|
Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции.Пусть функция f (x) дважды дифференцируема (имеет вторую производную) на интервале (a, b), тогда: если f '' (x) > 0 для любого x (a, b), то функция f (x) является вогнутой на интервале (a, b); если f '' (x) < 0 для любого x (a, b), то функция f (x) является выпуклой на интервале (a, b). Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба x 0 существует вторая производная f '' (x 0), то f '' (x 0) = 0. 24 вопрос Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. Различают вертикальные (рис. 6.6 а), горизонтальные (рис. 6.6 б) и наклонные (рис. 6.6 в) асимптоты. На рис. 6.6а изображена вертикальная асимптота. На рис 6.6б – горизонтальная асимптота. На рис. 6.6в – наклонная асимптота. Теорема 1. В точках вертикальных асимптот (например, ) функция терпит разрыв, ее предел слева и справа от точки равен : и (или) . Теорема 2. Пусть функция определена при достаточно больших и существуют конечные пределы и . Тогда прямая является наклонной асимптотой графика функции . Теорема 3. Пусть функция определена при достаточно больших и существует предел функции . Тогда прямая есть горизонтальная асимптота графика функции . Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной асимптоты, когда . Поэтому, если в каком-либо направлении кривая имеет горизонтальную асимптоту, то в этом направлении нет наклонной, и наоборот. 25 вопрос Общая схема исследования функции и построения ее графика. 1. Найти область определения . 2. Исследовать функцию на четность – нечетность. 3. Найти вертикальные асимптоты и точки разрыва (если есть). 4. Исследовать поведение функции в бесконечности; найти горизонтальные и наклонные асимптоты (если есть). 5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции. 6. Найти точки пересечения графика с осями координат и, если это нужно для схематического построения графика, найти дополнительные точки. 7. Схематично построить график. Подробная схема исследования функции и построения графика. 1. Найти область определения . a. Если у есть знаменатель, он не должен обращаться в 0. b. Подкоренное выражение корня четной степени должно быть неотрицательным (больше либо равно нулю). c. Подлогарифмическое выражение должно быть положительным. 2. Исследовать функцию на четность – нечетность. a. Если , то функция четная. b. Если , то функция нечетная. c. Если не выполнено ни , ни , то – функция общего вида. 3. Найти вертикальные асимптоты и точки разрыва (если есть). a. Вертикальная асимптота может возникнуть только на границе области определения функции. b. Если ( или ), то – вертикальная асимптота графика . 4. Исследовать поведение функции в бесконечности; найти горизонтальные и наклонные асимптоты (если есть). a. Если , то – горизонтальная асимптота графика . b. Если и , то прямая является наклонной асимптотой графика . c. Если пределы, указанные в п. a, b, существуют только при одностороннем стремлении к бесконечности ( или ), то полученные асимптоты будут односторонними: левосторонними при и правосторонними при . 5. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции. a. Найти производную . b. Найти критические точки (те точки, где или где не существует). c. На числовой оси отметить область определения и ее критические точки. d. На каждом из полученных числовых интервалов определить знак производной . e. По знакам производной сделать вывод о наличии экстремумов у и их типе. f. Найти экстремальные значения . g. По знакам производной сделать вывод о возрастании и убывании . 6. Найти точки пересечения графика с осями координат и, если это нужно для схематического построения графика, найти дополнительные точки. a. Для того, чтобы найти точки пересечения графика с осью , надо решить уравнение . Точки , где – нули , будут точками пересечения графика с осью . b. Точка пересечения графика с осью имеет вид . Она существует, только если точка входит в область определения функции . 8. Схематично построить график. 26 вопрос Эластичность функции у = f(x) показывает относительное изменение значения функции у в расчете на единицу относительного изменения аргумента х. 28 вопрос Пусть имеется переменных величин и каждому набору их значений из некоторого множества соответствует одно вполне определенное значение переменной величины из множества . тогда говорят, что задана функция нескольких переменных . Переменные называются независимыми переменными или аргументами, - зависимая переменная. Множество называется областью определения функции, множество - областью значений функции. Функцию двух переменных будем обозначать как . Определение. Графиком функции двух переменных называется множество точек трехмерного пространства (), аппликата которых связана с абсциссой и ординатой функциональным соотношением . График представляет собой некоторую поверхность в трехмерном пространстве. Линией уровня функции двух переменных называется геометрическое место точек на плоскости , в которых функция принимает одно и то же значение. Линии уровня функции определяются уравнением , где . Изучая линии уровня функции, можно исследовать характер ее изменения, не прибегая к пространственному графику. Вопрос В математическом анализе, частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных. В явном виде частная производная функции f определяется следующим образом: График функции z = x ² + xy + y ². Частная производная в точке (1, 1, 3) при постоянном y соответствует углу наклона касательной прямой, параллельной плоскости xz Сечения графика, изображенного выше, плоскостью y = 1 Следует обратить внимание, что обозначение следует понимать как цельный символ, в отличие от обычной производной функции одной переменной , которую можно представить, как отношение дифференциалов функции и аргумента. Однако, и частную производную можно представить как отношение дифференциалов, но в этом случае необходимо обязательно указывать, по какой переменной осуществляется приращение функции: , где dxf — частный дифференциал функции f по переменной x. Часто непонимание факта цельности символа является причиной ошибок и недоразумений, как, например, сокращение в выражении . (подробнее см. Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления»). Геометрически, частная производная является производной по направлению одной из координатных осей. Частная производная функции f в точке по координате xk равна производной по направлению , где единица стоит на k -ом месте. 30 вопрос Градиент — характеристика, показывающая направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой. Например, если взять высоту поверхности Земли над уровнем моря (2-мерное пространство), то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «в горку». Как видно из объяснения, градиент является векторной функцией, а величина, которую он характеризует — функцией скалярной. Формально, для случая трёхмерного пространства, градиентом называется векторная функция с компонентами , , , где φ — некоторая скалярная функция координат x, y, z. Вектор с компонентами называется градиентом функции и обозначается символом . 31 вопрос Пусть задана функция f(x, y). Тогда каждая из ее частных производных(если они, конечно, существуют) и , которые называются также частными производными первого порядка, снова являются функцией независимых переменных x, y и может, следовательно также иметь частные производные. Частная производная обозначается через или fxx '', а через или fxy ''. Таким образом, , и, аналогично, , . Производные fxx '', fxy '', fyx '' и fyy '' называются частными производными второго порядка. Рассматривая частные производные от них, получим всевозможные частные производные третьего порядка: , , и т. д. Пусть , и непрерывны в некоторой окрестности точки (x, y), а и непрерывны в самой точке (x, y). Тогда в точке (x, y) равенство: =
32 вопрос Функция называется первообразной функцией для функции на промежутке , если в каждой точке этого промежутка . Пример. является первообразной для , т.к. . Можно заметить, что если для функции существует первообразная , то она не является единственной. Возвращаясь к примеру, видно, что и функции , и вообще ( - некоторое число) являются первообразными для функции . Таким образом можно сформулировать следующую теорему. Теорема. Если и - первообразные для функции на некотором промежутке , то найдется такое число , что будет справедливо равенство: . Из данной теоремы следует, что, если - первообразная для функции , то выражение вида , где - произвольное число, задает все возможные первообразные для . Совокупность всех первообразных функции на промежутке называется неопределенным интегралом от функции и обозначается , где - знак интеграла, - подынтегральная функция, - подынтегральное выражение. Таким образом: , где - некоторая первообразная для , произвольная постоянная. Определение. Операция нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием этой функции. ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала... ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот... ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|