|
Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к нимСтр 1 из 3Следующая ⇒ Предисловие
Данное учебно-методическое пособие предназначено в первую очередь, для студентов экономико-управленческих специальностей; может быть полезным для всех категорий студентов, изучающих в том или ином объёме высшую математику. Пособие является дополнением к конспектам лекций по высшей математике часть I, а также руководством для подготовки и проведения практических занятий. Пособие разбито на учебные элементы — занятия, каждое занятие содержит справочный материал (основные определения, формулы, признаки и т.п.), необходимый для решения задач. Каждый учебный элемент содержит три блока задач (аудиторные, домашние и дополнительные), при составлении которых особое внимание уделено стандартным задачам, которых так не хватает для успешного хода учебного процесса. Приводятся методические рекомендации по решению определённого круга задач, в частности, алгоритмы их решения. Такая форма изложения позволяет сначала познакомиться с приёмами решения типовых задач и оформлением записи их решения, а затем приступить к выработке навыков в их самостоятельном решении. Тем не менее, в пособии довольно много сложных заданий и устных вопросов. Приводится два варианта типовой контрольной работы, а также решение индивидуального домашнего задания. Среди устных заданий немало качественных вопросов, обычно предлагаемых на экзаменах по высшей математике, эта часть данного издания будет полезна студентам для подготовки к экзаменам.
Список обозначений: ▲ ▼ — важные определения; [ — «обратите особое внимание!» ► ◄ — начало и конец решения. Занятие 1 Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним Цели Знать: v Основные определения, связанные с понятием дифференциальные уравнения. Уметь: v Определять, что функция удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению; v находить решения дифференциального уравнения с разделяющимися переменными; v решать задачу Коши.
▼ Дифференциальным уравнением называется уравнение относительно неизвестной функции и ее производных различных порядков, т.е. .▲ ▼ Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.▲ ▼Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае можно записать в виде .▲ (1) Если уравнение (1) можно разрешить относительно у ', то его записывают в виде . (2) и называют дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной. Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, можно записать в дифференциальной форме: P (x; y)× dx + Q (x;y)× dy =0, (3) где Р (х; у) и Q (x; y) — известные функции. ▼Условие, что при х = x 0 функция у (x) должна быть равна заданному числу y o, т.е. у = у 0, называется начальным условием (условие Коши). Начальное условие записывается в виде или .▲ (4) ▼Дифференциальное уравнение вида или Р (х) dx + Q (y) dy =0, (5) где Р (х) и Q (y) — непрерывные функции, называется уравнением с разделяющимися переменными (с разделенными переменными).▲ ▼ Уравнения с разделяющимися переменными в общем случае имеет вид .▲ (6) Общий интеграл этого уравнения имеет вид . Уравнение , где а, b, с — числа, путем замены ах + by + с = u сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными. Дифференцируя по х, получаем: . Данное уравнение принимает вид , откуда следует . Интегрируя это уравнение и заменяя u на ах + by + с, получим общий интеграл исходного уравнения.
Постановка задачи 1: Доказать, что функция у = у (х) удовлетворяет дифференциальному уравнению . План решения: 1. Вычислить производную ; 2. Подставить у (х) и в уравнение ; 3. Убедиться в том, что получается тождество, т.е. для всех допустимых х.
№ 1. Проверить, что функция у = х + С есть общее решение дифференциального уравнения , и найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию . Дать геометрическое истолкование. ►Функция у = х + С удовлетворяет данному уравнению при любых значениях произвольной постоянной С. В самом деле, . Зададим произвольное начальное условие . Полагая х = х 0 и у = у 0 в равенстве у = х + С, найдём, что С = у 0- х 0. Подставив это значение С в данную функцию, будем иметь у = х + у 0- х 0. Эта функция удовлетворяет заданному начальному условию. В самом деле, положив х = х 0 получим у = х 0+ у 0- х 0= у 0. Таким образом функция у = х + С является общим решением данного дифференциального уравнения. В частности, полагая х 0=0 и у 0=0, получим частное решение у = х. Общее решение данного дифференциального уравнения, т.е. функция у = х + С определяет в плоскости семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом k =1 (см. рис. 1).
