|
Неравенства с одной переменной (часть I).
Решение линейных и квадратных неравенств. 1º. Решить неравенство с одной переменной – значит найти множество значений переменной, при которых это неравенство является верным. Элементы этого множества называются решениями неравенства. Два неравенства, содержащие одну и ту же переменную, называются равносильными, если множества решений этих неравенств совпадают. Равносильность неравенств обозначается так: . 2º. Линейным неравенством называется неравенство вида , где . Если a > 0, то . Если a < 0, то . Пример 9. Решить неравенство, сводящееся к линейному: . Решение: Раскрыв скобки, получим: . Ответ: 3º. Квадратным неравенством называется неравенство вида (или ), где а ≠ 0. При решении квадратного неравенства в зависимости от знака дискриминанта могут представиться 3 варианта: 1) Если D < 0, то график квадратного трехчлена не пересекает ось Ох и лежит выше этой оси при a > 0 и ниже ее при a < 0. В первом случае множество решений неравенства есть вся числовая прямая, а во втором – пустое множество. 2) Если D > 0, то график квадратного трехчлена пересекает ось Ох в точках х1 и х2 (x1 < x2), являющихся корнями уравнения . Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка (-∞; x1), (x1; x2), (x2; +∞). Если a > 0, то решением неравенства является множество . Если a < 0, то решением неравенства является множество (x1; x2). 3) Если D = 0, то график квадратного трехчлена касается оси Ох в точке х1, являющейся единственным корнем уравнения . При a < 0 решением неравенства будет пустое множество, при a > 0 – множество . Пример 10. Решить неравенство . Решение: Рассмотрим функцию . Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как a = -3 < 0. Решим уравнение или . Корни этого уравнения . Изобразив схематически параболу , найдем, что y < 0 в каждом из промежутков (-∞; 1/3), (3; +∞). Ответ: .
Метод интервалов. 1º. Если дискриминант квадратного трехчлена D > 0 или D = 0, то квадратное неравенство можно переписать в виде или , где x1 и x2 – корни квадратного трехчлена, и использовать для его решения метод интервалов. 2º. Для решения любых алгебраических уравнений вида (1) или вида (2) , где x1, x2, …, xn – действительные числа, удовлетворяющие условию x1 < x2 < …< xn, а k1, k2, …, kn – натуральные числа, применим обобщенный метод интервалов. Суть его состоит в следующем: на координатной оси отмечают числа x1, x2, …, xn, в промежутке справа от xn ставят знак +, затем, двигаясь справа налево, при переходе через очередную точку xi меняют знак, если ki - нечетное число и сохраняют знак, если ki - четное число. Тогда множеством решений неравенства (1) будет объединение промежутков, в каждом из которых поставлен знак +, а множеством решений неравенства (2) будет объединение промежутков, в каждом из которых поставлен знак –. Замечание. Обобщенный метод интервалов справедлив и для целых рациональных неравенств P(x) > 0 или Q (x) ≥ 0, и для дробно-рациональных неравенств или , причем последние равносильны неравенству и системе соответственно, где P(x), Q(x) – некоторые многочлены. Пример 11. Решить неравенство . Решение: Находим корни квадратного трехчлена : Данное неравенство равносильно следующему неравенству: . Применяя метод интервалов к последнему неравенству, получим множество всех решений неравенства – отрезок [-2; 3]. Ответ: . Пример 12. Решить неравенство . Решение: Находим корни числителя и знаменателя: Указанная система равносильна следующей системе: Нанесем найденные корни на числовую прямую. В интервалах справа налево расставим знаки плюс и минус. Множеством всех решений данного неравенства является объединение промежутков, в которых поставлен знак минус. Ответ: .
Дидактический материал. Решите неравенства: 1. ; 2. ; 3. ; 4. . Решите системы неравенств: 5. ; 6. . Найдите целые решения системы неравенств: 7. ; 8. . Решите неравенства: 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. ; 15. ; 16. ; 17. ; 18. ; 19. ; 20. ; 21. ; 22. ; 23. ; 24. ; 25. ; 26. ; 27. ; 28. ; 29. ; 30. ; 31. ; 32. .
Тема №5. Неравенства с одной переменной (часть II).
Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала... Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|