|
Аффинная и прямоугольная декартова системы координатРассмотрим трехмерное пространство. Определение 8.1. Под аффинной системой координат в трехмерном пространстве будем понимать геометрический образ, состоящий из фиксированной точки О и аффинного базиса . Аффинную систему координат будем обозначать . Точка О называется началом координат, а векторы — координатными векторами. Аналогично под прямоугольной декартовой системой координат будем понимать геометрический образ, состоящий из фиксированной точки О — начала координат и прямоугольного декартового базиса . Направленные прямые, проходящие через начало координат и параллельные координатным векторам, называются координатными осями. Оси, параллельные векторам (или векторам ), называются соответственно осями абсцисс, ординат и аппликат и обозначаются Ox, Oy, Oz. Плоскости, определяемые осями Ох и Оy, Ox и Oz, Oy и Oz, называются координатными плоскостями и обозначаются соответственно через Oxy, Oxz, Oyz. Систему кординат (или ) обозначают также Oxyz. В дальнейшем все рассуждения будем вести в прямоугольной декартовой системе координат. Пусть — прямоугольная декартова система координат. Рассмотрим произвольную точку А трехмерного пространства. Определение 8.2. Направленный отрезок называется радиус-вектором точки А. Заметим, что между точками пространства и их радиус-векторами существует взаимно однозначное соответствие. Определение 8.3. Координатами (прямоугольными декартовыми координатами) точки А трехмерного пространства называется тройка чисел (x, y, z), где x, y, z — координаты радиус-вектора в ортонормированном базисе , т.е. . (8.1) Аналогично названию координатных осей первую координату называют абсциссой, вторую — ординатой и третью — аппликатой точки. Для построения точки А в прямоугольной декартовой системе координат воспользуемся формулой (8.1). Отложим от точки O векторы , , . Построим прямоугольный параллелепипед так, что его три измерения равны , тогда вектор совпадает с диагональю параллелепипеда. В справедливости вышесказанного несложно убедиться, поочередно складывая векторы , а затем векторы по правилу параллелограмма. Конец вектора и есть искомая точка (см. рис. 9).
Рис. 9 Рассмотрим некоторые задачи, которые пригодятся нам в дальнейшем. Задача 1 (о нахождении координат вектора по координатам его начала и конца). Рассмотрим две точки А и В, причем , . Найдем координаты вектора (см. рис. 10).
Рис.10 Решение. Из рисунка 10 видно, что . С учетом (8.1), имеем: , . Используя следствие 7.1, получим: . (8.2) Таким образом, для того чтобы найти координаты вектора с известными координатами его начала и конца, нужно от координат конца вычесть координаты начала. Задача 2 (о делении отрезка в данном соотношении). Рассмотрим отрезок , причем и . Пусть данный отрезок точкой M делится в соотношении . Найдем координаты точки М.
Рис. 11
Решение. Из рисунка 11 видно, что справедливо векторное равенство . Предположим, что точка M имеет координаты . Находя по формуле (8.2) координаты векторов и учитывая теорему 7.1, получим равенства:
Выражая из первого равенства x, из второго — y, а из третьего — z, находим координаты точки М: (8.3) В случае, если , т. е. , получаем формулу координат середины отрезка (8. ) Замечание. На плоскости (в двумерном пространстве) можно так же задать прямоугольную систему координат Oxy. С помощью введенной системы координат любую точку или ее радиус-вектор можно представить парой чисел (x, y). Все соотношения, полученные нами ранее для координат векторов и точек трехмерного пространства, будут справедливы и на плоскости с той лишь разницей, что из них нужно всюду убрать третью координату z. Аналогичные рассуждения можно повторить и для произвольной прямой (одномерного пространства).
Проекция вектора на ось
Определение 9.1. Осью называется прямая с лежащим на ней единичным вектором (ортом), задающим положительное направление на прямой. На рисунке ось будем изображать в виде направленной прямой. Пусть в пространстве задана ось l и точка А, не принадлежащая оси. Определение 9.2. Основание перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую l, точка , называется проекцией (ортогональной проекцией) точки на ось. В случае, если точка А принадлежит оси l, то проекция точки на ось совпадает с самой точкой А. Пусть задан некоторый вектор . Находя проекции начала и конца вектора на ось l, получимвектор , где — соответственно проекции точек А, В на ось l. Определение 9.3. Проекцией вектора на ось l будем называть положительное число, равное , если вектор и ось l направлены одинаково (см. рис. 12) и отрицательное число , если вектор и ось l направлены противоположно (см. рис. 13).
Рис. 12 Рис. 13
Проекцию вектора на ось l будем обозначать . Таким образом, согласно определению или . Замечание. Если или , то . Теорема 9.1. Проекция вектора на ось l равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью l, где под углом понимается наименьший из двух углов, образуемых вектором и осью. Таким образом, . (9.1) Доказательство. В зависимости от величины угла возможны следующие случаи (см. рис. 14): 1. Если , то . 2. Если , то . 3. Если , то . ▲
Рис. 14
Следствие 9.1. Проекция вектора на ось есть число положительное, если угол между вектором и осью острый, и отрицательное, если угол тупой. Если угол прямой, то проекция вектора на ось равна нулю. Следствие 9.2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой. Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот... ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования... Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|