Рис.1 Через каждую точку М 0(х 0; у 0) плоскости проходит единственная интегральная линия у = х + у 0- х 0. Частное решение у = х определяет одну из интегральных кривых, а именно прямую проходящую через начало координат.◄ №2. Проверить, является ли функция общим решением или общим интегралом уравнения . ►Необходимо проверить два условия: 1) удовлетворяет ли функция дифференциальному уравнению при любом С; 2) для всякого ли начального условия у = у 0 при х = х 0 найдётся С = С 0. В результате дифференцирования функции заданной неявно получим . Отсюда . Подставив это значение в исходное уравнение, получим тождество. Итак, первое условие выполняется, указанная функция является решением уравнения. Проверим второе условие. Зададим начальные условия . Запишем данную функцию в виде . Так как , то и , но это верно лишь при условии . Если взять точку (х 0; у 0) вне окружности с центром в начале координат и радиусом R =2, то получим , что невозможно ни при каких действительных значениях С. Следовательно, выражение не является общим интегралом данного уравнения.◄
Постановка задачи 2: Решить уравнение вида . План решения: 1. Убедиться, что уравнение с разделяющимися переменными, для этого исходное уравнение привести к виду или или — уравнения с разделяющимися переменными в общем виде; или в дифференциальной форме: ; 2. Обе части уравнения умножаем на dx (вообще говоря, нужно сделать так (используя различные алгебраические приемы), чтобы дифференциалы и стояли в числителях, а не в знаменателях); ; 3. В области, где и разделяем переменные, т.е. представляем уравнение в виде ; (другими словами делаем так, чтобы каждая из функций «стояла у своего дифференциала», то есть где - там , где - ); Замечание. Если одно или оба уравнения и имеют решения х 1, х 2, …, и у 1, у 2, …, то равенства х = х 1, х = х 2, … и у = у 1, у = у 2, … нужно присоединить к ответу, так как они являются особыми решениями исходного уравнения. 4. Вычислим интегралы в уравнении . Константа С при этом есть произвольная постоянная интегрирования, которую достаточно прибавить к первообразной в любой части равенства; 5. Полученное выражение преобразуем к виду при всевозможных значениях С.
№3. Решить уравнение . ►1)Данное уравнение — уравнение с разделяющимися переменными, так как оно имеет вид . В данном случае , , , . 2) Обе части уравнения умножать на dx не надо, так как уравнение уже имеет нужный вид, а именно: , теперь разделим «на стоящую не у своего дифференциала функцию» :
. То есть получили вид , где и . 3)В области, где разделяем переменные, т.е. представляем уравнение в виде . В нашем случае надо разделить обе части уравнения на y: , . В результате этих действий переменные разделились. Слева при присутствует только y (нет «иксов»), а справа при присутствуют только «иксы» (нет «игреков»). 4)Интегрируем обе части уравнения: . Получаем: . Отметим, что постоянную интегрирования в выражение для общего решения можно вводить в произвольном виде так, как это удобно в конкретной ситуации, например, -С, , , , . Поэтому можем написать . Упрощаем: , , . Получили общее решение исходного дифференциального уравнения. 5)Можно его записать в виде , то есть . Это есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения. - особое решение.◄ №4. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию . ►1)Данное уравнение — уравнение с разделяющимися переменными. Запишем его в дифференциальной форме . 2)Обе части уравнения умножаем на dx. . 3)Разделяем переменные , . 4)Интегрируя, найдём общий интеграл . После потенцирования получим или , что является общим решением исходного уравнения. Положим теперь , тогда . Откуда С =1. Итак, — частное решение исходного уравнения. - особое решение.◄ №5. Найти решение уравнения . ►Воспользуемся подстановкой z =3 x + y, где z = z (x). Дифференцируя, находим ; . Тогда исходное уравнение принимает вид: ; . 1)Данное уравнение — уравнение с разделяющимися переменными. Заменяем отношением : . 2)Умножаем обе части уравнения на : . 3)Разделяем переменные. Для этого делим на «стоящую не у своего диффереренциала» функцию : . 4)Интегрируя, получаем: . Возвращаемся к замене: . Это общее решение.◄
Аудиторное занятие Проверить, что данная функция является решением дифференциального уравнения: №1. , . №2. . №3. , . Решить уравнения: №4. . Ответ: . №5. , у (0)= -1. Ответ: y =2+ C cos x; y =2-3cos x. №6. . Ответ: y -ln| x + y +1|= C. №7. . Ответ: y =tg(ln Cx).
