|
Методы решения показательных уравнений.1º. Показательными уравнениями называют уравнения, содержащие переменную в показателе степени. Решение показательных уравнений основано на свойстве степени: две степени с одним и тем же основание равны тогда и только тогда, когда равны их показатели. 2º. Основные способы решения показательных уравнений: 1) простейшее уравнение имеет решение ; 2) уравнение вида логарифмированием по основанию a сводят к виду ; 3) уравнение вида равносильно уравнению ; 4) уравнение вида равносильно уравнению . 5) уравнение вида через замену сводят к уравнению , а затем решают совокупность простейших показательных уравнений ; 6) уравнение со взаимно обратными величинами заменой сводят к уравнению , а затем решают совокупность уравнений ; 7) уравнения, однородные относительно ag(x) и bg(x) при условии вида через замену сводят к уравнению , а затем решают совокупность уравнений . Классификация показательных уравнений. 1. Уравнения, решаемые переходом к одному основанию. Пример 18. Решить уравнение . Решение: Воспользуемся тем, что все основания степеней являются степенями числа 5: . 2. Уравнения, решаемые переходом к одному показателю степени. Эти уравнения решаются преобразованием исходного уравнения к виду , которое использованием свойства пропорции приводится к простейшему. Пример 19. Решить уравнение: Решение: . 3. Уравнения, решаемые вынесением общего множителя за скобки. Если в уравнении каждый показатель степени отличается от другого на некоторое число, то уравнения решаются вынесением за скобки степени с наименьшим показателем. Пример 20. Решить уравнение . Решение: Вынесем в левой части уравнения степень с наименьшим показателем за скобки:
. Пример 21. Решить уравнение Решение: Сгруппируем отдельно в левой части уравнения слагаемые, содержащие степени с основанием 4, в правой части – с основанием 3, затем вынесем степени с наименьшим показателем за скобки: .
4. Уравнения, сводящиеся к квадратным (или кубическим) уравнениям. К квадратному уравнению относительно новой переменной y сводятся уравнения: а) вида подстановкой , при этом ; б) вида подстановкой , при этом . Пример 22. Решить уравнение . Решение: Сделаем замену переменной и решим квадратное уравнение: . Ответ: 0; 1. 5. Однородные относительно показательных функций уравнения. Уравнение вида является однородным уравнением второй степени относительно неизвестных ax и bx. Такие уравнения сводятся предварительным делением обеих частей на и последующей подстановкой к квадратным уравнениям. Пример 23. Решить уравнение . Решение: Разделим обе части уравнения на : . Положив , получим квадратное уравнение с корнями . Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений . Из первого уравнения находим, что . Второе уравнение не имеет корней, так как при любых значения x. Ответ: -1/2. 6. Рациональные относительно показательных функций уравнения. Пример 24. Решить уравнение . Решение: Разделим числитель и знаменатель дроби на 3x и получим вместо двух – одну показательную функцию: 7. Уравнения вида . Такие уравнения с множеством допустимых значений (ОДЗ), определяемым условием , логарифмированием обеих частей уравнения приводятся к равносильному уравнению , которые в свою очередь равносильны совокупности двух уравнений или . Пример 25. Решить уравнение: . Решение: .
Дидактический материал. Решите уравнения: 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. ; 15. ; 16. ; 17. ; 18. ; 19. ; 20. ; 21. ; 22. ; 23. ; 24. ; 25. . 26. Найдите произведение корней уравнения . 27. Найдите сумму корней уравнения . Найдите значение выражения: 28. , где x0 – корень уравнения ; 29. , где x0 – целый корень уравнения . Решите уравнение: 30. ; 31. ; 32. .
Ответы: 1. 0; 2. -2/9; 3. 1/36; 4. 0, 0.5; 5. 0; 6. 0; 7. -2; 8. 2; 9. 1, 3; 10. 8; 11. 5; 12. 1; 13. ¼; 14. 2; 15. -2, -1; 16. -2, 1; 17. 0; 18. 1; 19. 0; 20. -1, 0; 21. -2, 2; 22. -2, 2; 23. 4; 24. -1, 2; 25. -2, -1, 3; 26. -0.3; 27. 3; 28. 11; 29. 54; 30. -1, 0, 2, 3; 31. ; 32. .
Тема №8. Показательные неравенства.
