэффициент а ≠ 1 – неприведенным. 2º. Выражение называют дискриминантом квадратного уравнения. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней; если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень (или два одинаковых корня); если D > 0, уравнение имеет два различных действительных корня. 3º. Теорема Виета. Сумма корней квадратного уравнения равна а произведение корней равно . Для корней x1 и x2 приведенного квадратного уравнения формулы Виета имеют вид: 4º. Уравнения вида , , называют неполными квадратными уравнениями. Неполные квадратные уравнения решают следующим образом: 1) ; 2) . 5º. Выражение называется квадратным трехчленом относительно х. Квадратный трехчлен может быть разложен на линейные множители по формуле: , где x1 и x2 – корни квадратного трехчлена, т.е. корни уравнения (если уравнение имеет действительные корни).
Дидактический материал. Решите уравнения, сводящиеся к линейным: 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ;
8. ; 9. ; 10. ; 11. . Решите квадратные уравнения: 12. ; 13. ; 14. ; 15. ; 16. . Разложите на линейные множители: 17. ; 18. ; 19. ; 20. ; 21. . Сократите дроби: 22. ; 23. ; 24. ; 25. ; 26. ; 27. . Упростите выражение: 28. ; 29. . Найдите среднее арифметическое всех действительных корней уравнения: 30. ; 31. ; 32. ; 33. ; 34. ; 35. ; 36. . Найдите расстояние от вершины параболы до точки М: 37. ; 38. ; 39. ; 39. . Постройте график функции: 40. ; 41. ; 42. ; 43. ; 44. ; 45. ; 46. ; 47. ; 48. ; 49. ; 50. ; 51. . 52. По графику квадратичной функции определить знаки ее коэффициентов и их суммы:
Найдите рациональные корни уравнения: 53. ; 54. ; 55. ; 56. ; 57. ; 58. ; 59. ; 60. ; 61. . Решите уравнения: 62. ; 63. ; 64. ; 65. ; 66. ; 67. ; 68. ; 69. ; 70. ; 71. ; 72. .
Тема №3. Степени и корни.
Дидактический материал. Вычислите: 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. ; 15. . Внесите множители под знак общего корня: 16. ; 17. ; 18. . Упростите выражения: 19. ; 20. ; 21. ; 22. ; 23. ; 24. ; 25. ; 26. ; 27. . Ответы: 19. ; 20. x + 4; 21. 0,5; 22. -1; 23. ; 24. 1; 25. 3; 26. x – y; 27. .
Тема №4. Метод интервалов. 1º. Если дискриминант квадратного трехчлена D > 0 или D = 0, то квадратное неравенство можно переписать в виде или , где x1 и x2 – корни квадратного трехчлена, и использовать для его решения метод интервалов. 2º. Для решения любых алгебраических уравнений вида (1) или вида (2) , где x1, x2, …, xn – действительные числа, удовлетворяющие условию x1 < x2 < …< xn, а k1, k2, …, kn – натуральные числа, применим обобщенный метод интервалов. Суть его состоит в следующем: на координатной оси отмечают числа x1, x2, …, xn, в промежутке справа от xn ставят знак +, затем, двигаясь справа налево, при переходе через очередную точку xi меняют знак, если ki - нечетное число и сохраняют знак, если ki - четное число. Тогда множеством решений неравенства (1) будет объединение промежутков, в каждом из которых поставлен знак +, а множеством решений неравенства (2) будет объединение промежутков, в каждом из которых поставлен знак –. Замечание. Обобщенный метод интервалов справедлив и для целых рациональных неравенств P(x) > 0 или Q (x) ≥ 0, и для дробно-рациональных неравенств или , причем последние равносильны неравенству и системе соответственно, где P(x), Q(x) – некоторые многочлены. Пример 11. Решить неравенство . Решение: Находим корни квадратного трехчлена : Данное неравенство равносильно следующему неравенству: . Применяя метод интервалов к последнему неравенству, получим множество всех решений неравенства – отрезок [-2; 3]. Ответ: . Пример 12. Решить неравенство . Решение: Находим корни числителя и знаменателя: Указанная система равносильна следующей системе: Нанесем найденные корни на числовую прямую. В интервалах справа налево расставим знаки плюс и минус. Множеством всех решений данного неравенства является объединение промежутков, в которых поставлен знак минус. Ответ: .
Дидактический материал. Решите неравенства: 1. ; 2. ; 3. ; 4. . Решите системы неравенств: 5. ; 6. . Найдите целые решения системы неравенств: 7. ; 8. . Решите неравенства: 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. ; 15. ; 16. ; 17. ; 18. ; 19. ; 20. ; 21. ; 22. ; 23. ; 24. ; 25. ; 26. ; 27. ; 28. ; 29. ; 30. ; 31. ; 32. .