№8.. у (1)=1. Ответ: . №9. . Ответ: . №10. 2 xy dx + x 2 dy =0. Ответ: C = x 2 y. №11. . Ответ: . №12. . Ответ: . №13. . Ответ: , y=0. №14. . Ответ: , у =1. №15. . Ответ: х + у = С (1- ху). №16. . Ответ: , .
Домашнее задание Проверить, что данная функция является решением ДУ: №17. , . №18. , . №19. . Решить уравнения: №20. . Ответ: (х -1)2+ у 2= С 2. №21. . Ответ: . №22. , у (0)=1. Ответ: ; у =1. №23. . Ответ: . №24. . Ответ: . №25. . Ответ: . №26. . Ответ: tg2 x +sin2 y = C. №27. , Ответ: . №28. . Ответ: . №29. . Ответ: . №30. , у (1)=-1. Ответ: . №31. Ответ: , №32. , у (1)=0. Ответ: . №33. , . Ответ: y =-2cos x.
Дополнительные задания Проверить, что данная функция является решением ДУ: №34. , . №35. , . №36. , . №37. , . №38. , . №39. , . Решить уравнения: №40. . Ответ: . №41. . Ответ: . №42. . Ответ: . №43. . Ответ: №44. , у =-2 при х =2. Ответ: №45. , . Ответ: №46. . Ответ: . №47. , у (1)=2. Ответ: №48. . Ответ: . №49. y ln y dx + x dy =0; у (1)=1. Ответ: у =1. №50. , у (0)=0. Ответ: . №51. . Ответ: . №52. , у (0)=1. Ответ: . №53. . Ответ: . №54. , у (-1)=1. Ответ: х + у =0. №55. , y (0)=0. Ответ: . №56. . Ответ: arctg y =ln| Cx |. №57. (x + xy) dy +(y - xy) dx =0, y (1)=1. Ответ: y - x +ln| xy |=0. №58. , y (0)=1. Ответ: №59. . Подстановка xy = t. Ответ: . №60. . Подстановка xy = t. Ответ: . №61. . Подстановка x ln y = t. Ответ: ; х =0.
Занятие 2 Цели Знать: v основные формы записи однородного дифференциального уравнения; v методы решения однородных дифференциальных уравнений. Уметь: v Определять, порядок функции; v находить решения однородного дифференциального уравнения; v решать задачу Коши для однородного дифференциального уравнения.
▲Дифференциальное уравнение называется однородным, если функция f (x; у) есть однородная функция нулевого порядка.▲ ▲Однородное уравнение в дифференциальной форме , (7) где Р (х; у) и Q (x; у) — однородные функции одинакового порядка.▲
№ 6. Определить порядок функций: 1) ; 2) . ►1) Функция есть однородная функция третьего порядка, так как = = = ; 2) Функция есть однородная функция нулевого порядка, так как .
Постановка задачи 3: Решить уравнение вида , (8) где Р (х, у) и Q (x, у) — однородные функции одинакового порядка, т.е. и . План решения: 1. Убедиться, что уравнение однородное; 2.Преобразуем исходное уравнение к виду (9); 3. Ввести новую функцию t (х) с помощью подстановки y = tx, дифференцируя это равенство имеем: ; 4. Записать уравнение (9) через новую функцию: , т.е. уравнение с разделяющимися переменными; 5. Разделяем переменные в области, где : ; 6. Интегрируем полученное уравнение; 7. Делаем замену ; 8. Записываем общее решение или общий интеграл.
№7. Решить уравнение: при у (1)=1. ►1)Убедимся, что уравнение однородное. Для этого перепишем исходное уравнение в виде . Здесь , . Найдем и . Обе эти функции – однородные первого порядка. Итак, уравнение - однородное. 2)Преобразуем исходное уравнение к виду . Для этого разделим на x обе его части . Замечание: не всегда опеделение порядка функций является необходимостью; чаще всего бывает достаточно привести исходное уравнение к виду . Такой вид уже говорит о том, что уравнение – однородное. 3)Полагаем , у = tx, . 4)Тогда уравнение принимает вид: — уравнение с разделяющимися переменными. 5)Разделяем переменные: - переносим слагаемые с t в одну сторону: ; - заменяем отношением : ; - умножаем обе части на : . 6)Интегрируя, получаем: ln|ln t -1|=ln| x |+ln| C | или ln t -1= Cx. 7)Делаем замену : . 8)Записываем общее решение: или Для того, чтобы получить частное решение, подставим начальное условие в полученное решение: , отсюда С =-1. Таким образом, частное решение исходного уравнения будет иметь вид .◄ Постановка задачи 4: Решить уравнение вида (10) Такие уравнения приводятся к однородному с помощью замены , где есть решения системы . №8. Решить уравнение (x -2 y +3) dy +(2 x + y -1) dx =0. ►Представим исходное уравнение в виде: . Решаем систему например, по правилам Крамера. В данном случае и , . Делаем замену переменных , и получаем в результате однородное уравнение . Деля числитель и знаменатель правой части уравнения на и заменяя , получим общий интеграл этого уравнения: - приводим уравнение к виду : ; - делаем замену (Отметим, что , .) и записываем уравнение через новую функцию: ; получили уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, находим . Далее делаем обратный переход: и получаем . Возвращаясь к старым переменным , имеем окончательный ответ .◄ Замечание: если , то следует выполнить следующую замену .
Аудиторное занятие Решить уравнения: №62. при . Ответ: y =2 x arctg x.
№63. . Ответ: . №64 x dy – y dx = y dy, y (-1)=1. Ответ: x =- y (1+ln y).
№65. (x + y -2) dx +(x - y +4) dy =0. Ответ: x 2+2 xy - y 2-4 x +8 y = C. №66. . Ответ: . №67. . Ответ: . №68. x dy =(x + y) dx. Ответ: y = x (ln| x |+ C). №69. . Ответ: . №70. . Ответ: . №71. , у (1)=0. Ответ: .
Домашнее задание №72. . Ответ: . №73. 2 x 2 dy =(x 2 + y 2) dx. Ответ: . №74. (x 2+ y 2) dx -2 xy dy =0. Ответ: y 2= x 2- Cx. №75. (x 2 +2 xy) dx + xy dy =0. Ответ: . №76. ; . Ответ: . №77. . Ответ: . №78. . Ответ: . №79. . Ответ: . №80. . Ответ: . №81. ; . Ответ: . №82. . Указание: подсановка . Ответ: . №83. . Ответ: . Дополнительные задания №84. . Ответ: . №85. . Ответ: y 2=4 x 2ln Cx.
№86. . Ответ: . №87. , . Ответ: y = x arcsin x.
№88. . Ответ: .
№89. ; . Ответ: . №90. , у (1)=0. Ответ: y =- x ln|1-ln x |.
№91. . Ответ: . №92. , . Ответ: . №93. . Ответ: . №94. . Ответ: . №95. , . Ответ: . №96. , . Ответ: . №97. . Ответ: . №98. Найти общий интеграл дифференциального уравнения: . Ответ: . №99. . Ответ: . №101. . Указание: сделать замену . Ответ: .
Занятие 3 Уравнение Бернулли Цели Знать: v основные формы записи линейного дифференциального уравнения; v методы решения линейных дифференциальных уравнений. Уметь: v находить решения линейного дифференциального уравнения; v решать задачу Коши для линейного. дифференциального уравнения.
▼Дифференциальное уравнение является линейным дифференциальным уравнением, если его правая часть есть линейное выражение относительно искомой функции .▲ Коэффициенты а и b — либо постоянные, либо функции от х. Классическая форма линейного уравнения дифференциальная форма . (13)
Постановка задачи 5: Решить уравнение методом Бернулли. План решен
Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем... ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|