1º. Неравенство, содержащее переменную в показателе степени, называется показательным неравенством. 2º. Решение показательных неравенств вида основано на следующих утверждениях: если , то неравенство равносильно ; если , то неравенство равносильно . При решении показательных неравенств используют те же приемы, что и при решении показательных уравнений. Пример 26. Решить неравенство (методом перехода к одному основанию). Решение: Так как , то заданное неравенство можно записать в виде: . Так как , то данное неравенство равносильно неравенству . . Решив последнее неравенство, получим . Ответ: . Пример 27. Решить неравенство: (методом вынесения общего множителя за скобки). Решение: Вынесем за скобки в левой части неравенства , в правой части неравенства и разделим обе части неравенства на (-2), поменяв знак неравенства на противоположный: . Так как , то при переходе к неравенству показателей знак неравенства опять меняется на противоположный. Получаем . Таким образом, множество всех решений данного неравенства есть интервал . Ответ: . Пример 28. Решить неравенство (методом введения новой переменной). Решение: Пусть . Тогда данное неравенство примет вид: или , решением которого является интервал . Отсюда . Поскольку функция возрастает, то . Ответ: . Дидактический материал. Укажите множество решений неравенства: 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. . 6. При каких значениях x точки графика функции лежат ниже прямой ? 7. При каких значениях x точки графика функции лежат не ниже прямой ? Решите неравенство: 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. . 13. Укажите наибольшее целое решение неравенства . 14. Найдите произведение наибольшего целого и наименьшего целого решений неравенства . Решите неравенство: 15. ; 16. ; 17. ; 18. ; 19. ; 20. ; 21. ; 22. ; 23. ; 24. ; 25. ; 26. . Найдите область определения функции: 27. ; 28. . 29. Найдите множество значений аргумента, при которых значения каждой из функций больше 3: и .
Ответы: 11. 3; 12. 3; 13. -3; 14. 1; 15. (0; 0,5); 16. [1,5; 5]; 17. (-1; 0)U(3; 4); 18. [-2; 2]; 19. (0; +∞); 20. (0; 1); 21. (3; +∞); 22. (-∞; 0)U(0,5; +∞); 23. (0; 1); 24. (-1; 1); 25. (0; 2]; 26. (3; 3,5)U (4; +∞); 27. (-∞; 3)U{5}; 28. [2; +∞); 29. (-∞; log5(5 -5)).
Тема №9. Логарифмы.
1º. Логарифмом числа b по основанию a (где ) называется показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить число b. Логарифм числа b по основанию a обозначается символом log ab. В записи log ab число a называют основанием логарифма, число b – логарифмируемым числом. Равенство означает, что . 2º. Основным логарифмическим тождеством называется равенство , которое справедливо при . Например, . 3º. Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается lg вместо log10. Логарифм по основанию e (e =2,712828…) называется натуральным логарифмом и обозначается ln вместо log e. 4º. Основные свойства логарифмов: 1) ; 2) ; 3) (логарифм произведения), где ; 4) (логарифм частного), где ; 5) (логарифм степени), где ; Замечание. Если b<0, а p – четное целое число, то справедлива формула: 6) (формула перехода к другому основанию логарифма). В частности, . Пример 29. Найти . Решение: Воспользуемся основным логарифмическим тождеством и свойством «логарифм степени». . Пример 30. Вычислить . Решение: Для решения данного примера необходимо использовать все свойства логарифмов: . Пример 31. Вычислить . Решение: Для решения данного примера используются все свойства логарифмов, а также основное логарифмическое тождество: . Ответ: 19. Пример 32. Найти , если и . Решение: Разложим числа 168, 54, 24 и 12 на множители: . Полагая и , выразим через x и y все логарифмы, содержащиеся в условии: ; ; . Согласно условию для определения x и y получаем систему уравнений: , решая которую находим , . Подставим найденные значения x и y в равенство для определения , получим ответ: . 5º. Логарифмирование – это преобразование, при котором логарифм выражения с переменными приводится к сумме или разности логарифмов переменных. Потенцирование – это преобразование, обратное логарифмированию. Пример 33. Дано , где . Найти выражение для x. Решение: Потенцируя, получим: , .
Дидактический материал. Вычислите: 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. . 13. Прологарифмируйте по основанию 3 выражение . 14. Прологарифмируйте по основанию 5 выражение . 15. Прологарифмируйте по основанию 4 выражение . 16. Вычислите x, если . 17. Вычислите x, если . Вычислите значение выражения: 18. при ; 19. при ; 20. при ; 21. при . Упростите выражение: 22. ; 23. ; 24. ; 25. . 26. Известно, что . Найдите . 27. Найдите значение выражения , если . 28. Найдите значение выражения , если . 29. Найдите значение выражения , если . 30. Найдите значение выражения , если . Найдите значение функции: 31. при ; 32. при .
Тема №10. Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала... ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между... Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|