Метод неопределённых коэффициентов

Данный метод применяется только в случае, когда f (x) имеет специальный вид. Приведём таблицу видов частных решений у * для различных видов правых частей (см. таб.2).

Неопределённые коэффициенты А, В, С, …, F находят из системы линейных алгебраических уравнений, получаемых отождествлением коэффициентов подобных членов в правой и левой частях исходного ДУ после подстановки в него у * вместо у.

Постановка задачи: Решить уравнение

.

План решения: 1. Записать соответствующее однородное уравнение;

2. Решив характеристическое уравнение составить общее решение соответствующее однородному уравнению, т.е. ;

3.Для нахождения частного решения у * методом неопределённых коэффициентов воспользоваться таблицей 2;

4. Найти неопределённые коэффициенты, подставляя у * в исходное уравнение;

5. Записать ответ в виде .

№15. Найти общее решение уравнения .

►Характеристическое уравнение k ²-4 k =0 имеет корни k ₁=0; k ₂=4 тогда = С ₁+ С ₂ е ^{4 х} .

Правая часть исходного уравнения принадлежит к II, где =4, s =1. Тогда частное решение у * будем искать в виде . Найдя , и подставив в исходное уравнение получим:

8 Ах +4 В +2 А =1- х.

Откуда А =-1/8; В =5/16, тогда частное решение имеет вид:

.

Общее решение:

= С ₁+ С ₂ е^4х + .◄

Для следующих уравнений определить вид частного решения.

№16. .

►Характеристическое уравнение k ²+3 k =0 имеет корни k ₁=0; k ₂=-3. Правая часть — многочлен нулевой степени, относится к виду I. 2., где s =1. Тогда = Ах ¹.◄

№17. .

►Характеристическое уравнение k ²-9=0 имеет корни k ₁=3; k ₂=-3. Правая часть многочлен второй степени, относится к виду I.1, где s =0. Тогда = Ах ²+ Вх + С. ◄

№18. .

►Характеристическое уравнение k ⁴+2 k ³+ k ²=0 имеет корни k _1,2=0; k _3,4=-1. Правая часть относится к виду II.2., где s =2. Тогда .◄

№19. .

►Характеристическое уравнение k ²-10 k +25=0 имеет корни k _1,2=5. Правая часть относится к III.2., где s =2. Тогда = .◄

№20. .

►Характеристическое уравнение k ²-3 k -4=0 имеет корни k ₁=4; k ₂=-1. Правая часть относится к виду VI.1., где s =0. Тогда = A cos5 x + D sin5 x. ◄

№21. .

►Характеристическое уравнение k ²+2 k +5=0 имеет корни . Правая часть относится к виду V.2., где s =1. Тогда .◄

№22. .

►Характеристическое уравнение k ³-4 k =0 имеет корни k ₁=0 . Правая часть состоит из трёх функций, относящихся к различным видам.

Обозначим (вид III.1.), (вид VI.2.), (вид I.2.) Тогда ; ; . Значит .◄

Метод вариации произвольных постоянных

Этот метод используют для решения линейных уравнений с переменными коэффициентами и произвольной правой частью, лишь бы было известно общее решение соответствующего однородного уравнения.

Постановка задачи: Решить уравнение .

План решения: 1. Записать соответствующее однородное уравнение с постоянными коэффициентами ;

2. Находим фундаментальную систему решений у ₁(х) и у ₂(х) и общее решение однородного уравнения ;

3. Общее решение исходного уравнения записать в виде

, (21)

где С ₁(х) и С ₂(х) — неизвестные функции.

4. Найти С ₁(х) и С ₂(х), т.е. решить систему линейных уравнений относительно производных этих функций:

(22)

Найдя и интегрируя их, находим и сами функции С ₁(х) и С ₂(х).

5. Записать общее решение неоднородного уравнения.

№23. Решить уравнение .

►Характеристическое уравнение k ²+3 k +2=0 имеет корни k ₁=-2; k ₂=-1. Фундаментальная система решений: , .

Ищем решение данного неоднородного уравнения в виде . Система (22) в данном случае принимает вид

.

Решая эту систему получим , .

Откуда

; .

Тогда общее решение уравнения будет иметь вид:

или если слагаемое – е ^{- х} присоединить к С ₁ е ^{- х} окончательно получаем

.◄

Аудиторное занятие

Найти общее решение уравнения:

№141. ; .

Ответ: .

№138. . Ответ: .

№139. .

Ответ: .

№142. . Ответ: .

№189. ; .

Ответ: .

№144. ; .

Ответ: .

№144. .

Ответ: .

№155. .

Ответ: .

№155. ; у (0)=1, .

Ответ: .

№155. ; у (1)=0, .

Ответ: .

Домашнее задание

Найти общее решение уравнения:

№148. ; .

Ответ: .

№150. .

Ответ: y = C ₁ e^x + C ₂cos x + C ₃sin x - x ²-3 x -1.

№140. .

Ответ: .

№145. . Ответ: .

№146. .

Ответ: .

№152. .

Ответ: .

№143. ; .

Ответ: .

№153. .

Ответ: .

№151. .

Ответ: y = С ₁+ С ₂ x + C ₃ e^x - x ⁴-5 x ³-15 x ².

№187. ; .

Ответ: .

№187. .

Ответ: .

№187. .

Ответ: .

№187. ; , .

Ответ: .

№187. ; у (0)=0, .

Ответ: .

Дополнительные задания

Найти общее решение уравнения:

№159. . Ответ: у = e^-x (C ₁ x + C ₂).

№156. . Ответ: у = С ₁ е^х + C ₂ e^-x.

№157. . Ответ: .

№165. . Ответ: y = C ₁+ C ₂ x + C ₃ x ²+…+C₁₀ x ⁹.

№158. ; .

Ответ: у = e^x (1+ x).

№160. .

Ответ: у = C ₁ e^-x + C ₂ e ^{-2 x} + C ₃ e ^{-3 x}.

№161. y ^YI+2 y ^Y+ y ^IY=0.

Ответ: у = C ₁+ C ₂ x + C ₃ x ²+ C ₄ x ³+ e^-x (C ₅+ C ₆ x).

№163. .

Ответ: y= .

№166. .

Ответ: .

Составить линейные однородные ДУ, зная их характеристические уравнения:

№167. .

№168. .

№169. k (k +1)(k +2)=0.

№170. (k ²+1)²=0.

№171. k ³=0.

Составить линейное однородное ДУ, если известны корни его характеристического уравнения и написать его общее решение:

№172. k ₁=1; k ₂=2.

№173. k ₁=1; k ₂=1.

№174. k ₁=3-2 i; k ₂=3+2i.

№175. k ₁=1; k ₂=1; k ₃=1.

Составить линейное однородное ДУ, если задана фундаментальная система решений:

№176. .

№177. 1; е^х.

№178. sin3 x; cos3 x.

№179. e^x; e ^{2 x} ; e ^{3 x} .

№180. e^x; xe ^{2 x} ; x ² e^x.

№181. e ^{2 x} ; sin x; cos x.

Найти общее решение уравнения:

№153. . Ответ: .

№190. .

Ответ: y = e^x - e^-x + x ².

№154. .

Ответ: .

№182. .

Ответ: .

№183. .

Ответ: у = е^х (С ₁+ С ₂ х)+ х ³+6 х ²+18 х +24.

№184. .

Ответ: .

№185. .

Ответ: .

№186. .

Ответ: .

№188. ; .

Ответ: .

№188. .

Ответ: .

№188. .

Ответ:

№188. ; у (1)= е, .

Ответ: .

№188. ; у (1)= е -4, .

Ответ: .

№188. ; у (0)=3, .

Ответ: .

правая часть f (x)	корни характеристического уравнения	вид частного решения
I	многочлен n -го порядка	число 0 является корнем характеристического уравнения кратности s
II	- действительное число	число является корнем характеристического уравнения кратности s
III	m; - действительные числа	число является корнем характеристического уравнения кратности s
IV	a; b; - действительные числа; в частном случае одно из чисел а или b равно 0	числа являются корнями характеристического уравнения кратности s
V	a; b; - действительные числа	числа являются корнями характеристического уравнения кратности s
VI	многочлены степени n; m; в частном случае n или m могут равняться нулю	числа являются корнями характеристического уравнения кратности s	- многочлены с неопределёнными коэффициентами; k =max{ n; m }
VII	многочлены степени n; m; - действительное число	числа являются корнями характеристического уравнения кратности s	- многочлены с неопределёнными коэффициентами; k =max{ n; m }

A, B, … F — неопределённые коэффициенты

Решение типового варианта ИДЗ

«Дифференциальные уравнения»

Задание 1. Убедиться, что функция удовлетворяет уравнению .

