Решение задачи Коши для различных типов уравнений первого порядка

Пример 1.13. [4] Решить задачу Коши:

, (1.73)

. (1.74)

Решение. Сначала получим общий интеграл уравнения (1.73). Это – однородное уравнение (его можно рассматривать и как уравнение Бернулли, где ). Введем функцию . Тогда , и уравнение (1.73) примет вид

(1.75)

или

. (1.76)

Интегрируя (1.76), получим

.

Общий интеграл уравнения (1.73) имеет вид

. (1.77)

Теперь подставим в(1.77) значения и из начального условия (1.74). Получим для определения уравнение

,

откуда . Тогда искомый частный интеграл уравнения (1.73) имеет вид

.

Учитывая (1.74), можем утверждать, что решение задачи Коши (1.73), (1.74) имеет вид

.

Пример 1.14. Решить задачу Коши:

, (1.78)

. (1.79)

Решение. У равнение (1.78) является уравнением Бернулли (). Найдем его общее решение. Положим . Уравнение (1.78) приобретает вид

. (1.80)

Требуем, чтобы функция удовлетворяла уравнению

.

При решении примера 1.5 показано, что этому уравнению удовлетворяет решение . Тогда из (1.80) получаем уравнение для нахождения :

или

. (1.81)

Интегрируя (1.81), получаем

.

Тогда, поскольку , общий интеграл уравнения (1.78) имеет вид

. (1.82)

Подставим начальные значения и из (1.79) в общий интеграл (1.82). Получим

.

Тогда решение задачи (1.78), (1.79) имеет вид

.

Пример 1.15. Решить задачу Коши:

, (1.83)

. (1.84)

Решение. Преждевсего, определим тип уравнения (1.83). Для этого представим его в виде

или

. (1.85)

Уравнение (1.85) является линейным относительно функции . Ищем его общее решение в виде . Тогда из (1.85) следует

. (1.86)

Потребуем, чтобы функция удовлетворяла уравнению

или

.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Найдем его частное решение:

,

,

. (1.87)

Подставим (1.87) в (1.86) и получим уравнение для определения :

или

.

Его общее решение имеет вид

.

Тогда общее решение уравнения (1.85) запишется следующим образом:

. (1.88)

Подставим в (1.88) начальные значения и из (1.84). Получим

,

откуда . Таким образом, частный интеграл для задачи Коши (1.83), (1.84) имеет вид

.

Дифференциальные уравнения второго порядка

Общий вид дифференциального уравнения второго порядка таков

. (2.1)

Здесь .

Решением уравнения (2.1) на промежутке называется дважды дифференцируемая функция , которая при подстановке в уравнение (2.1) обращает его в тождество относительно аргумента на промежутке .

Во многих случаях уравнение (2.1) может быть разрешено относительно старшей производной. Тогда оно принимает вид

. (2.2)

Именно такие уравнения мы и будем рассматривать.

Рассмотрим пример уравнения второго порядка:

. (2.3)

Здесь легко “угадать” решения: . Нетрудно также догадаться, что любая функция вида

,

где – любые числа, также будет решением данного уравнения.

Ещё один пример:

. (2.4)

Любая функция вида , где – числа, является решением этого уравнения. Действительно,

Итак, уравнение второго порядка, так же как и уравнение первого порядка, имеет множество решений. В отличие от уравнений первого порядка, множество решений здесь определяется не одним параметром , а двумя параметрами .

Чтобы конкретизировать какую-то функцию из этого множества решений, для уравнения (2.2) задают начальные условия:

(2.5)

(или ). Функция должна быть определена при .

Для уравнения второго порядка (так же как и для уравнения первого порядка) введем понятия общего и частного решений.

Общим решением уравнения (2.2) называется семейство функций , зависящих от независимой переменной и двух произвольных постоянных , обладающее свойствами:

1) для любых значений функция является решением (2.2);

2) для любых трёх чисел , таких, что значение определено, существуют такие значения , что удовлетворяет начальным условиям (2.5).

Частным решением уравнения (2.2) называется решение, полученное из общего решения при конкретных значениях .

Задача Коши для уравнения (2.2) состоит в нахождении его частного решения, удовлетворяющего начальным условиям (2.5).

2.1. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Приведем некоторые типы уравнений второго порядка, которые могут быть сведены к уравнениям первого порядка.

Простейшее уравнение

Его общий вид таков

. (2.6)

Общее решение этого уравнения получается последовательным интегрированием. Запишем (2.6) в виде уравнения первого порядка относительно :

(2.7)

и получим общее решение этого простейшего уравнения:

. (2.8)

Равенство (2.8) снова является простейшим уравнением первого порядка. Его общее решение имеет вид

или

. (2.9)

Приведенное ранее в качестве примера уравнение (2.4) является простейшим уравнением.

Пример 2.1. Дано уравнение

. (2.10)

а. Найти его общее решение.

б. Решить задачу Коши для уравнения (2.10) с начальными условиями:

. (2.11)

Решение.

а. Последовательно интегрируем (2.10):

или

; (2.12)

или

. (2.13)

б. Подставим значения из начальных условий (2.11) последовательно в (2.12) и (2.13). Из (2.12) получим

,

откуда . Из (2.13) получим

,

откуда .

Итак, решение задачи Коши (2.10), (2.11) имеет вид

.

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: