|
Уравнения, не содержащие явно искомой функции
Постановка задачи: Решить уравнение вида . (16) План решения: 1. Полагая , получим дифференциальное уравнение первого порядка . 2. Определяя тип этого уравнения и применяя соответствующий метод решения, находим , где С 1 — произвольная постоянная. 3. Так как , имеем . Последовательно интегрируя k раз (при каждом интегрировании не забывая о произвольной постоянной), получим ответ , n = k +1, — произвольные постоянные.
№17. Решить уравнение. . ►Данное уравнение второго порядка, не содержащие явно искомой функции y. Обозначим , , где р = р (х) — новая неизвестная функция. Тогда уравнение примет вид: или . Откуда или . Так как , то . Разделяя переменные: , получаем общее решение .◄
3. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной
Постановка задачи: Решить уравнение вида (17). План решения: 1. Поскольку данное уравнение не содержит явно независимой переменной х, полагаем , где р (у) — новая неизвестная функция. Тогда по формуле для производной сложной функции имеем или . Получаем уравнение первого порядка относительно р (у). 2. Определив тип уравнения и применяя соответствующий метод решения, находим . 3. Возвращаемся к замене , получаем уравнение с разделяющимися переменными . Разделяя переменные, имеем и, интегрируя, находим .
№18. Решить уравнение . ►Уравнение второго порядка и не содержит независимой переменной х. Полагаем , . Тогда исходное уравнение имеет вид или — линейное уравнение I-го порядка. Решим полученное уравнение методом Бернулли. Пусть p = uv, тогда . Откуда , а . Следовательно , или — уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя, имеем: ; или , где .◄
Аудиторное занятие №107. . Ответ: . №108. . Ответ: . №109. . Ответ: . №117. . Ответ: . №110. . Ответ: . №111. . Ответ: . №112. ; . Ответ: . №113. . Ответ: . №133. . Ответ: . №134. ; . Ответ: .
Домашнее задания №114. ; . Ответ: . №119. . Ответ: . №118. . Ответ: . №118. . Ответ: . №120. . Ответ: . №116. ; . Ответ: . №121. . Ответ: y = x 2- C 1cos x + C 2 x + C 3. №126. ; y (1)=1, . Ответ: . №131. . Ответ: .
Дополнительные задания №125. ; . Ответ: . №127. . Ответ: . №135. . Ответ: . №129. . Ответ: . №130. . Ответ: . №132. . Ответ: . №124. . Ответ: . №115. . Ответ: . №136. ; . Ответ: . №137. . Ответ: . №123. . Ответ: . №123. . Ответ: . №122. ; . Ответ: . №128. ; . Ответ: .
Занятие 6 Линейные однородные и неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами Цели Знать: v вид линейного однородного и неоднородного ДУ высших порядков; v структуру общего решения линейного однородного и неоднородного ДУ; Уметь: v находить частное и общее решения линейного ДУ; v находить частное решение методом неопределённых коэффициентов и методом вариации произвольных постоянных.
▼Уравнение вида , (18) где p 1, p 2, …, pn — константы, называется линейным ДУ n -го порядка с постоянными коэффициентами. ▲ ▼Если f (х)=0 то уравнение называется линейным однородным уравнением, если f (х)¹0, то уравнение называется неоднородным. ▲ Для нахождения общего решения линейного однородного ДУ с постоянными коэффициентами составляем характеристическое равнение . (19) ÞПри составления характеристического уравнения достаточно в уравнении (18) заменить у(n), у ( n-1 ) … у соответственно на kn, kn -1и 1. Таблица 1 Составление общего решения линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами
Постановка задачи: Решить линейное однородное ДУ уравнение n -гопорядка с постоянными коэффициентами . План решения: 1. Записать характеристическое уравнение , где у(n), у ( n-1 ) … у заменены соответственно на kn, kn -1и 1; 2. Найдя корни характеристического уравнения составить общее решение данного уравнения, воспользовавшись таблицей 1. Теорема (структура общего решения ЛНДУ). Общим решением у уравнения (18) является сумма его общего решения соответствующего однородного уравнения = C 1× у 1+ C 2× у 2и произвольного частного решения у*, т.е. y = + y *. (20) Теорема (о наложении решений). Если правая часть уравнения (18) представляет собой сумму двух функций , а у *1 и у *2 — частные решения уравнений и соответственно, то функция является решением данного уравнения. Для нахождения частных решений неоднородных ДУ используют метод неопределённых коэффициентов и метод вариации произвольных постоянных. Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычислить, когда этот... Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право... ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|