Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







ЭПИЛОГ. ВЕЧНЫЙ КЛАДЕЗЬ МУДРОСТИ





Но учение Пифагора не погибло в кротонском пожаре. Подобранные горсткой оставшихся в живых учеников зерна этого учения не только были сохранены, но и дали обильные всходы. Благодарная память единомышленников сохранила для человечества имя Пифагора — выдающегося математического гения, творца акустики, основоположника теории музыки, «Коперника древней астрономии», основателя религиозного братства — прообраза средневековых монашеских орденов, богослова и реформатора, человека высокой нравственности, личности богатой, противоречивой и загадочной, стоящей на рубеже пробуждающейся науки и пышно цветущей мифологии.

И чем дальше неумолимое время уносит нас от времени Пифагора, тем острее видится поразительная прозорливость эллинского мудреца, объявившего два с половиной тысячелетия назад, что «Все есть число». Если снять с этого тезиса мистическую патину, то нам откроется гениальное пророчество, определившее весь последующий путь развития науки. Тогда древний пифагорейский тезис примет современное звучание: математика есть ключ к познанию всех тайн природы.

Именно так определяет роль Пифагора в истории естествознания современный американский математик и историк науки М. Клайн: «Но то ли по счастливому стечению обстоятельств, то ли благодаря гениальной интуиции пифагорейцам удалось сформулировать два тезиса, общезначимость которых подтвердило все последующее развитие науки: во-первых, что основополагающие принципы, на которых зиждется мироздание, можно выразить на языке математики; во-вторых, что объединяющим началом всех вещей служат числовые отношения, которые выражают гармонию и порядок природы».

Ну а как же быть с пифагорейской числовой мистикой, которая и породила бесконечные насмешки над пифагорейцами, начатые еще Аристотелем? Здесь мы советуем прислушаться к мнению выдающегося современного знатока античности, «самого крупного русского гуманиста и философа настоящего времени» А. Ф. Лосева, который отмечал, что человек XX в. «настолько далек от древнего пифагорейства, что даже не испытывает потребности его критиковать, а должен рассмотреть его со всеми объективно-историческими причинами, делающими его существование понятным». Мистика чисел была у пифагорейцев следствием эмбрионального состояния науки, философии, да и всего мышления того времени, которое только начинало проклевывать скорлупу мифологии. Но за этой по-детски наивной сказочной формой нельзя не видеть гениально угаданного содержания, значение которого все яснее проступает по мере развития научного знания.

Впрочем, о значении пифагорейского учения уместнее будет поговорить во второй части книги, где будет рассмотрено и само это учение. А сейчас обратимся еще раз к личности Пифагора.

Что говорили о Пифагоре его современники? Увы, сохранилось, пожалуй, лишь два таких свидетельства — Ксенофанта и Гераклита (ок. 540 до н. э. —?). С ироничным стихотворением Ксенофанта мы познакомились на с. 98. Но оказывается, Гераклит был еще более недоброжелателен к своему старшему современнику. В уцелевшем фрагменте Гераклита мы читаем: «Пифагор, сын Мнесарха, предавался исследованию больше всех прочих людей и мудрость свою состряпал из многознайства и обмана». И это отзыв о человеке, которому поклонялись толпы учеников и которого потомки считали за полубога?!

Нам кажется, в отзыве Гераклита нашли отражение не только личные качества самого творца диалектики, который среди своих любвеобильных соотечественников слыл высокомерным нелюдимом и который с одобрением писал лишь об одном человеке — своем друге Гермодоре, зато всем остальным, включая и великого Гомера, отпустил щедрую порцию насмешек. В отзывах Ксенофанта и Гераклита заключена истина более глубокая, чем личные амбиции обоих авторов, истина, которая не раз еще подтверждалась историей человечества: нет пророка в отечестве своем.

Нужно было время, чтобы Пифагор был понят не только своими учениками, но и своими соотечественниками. Но как быстро это время пришло! Фактически сам Гераклит, которого отделяло от Пифагора два моря — Ионийское и Эгейское, свидетельствует нам о том, что слава Пифагора еще при жизни перелетала через моря. Однако понят он был чуть позже.