Тема №5. Множество значений функции. 1º. Множеством (областью) значений E(y) функции y=f(x) называется множество всех таких чисел y0, для каждого из которых найдется число x0 такое, что f(x0)=y0. 2º. Областью значений всякого многочлена четной степени является промежуток , где m – наименьшее значение этого многочлена, либо промежуток , где n – наибольшее значение этого многочлена. Областью значений всякого многочлена нечетной степени является R. 3º. Области значений основных элементарных функци й:
Пример 15. Найти множество значений функции , если x≤1. Решение: Данная функция не определена при x=0 и, следовательно, задана на множестве . Рассмотрим x<0, тогда |x|=-x и функция принимает вид . Так как для x<0, то . Таким образом, на промежутке функция принимает значения от 5 до +∞. Если x>0, то |x|=x и функция имеет вид . Так как для , то . Ответ: .
Дидактический материал. Решите неравенства: 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. ; 15. ; 16. ; 17. ; 18. . 19. При каких x точки графика функции лежат выше прямой ? 20. При каких x точки графика лежат не ниже точек графика функции ? Найти множество значений функции: 21. , если ; 22. , если .
Тема №6. Иррациональные уравнения.
1º. Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня. При решении иррациональных уравнений применяют 2 метода: метод возведения в степень обеих частей уравнения и метод введения новой переменной (замены переменной). 2º. Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень состоит в следующем: а) преобразуют заданное иррациональное уравнение к виду ; б) возводят обе части полученного уравнения в n -ую степень: ; в) учитывая, что , получают уравнение и решают его. 3º. Следует учитывать, что при возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. В этом случае обязательна проверка найденных корней путем их подстановки в исходное уравнение. Пример 16. Решить уравнение . Решение: Преобразуем уравнение к виду и возведем обе части его в квадрат. Получим: Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат: Откуда получим: Проверка: 1) При x=5 имеем: . Таким образом, x=5 является корнем заданного уравнения. 2) . Таким образом, x=197 – посторонний корень. Ответ: 5. 4º. Метод замены переменной продемонстрируем на примере. Пример 17. Решить уравнение . Решение: Область определения уравнения: Пусть , тогда Поэтому Отсюда: 1) Получили неверное числовое равенство, значит, в этом случае нет корней. 2) Ответ: -8/7.
Дидактический материал. Решите уравнения: 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. . Найдите наименьший корень уравнения: 11. ; 12. ; 13. . Найдите произведение всех корней уравнения: 14. ; 15. . Решите уравнения: 16. ; 17. ; 18. .
Тема №7. Показательные уравнения.
Дидактический материал. Решите уравнения: 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. ; 15. ; 16. ; 17. ; 18. ; 19. ; 20. ; 21. ; 22. ; 23. ; 24. ; 25. . 26. Найдите произведение корней уравнения . 27. Найдите сумму корней уравнения . Найдите значение выражения: 28. , где x0 – корень уравнения ; 29. , где x0 – целый корень уравнения . Решите уравнение: 30. ; 31. ; 32. .
Ответы: 1. 0; 2. -2/9; 3. 1/36; 4. 0, 0.5; 5. 0; 6. 0; 7. -2; 8. 2; 9. 1, 3; 10. 8; 11. 5; 12. 1; 13. ¼; 14. 2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17. 0; 18. 1; 19. 0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23. 4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0.3; 27. 3; 28. 11; 29. 54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .
Тема №8. Показательные неравенства.
1º. Неравенство, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным неравенством. 2º. Решение показательных неравенств вида основано на следующих утверждениях: если , то неравенство равносильно ; если , то неравенство равносильно . При решении показательных неравенств используют те же приемы, что и при решении показательных уравнений. Пример 26. Решить неравенство (методом перехода к одному основанию). Решение: Так как , то заданное неравенство можно записать в виде: . Так как , то данное неравенство равносильно неравенству . . Решив последнее неравенство, получим . Ответ: . Пример 27. Решить неравенство: (методом вынесения общего множителя за скобки). Решение: Вынесем за скобки в левой части неравенства , в правой части неравенства и разделим обе части неравенства на (-2), поменяв знак неравенства на противоположный: . Так как , то при переходе к неравенству показателей знак неравенства опять меняется на противоположный. Получаем . Таким образом, множество всех решений данного неравенства есть интервал . Ответ: . Пример 28. Решить неравенство (методом введения новой переменной). Решение: Пусть . Тогда данное неравенство примет вид: или , решением которого является интервал . Отсюда
Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем... Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|