Уже в V в. до н. э. мы находим восторженные отзывы о Пифагоре у людей, которые, возможно, общались с теми, кто видел Пифагора живым. Это и древнегреческий философ, врач и политический деятель Эмпедокл (ок. 490 — ок. 430 до н. э.) писавший о Пифагоре: «Был среди них муж редких знаний, достигший величайшего богатства ума и весьма искусный во всех видах мудрых дел...» Это и отец истории Геродот, живший в 40-х гг. V в. до н. э. совсем рядом с Кротоном, когда изустная память о Пифагоре здесь еще жила, и назвавший Пифагора «великим эллинским мудрецом». Это и отец атома Демокрит, живший совсем в другом регионе, на самом севере Эгейского моря, в Абдерах, и написавший о Пифагоре восторженное сочинение (см. с. 92).

Рис. 34. Абдерская монета с. изображением Пифагора — первый подписанный портрет на греческих монетах. 430 — 420 гг. до н. э.

Как полагает большинство историков, именно благодаря Демокриту в Абдерах в 430 — 420-х гг. до н. э. (т. е. менее чем через 100 лет после смерти Пифагора) произошло невиданное событие: в Абдерах были выпущены монеты с изображением Пифагора и подписью ΠΥΘΑΓΟΡΗΣ (рис. 34). Абдерские монеты — это не только первый в истории чеканный портрет философа вообще (изображения выдающихся философов на монетах появятся значительно позже, и только в родных городах), но это и первое на греческих монетах подписанное изображение человека. И таким человеком оказался не царь, не тиран, не полководец, а мудрец! Что касается Пифагора-математика, то он, видимо, навсегда останется первым и последним математиком в истории человечества, чей профиль удостоился столь высокой чести!

Рис. 35. Самосская монета с изображением Пифагора. II — III вв. Прорисовка. Конечно, это не портрет Пифагора, а обобщенный образ ученого.

Но для ученого важнее не внешние атрибуты славы, а признание и дальнейшая жизнь его идей (рис. 35). И здесь Пифагору также светила счастливая звезда. Идеями Пифагора пронизано творчество Платона — величайшего философа в истории человечества. Античные неоплатоники III — VI вв.: Плотин, Порфирий, Ямвлих, Прокл, первая женщина философ и математик Гипатия, растерзанная толпой фанатиков-христиан, — все они были страстными приверженцами Пифагора. Неоплатонизм, уходящий корнями в древнее пифагорейство, стал мощным философским течением, идущим из античности в современность. Идеи неоплатоников питали Аврелия Августина (354 — 430) и Иоанна Скота Эриугену (810 — 877), Николая Кузанского (1401 —1464) и Джероламо Кардано (1501 — 1576), Томмазо Кампанеллу (1568 — 1639) и Джордано Бруно (1548 — 1600), Фридриха Шеллинга (1775 — 1854) и Георга Гегеля (1770 — 1831), Владимира Соловьева (1853 — 1900) и Сергея Булгакова (1871 — 1944), Павла Флоренского (1882 — 1937?) и Алексея Лосева (1893 — 1988).

Не менее плодотворными оказались идеи Пифагора и для естествознания. Открытие Пифагором закона целочисленных музыкальных отношений, названного немецким физиком и математиком Арнольдом Зоммерфельдом (1868 — 1951) первым законом математической физики, явилось одновременно и открытием эвристического (от архимедовой «Эврики» ευρίσκω — находить) свойства математики. Это могучее свойство математики, позволяющее делать физические открытия «на кончике пера», со времен Пифагора повергает в священный трепет естествоиспытателей. «Чудесная загадка соответствия математического языка законам физики является удивительным даром, который мы не в состоянии понять и которого мы, возможно, недостойны» — так писал об этом свойстве математики, открытом Пифагором, современный американский физик лауреат Нобелевской премии Юджин Вигнер.

Пифагору принадлежит и бессмертная идея о всеобщей гармонии, лежащей в основе мироздания. Заложенная Пифагором вера в красоту и гармонию природы, в мудрую простоту и целесообразность ее законов, построенных на единых математических принципах, окрыляла творчество титанов современного естествознания от Иоганна Кеплера (1571 — 1630) до Альберта Эйнштейна (1879 — 1955). Это и есть путеводная звезда современного естествознания, тот вечный кладезь мудрости, который открыл человечеству Пифагор.


ПИФАГОРЕИЗМ

У ИСТОКОВ НАУЧНОГО ЗНАНИЯ

 


За исключением слепых сил природы, все, что движется в этом мире, имеет свое начало в Греции.

Г. Мэн

Греки совершили открытие, величайшее из когда-либо совершенных человеком: они открыли могущество разума.

М. Клайн

Пифагорейская система знаний (Μάθημα) состояла из четырех разделов: арифметики (учении о числах), геометрии (учении о фигурах и их измерении), музыки (учении о гармонии или теории музыки) и астрономии (учении о строении Вселенной). С тех пор все четыре ветви пифагорейского учения стали объединяться одним словом — μάθημα (учение, знание) или μαθηματικά. Известно, что на рубеже (V — IV вв. до н. э. софист[36] Гиппий из Элиды обучал в своей школе именно этим наукам. Об этих же четырех науках как о родственных говорил и Архит Тарентский — последний и наиболее выдающийся представитель школы Пифагора.

Но поистине удивительно, что система образования, заложенная Пифагором, просуществовала не просто века, а тысячелетия! И через 1000 лет, когда пал Рим, а вместе с ним и античная культура, эта система оставалась незыблемой. В VI в. писатель и государственный деятель возникшего на руинах Римской империи остготского государства Кассиодор (487 — 578) отмечал: «Высшая наука — математика — подразделяется на следующие искусства: арифметику, музыку, геометрию и астрономию. Арифметика — учение о количестве, выражаемом числом, музыка же — учение, которое рассматривает числа по отношению к явлениям, наблюдаемым в звуке».

И через 2000 лет, в эпоху средневековья, квадривиум (буквально пересечение четырех дорог) являлся повышенным курсом светского образования и объединял все те же четыре предмета: арифметику, геометрию, музыку и астрономию. Средневековые монахи лишь предпослали квадривиуму тривиум — начальный курс образования, состоявший из трех гуманитарных дисциплин: грамматики, риторики и диалектики. Тривиум вместе с квадривиумом соединялся в знаменитые «семь свободных искусств» — систему средневекового образования. По мнению средневековых схоластов, это был свод элементарных знаний, необходимый монахам для понимания·Библии. Лишь в эпоху Возрождения на смену «семи свободным искусствам» пришла классическая система образования, отчасти сохранившаяся и поныне.

Итак, в строении второй части книги, посвященной пифагорейской μάθημα, мы стремились сохранить и ту классификацию составляющих ее элементов, которая восходит к самому Пифагору. Но если арифметика и геометрия и поныне являются частью математики, а в астрономии математика нашла одно из своих триумфальных приложений (вспомним хотя бы открытие «на кончике пера» планеты Нептун), то включение музыки в число «математических» наук сегодня выглядит весьма странным. А между тем именно благодаря счастливому союзу в пифагорейской μάθημα музыка получила прочный математический фундамент гамм и универсальный язык нот, подобный универсальному языку математических формул, которые и обеспечили на тысячелетия, если не навечно, последующее свободное развитие искусства музыки. Впрочем, не будем забегать вперед. Итак...

АРИФМЕТИКА

УЧЕНИЕ О ЧИСЛЕ

Числа древними греками, а вместе с ними Пифагором и пифагорейцами мыслились зримо, в виде камешков[37], разложенных на песке или на счетной доске — абаке. По этой причине греки не знали нуля, так как его невозможно было «увидеть». Но и единица еще не была полноправным числом, а представлялась как некий «числовой атом», из которого образовывались все числа. Пифагорейцы называли единицу «границей между числом и частями», т. е. между целыми числами и дробями, но в то же время видели в ней «семя и вечный корень». Число же определялось как множество, составленное из единиц. Особое положение единицы как «числового атома» роднило ее с точкой, считавшейся «геометрическим атомом». Вот почему Аристотель писал: «Точка есть единица, имеющая положение, единица есть точка без положения». Итак, пифагорейские числа в современной терминологии — это натуральные числа.

Числа-камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фигуры классифицировались. Так возникли числа, сегодня именуемые фигурными:

линейные числа (т. е. простые числа) — числа, которые делятся только на единицу и на самих себя и, следовательно, представимы в виде последовательности точек, выстроенных в линию:

(линейное число 5);

плоские числа — числа, представимые в виде произведения двух сомножителей:

(плоское число 6);

телесные числа, выражаемые произведением трех сомножителей:

(телесное число 8);

треугольные числа:

(треугольные числа 3, 6, 10);

квадратные числа:

(квадратные числа 4, 9, 16);

пятиугольные числа:

(пятиугольные числа 5, 12, 22)

и т.д. Именно от фигурных чисел пошло выражение: «Возвести число в квадрат или куб».

Представление чисел в виде правильных геометрических фигур помогало пифагорейцам находить различные числовые закономерности. Например, чтобы получить общее выражение для n -го треугольного числа, которое есть не что иное, как сумма n натуральных чисел , достаточно дополнить это число до прямоугольного числа и увидеть (именно увидеть глазами!) равенство

Написав последовательность квадратных чисел, опять-таки легко увидеть глазами выражение для суммы n нечетных чисел:

Наконец, разбивая n -е пятиугольное число на три треугольных (после чего остается еще n «камешков»), легко найти его общее выражение:

Разбиением на треугольные числа получается и общая формула для n -го k -угольного числа:

откуда при следуют формулы (1.1.1 — 1.1.3).

Конечно, сегодняшний школьник легко заметит, что суммы (1.1.1 — 1.1.3) есть не что иное, как арифметические прогрессии, разность которых d соответственно равна 1, 2, 3 (для k -угольного числа ), и по соответствующей формуле найдет эти суммы и общую формулу (1.1.4):

Но в том-то и прелесть пифагорейских доказательств, что они не требуют никаких предварительных знаний и в буквальном смысле очевидны. (Не отсюда ли пошло это столь любимое математиками слово?)

Заметим, что при выводе равенства (1.1.2) был использован излюбленный пифагорейцами метод гномона. Гномоном (Γνωμων — знаток, толкователь) пифагорейцы называли число или фигуру (черные точки в (1.1.2)), которая, будучи приложенной к основной фигуре (белые точки), сохраняет ее форму. Первоначально гномоном (буквально тот, кто знает) греки называли солнечные часы — прибор, позволявший по линиям, которые пересекает тень от вертикального столбика, разделять беспредельность времени на зримые части. Впоследствии число и стало для пифагорейцев таким гносеологическим гномоном, дававшим возможность различать вещи и тем самым овладевать ими в сознании. Методом гномона растут все живые организмы, что позволяет им сохранять свою индивидуальную форму.

Фигурное представление чисел помогало пифагорейцам открывать законы арифметических операций, а также легко переходить к числовой характеристике геометрических объектов — измерению площадей и объемов. Так, представляя плоское число 10 в двух формах:

легко «увидеть» переместительный закон умножения:

В том же числе 10:

можно «разглядеть» и распределительный закон сложения относительно умножения:

и т. д.

Наконец, если «камешки», образующие фигурные числа, мыслить в виде равных по площади квадратиков, то, укладывая их в прямоугольное число ab:

мы автоматически получаем формулу для вычисления площади прямоугольника: .

Важнейшей частью пифагорейской арифметики было учение о четных и нечетных числах. Не случайно Платон в своих диалогах неоднократно определял арифметику как «учение о четном и нечетном». Четное и нечетное были для пифагорейцев не только основными понятиями теории чисел, но и важнейшими философскими категориями. Пара четное — нечетное наряду с такими парами, как предел — беспредельное, мужское — женское, доброе — злое, включалась в 10 пар противоположностей, которые пифагорейцы считали началами всего сущего.

Исследователи Евклида давно обратили внимание на конец IX книги его «Начал» (предложения 21 — 34), который явно выпадал из общего контекста книги и выделялся своей архаичностью. Сегодня ни у кого не вызывает сомнения, что эта часть «Начал» есть не что иное, как целиком воспроизведенный фрагмент древнего пифагорейского учения о четном и нечетном.

Мы не будем приводить здесь все 14 предложений о четном и нечетном, а отметим лишь их основной результат, который можно сформулировать так: произведение двух чисел четно тогда и только тогда, когда по крайней мере один из сомножителей четен. Этой теореме суждено было сыграть кардинальную роль во всем пифагорейском учении, ибо именно на нее опиралось доказательство знаменитой теоремы о несоизмеримости, которую мы рассмотрим на с. 141.

Вершиной пифагорейского учения о четном и нечетном является последнее предложение IX книги «Начал» Евклида — предложение 36, посвященное совершенным числам. Совершенным называется натуральное число, равное сумме всех своих правильных (т. е. меньших этого числа) делителей. Например:

6 = 1 + 2 + 3;

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14;

496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248.

Предложение 36 утверждает, что если сумма

является простым числом, то число будет совершенным.

Поскольку ясно, что правильными делителями числа будут числа

то доказательство предложения 36 сводится к доказательству двух утверждений:

1) других делителей, кроме (1.1.5), у числа нет;

2) сумма делителей равна самому числу, т. е.

Первое утверждение доказывается с помощью учения о четном и нечетном (предложения 21 — 34). А вот второе доказательство легко провести на «камешках».

В самом деле, так как по условию , то, сокращая в (1.1.6) обе части равенства на p, имеем

Теперь изобразим данную сумму фигурными числами:

откуда легко «усмотреть» равенство (1.1.7).

Учитывая (1.1.7), получим компактную форму записи совершенного числа :

Итак, число

является совершенным при тех значениях n, при которых число является простым.

Легко найти первые подходящие значения n:

Первые четыре совершенных числа были известны пифагорейцам.

А есть ли другие совершенные числа, кроме чисел вида (1.1.8), найденных пифагорейцами? Этот вопрос вот уже 2500 лет, увы, остается открытым. Ясно, что совершенные числа вида (1.1.8) являются четными. Лишь в XVIII в. великий Эйлер доказал, что никаких других четных совершенных чисел нет. Однако до сих пор не известно ни одного нечетного совершенного числа и вопрос об их существовании все еще ждет своего решения. На сегодня лишь известно, что нечетных совершенных чисел в промежутке нет. Четных совершенных чисел на сегодня найдено 27, наибольшее из них равно .

Не правда ли, удивительно, как в, казалось бы, невинной забаве с раскладыванием камешков на песке древние пифагорейцы сумели отыскать математическую проблему, которая и по сей день остается нерешенной?! И просто поражает интуиция пифагорейцев, нашедших задолго до нашей эры единственную (пока или навсегда?!) формулу для совершенного числа!

ПИФАГОРОВЫ ТРОЙКИ

Изучение свойств натуральных чисел привело пифагорейцев к еще одной «вечной» проблеме теоретической арифметики (теории чисел) — проблеме, ростки которой пробивались задолго до Пифагора в Древнем Египте и Древнем Вавилоне, а общее решение не найдено и поныне. Начнем с задачи, которую в современных терминах можно сформулировать так: решить в натуральных числах неопределенное уравнение

Сегодня эта задача именуется задачей Пифагора, а ее решения — тройки натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению (1.2.1), — называются пифагоровыми тройками. В силу очевидной связи теоремы Пифагора с задачей Пифагора последней можно дать геометрическую формулировку: найти все прямоугольные треугольники с целочисленными катетами x, y и целочисленной гипотенузой z.

Рис. 36.

Частные решения задачи Пифагора были известны в глубокой древности. В папирусе времен фараона Аменемхета I (ок. 2000 до н. э.), хранящемся в Египетском музее в Берлине, мы находим прямоугольный треугольник с отношением сторон (). По мнению крупнейшего немецкого историка математики М. Кантора (1829 — 1920), в Древнем Египте существовала особая профессия гарпедонаптов — «натягивателей веревок», которые во время торжественной церемонии закладки храмов и пирамид размечали прямые углы с помощью веревки, имеющей 12 (= 3 + 4 + 5) равноотстоящих узлов. Способ построения прямого угла гарпедонаптами очевиден из рисунка 36.

Надо сказать, что с Кантором категорически не согласен другой знаток древней математики — ван дер Варден, хотя сами пропорции древнеегипетской архитектуры свидетельствуют в пользу Кантора. Как бы то ни было, сегодня прямоугольный треугольник с отношением сторон называется египетским.

Как отмечалось на с. 76, сохранилась глиняная табличка, относящаяся к древневавилонской эпохе и содержащая 15 строк пифагоровых троек. Помимо тривиальной тройки, получаемой из египетской (3, 4, 5) умножением на 15 (45, 60, 75), здесь есть и весьма сложные пифагоровы тройки, такие, как (3367, 3456, 4825) и даже (12709, 13500, 18541)! Нет никаких сомнений, что эти числа были найдены не простым перебором, а по неким единым правилам.

И тем не менее вопрос об общем решении уравнения (1.2.1) в натуральных числах был поставлен и решен только пифагорейцами. Общая постановка какой бы то ни было математической задачи была чужда как древним египтянам, так и древним вавилонянам. Только с Пифагора начинается становление математики как дедуктивной науки, и одним из первых шагов на этом пути было решение задачи о пифагоровых тройках. Первые решения уравнения (1.2.1) античная традиция связывает с именами Пифагора и Платона. Попробуем реконструировать эти решения.

Рис. 37.

Ясно, что уравнение (1.2.1) Пифагор мыслил не в аналитической форме, а в виде квадратного числа , внутри которого нужно было отыскать квадратные числа и . Число естественно было представить в виде квадрата со стороной y на единицу меньше стороны z исходного квадрата, т. е. . Тогда, как легко видеть из рисунка 37 (именно видеть!), для оставшегося квадратного числа должно выполняться равенство . Таким образом, мы приходим к системе линейных уравнений

Складывая и вычитая эти уравнения, находим решение уравнения (1.2.1):

Легко убедиться в том, что полученное решение дает натуральные числа только при нечетных . Таким образом, окончательно имеем

и т. д. Это решение традиция связывает с именем Пифагора.

Заметим, что система (1.2.2) может быть получена и формально из уравнения (1.2.1). В самом деле,

откуда, полагая , приходим к (1.2.2).

Ясно, что решение Пифагора найдено при достаточно жестком ограничении () и содержит далеко не все пифагоровы тройки. Следующим шагом можно положить , тогда , так как только в этом случае будет квадратным числом. Так возникает система

решение которой имеет вид

и т. д. Автором этого решения часто называют Платона.

Легко видеть, что тройки Платона (1.2.4) при нечетных n и после сокращения на 2 дают тройки Пифагора (1.2.3), т. е. решение Платона является более общим. И хотя решение Платона не исчерпывает всего множества решений уравнения (1.2.1), путь получения общего решения теперь просматривается. Найдем это решение.

Прежде всего заметим, что искать следует только примитивные пифагоровы тройки , для которых (символ НОД, как обычно, обозначает наибольший общий делитель), ибо ясно, что если — пифагорова тройка, то для любого натурального также будет пифагоровой тройкой. Теперь может быть доказана основная

Теорема. Если p и q взаимно простые числа разной четности , то все примитивные пифагоровы тройки находятся по формулам

Доказательство

1. Для пифагоровых троек условие влечет

В самом деле, если, например, , то делится на в силу того, что , т. е. z делится на k, или , что противоречит условию.

2. Для любой примитивной пифагоровой тройки числа x, y разной четности. Действительно, x и y не могут быть оба четными в силу (*). Если x и y оба нечетные, т. е. , то , т. е. делится на 2, но не на 4. Итак, четно, тогда z тоже четно (см. с. 121), т. е. , значит, делится на 4. Получили противоречие.

3. Положим для определенности . Тогда т. е. нечетно и, следовательно, z нечетно, т. е. . Тогда и , следовательно, .

4. Покажем, что α и β взаимно простые числа разной четности.

а) Пусть , т. е. . Тогда

что противоречит (*).

б) Пусть . Тогда

что противоречит (*).

в) Аналогично доказывается, что α и β одновременно не могут быть нечетными.

5. Итак, , тогда , причем и взаимно простые числа разной четности. Но тогда p и q также являются взаимно простыми числами разной четности, причем

Отсюда легко находим: .

Теорема доказана. Ясно, что при (1.2.5) переходит в (1.2.4). Решение (1.2.5) при любых натуральных дает всевозможные пифагоровы тройки без учета их примитивности. Оно было хорошо известно в античную эпоху и указано в таких великих книгах древности, как «Начала» Евклида (III в. до н. э.) и «Арифметика» Диофанта (III в. н. э.). На этом можно было бы поставить точку, но...

Около 1630 г. скромный юрист из французского города Тулузы Пьер Ферма (1601 — 1665), проводивший свободное от работы время в математических упражнениях, на полях «Арифметики» Диофанта против того места, где Диофант решает задачу Пифагора, сделал запись: «Наоборот, невозможно разложить куб на два куба или биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень выше второй нельзя разложить на сумму двух степеней с теми же показателями. Я открыл этому поистине чудесное доказательство, но эти поля для него слишком узки».

Так, на полях Диофантовой «Арифметики» Ферма сформулировал утверждение, вошедшее в историю математики как великая теорема Ферма: для любого натурального уравнение

не имеет решений в целых положительных числах x, y, z.

Однако общее доказательство теоремы, обещанное Ферма, бесследно исчезло: вместо него в бумагах Ферма было найдено лишь частное доказательство для случая . Не нашли это доказательство и поныне лучшие математические умы мира.

Прошло более 350 лет, в течение которых предпринимались героические усилия для доказательства коварной теоремы. В 1770 г. Л. Эйлер доказал теорему для , в 1825 г. П. Дирихле и А. Лежандр — для в 1839 г. Г. Ламе — для . Затем Э. Куммер наметил общий подход к проблеме и доказал теорему для всех простых чисел n из промежутка [3; 100]. Страсти вокруг теоремы Ферма накалялись. В 1907 г. за ее доказательство была объявлена международная премия в 100 000 немецких марок. Теорема Ферма стала каким-то математическим наваждением.

К настоящему времени с помощью ЭВМ установлено, что . Последняя сенсация облетела математический мир в 1993 г.: английский математик Эндрю Уайлс из Пристонского университета в докладе, сделанном в Институте математических наук имени Исаака Ньютона Кембриджского университета перед 75 виднейшими математиками мира, представил доказательство теоремы Ферма. Время покажет: будет ли в нем обнаружена ошибка, как и в великом множестве предыдущих доказательств, или нет.

Тем не менее, все эти поиски и прежде всего идеи российского математика А. Паршина нельзя назвать бесполезными. Они породили массу новых плодотворных направлений в математике и, таким образом, необычайно обогатили саму математику.

Так, начатое Пифагором во времена, когда человечество знало лишь натуральные числа, исследование «безобидного» уравнения

привело к сложнейшей проблеме современной теории чисел — исследованию в целых числах уравнения

— великой и неприступной на протяжении четырех столетий теореме Ферма.

ТАБЛИЦА ПИФАГОРА

Кроме теоретической арифметики, ставшей фундаментом современной теории чисел и оставившей ей ряд нерешенных проблем, была у пифагорейцев и другая ветвь арифметики, более близкая современному значению слова, — учение о правилах действия над числами. Этот раздел арифметики назывался у пифагорейцев логистикой (Λογιστικμ — счетное искусство). В состав логистики входили арифметические действия с натуральными числами вплоть до извлечения квадратных и кубических корней, действия с дробями, техника вычислений на счетной доске. Хотя задачи вычислительной арифметики отвечали насущным потребностям жизни — торговле, строительству, расчету метательных орудий, логистика (искусство вычислять) по сравнению с арифметикой (наукой о числах) считалась пифагорейцами наукой второго сорта и развивалась весьма слабо.

Как и в теоретической арифметике, числа-камешки играли в логистике значительную роль. Они успешно использовались в первой в истории человечества «вычислительной машине» — абаке. Абак выглядел просто: это была разлинованная плита, в каждой колонке которой камешки имели разные значения: единицы, десятки, сотни и т.д. Сегодня так до конца и не выяснено, откуда произошло слово «абак»: его греческое толкование неговорящий (’Α-βακής — бессловесный), возможно, указывает на молчаливый характер процесса счета, а семитическое — означает дощечка, покрытая слоем пыли. Трудно сказать, где появился первый абак — в Древнем Египте, Древней Греции или Древнем Китае. Ясно лишь, что китайская модель абака — суаньпань







Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2024 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.