►Найдём производную данной функции. .

Подставим данное выражение в заданное уравнение:

. Раскрывая скобки, и приводя подобные имеем: 2 х =2 х. Получили тождество. Таким образом, данная функция удовлетворяет ззаданному уравнению.◄

Задание 2. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения

№1. (ху ²+ х) dx + (y - x ² y) dy =0.

►Преобразуем данное уравнение:

y (1- x ²) dy =- x (y²+1) dx.

Это уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные:

.

Интегрируем обе части последнего равенства:

,

,

y ²+1= C | x ²-1|,

y ²= C | x ²-1|-1.

Следовательно, общим решением исходного уравнения является .◄

№2. .

►Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Разделяем их и интегрируем уравнение:

,

ln|tg x | + ln|tg y |=ln C.

Общий интеграл исходного уравнения:

tg x tg y =C.◄

№3. .

►Определим тип данного уравнения, для этого выразим :

.

Исходное уравнение является однородным уравнением первого порядка. Решаем его с помощью подстановки y = tx. . Далее находим:

,

,

. Данное уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:

,

,

,

,

— общий интеграл исходного уравнения.◄

№4. , y (0)=ln 5.

►Определим тип данного уравнения, для этого выразим :

,

,

. Полученное уравнение линейное первого порядка. Решаем его с помощью подстановки y = u (x) v (x), . Имеем:

,

. (*)

1) Найдём v (x) из условия:

,

,

ln v =- x,

v = e^-x.

2) Подставляем

полученное выражение для v (x) в уравнение (*):

,

,

,

u =-ln|1- x | + ln C,

.

Тогда y = является общим решением исходного уравнения.

Для нахождения частного решения найдём С, используя начальное условие, т.е.

ln5= ,

ln5=ln С.

Следовательно, C =5. Частное решение исходного уравнения имеет вид: .◄

№5. .

►Преобразуем данное уравнение для того, чтобы определить его тип. Получим

;

. Данное уравнение является уравнением Бернулли. Решаем его с помощью подстановки y = u (x) v (x), .

;

. (*)

1) Найдём v (x) из условия ,

которое является ДУ с разделяющимися переменными:

;

;

;

.

2) Полученное выражение для v (x) подставляем в уравнение (*):

.

Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Найдём u (x) из данного уравнения.

;

Окончательно находим, что общее решение исходного уравнения определяяется выражением

.◄

№6. , , . Вычислить значение полученной функции при х = -3 с точностью до двух знаков после запятой.

►Данное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка, относящееся к первому типу.

;

— общее решение исходного уравнения.

Воспользовавшись начальными условиями, определим значения С ₁ и С ₂:

; С ₁ - С ₂=0;

;

С ₁=0; С ₂=0.

Частное решение исходного урвнения, удовлетворяющее начальным условиям, имеет вид:

.

Вычислим значение функции у (х) при х = -3.

.◄

№7. .

►Данное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка, относящееся ко второму типу (нет явно у). Сделаем замену , . Тогда

. Данное уравнение с разделяющимися переменными.

;

;

.

Возвращаемся к замене, т.е. . Из данного уравнения с разделяющимися переменными найдём у.

;

— общее решение исходного уравнения.◄

№8. , у (1)=1, .

►Данное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка, относящееся к третьему типу (нет явно х). Сделаем замену , . Тогда

. Данное уравнение с разделяющимися переменными.

;

;

;

.

Возвращаемся к замене, т.е. . Из данного уравнения с разделяющимися переменными найдём у.

;

;

— общее решение исходного уравнения.

Определим значения С ₁ и С ₂. использовав начальные данные. При х =1, у =1 и имеем:

,

.

Откуда 1+2 С ₁=0, , С ₂=1.

Следовательно, искомое решение имеет вид

или .◄

№9. .

►Введём обозначения:

, .

Тогда , .

Так как , то исходное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

Найдём его общий интеграл:

; .

.◄

№10. а) ; б) ;

в) .

►Данные уравнения — линейные однородные. Для каждого уравнения составляем характеристическое уравнение и решаем его. По виду полученных корней характеристического уравнения (см. таб.1) записываем общее решение.

а) ;

, k ₂=2 (действительные корни, кратности один).

.

б) ;

;

(действительный корень, кратности два).

.

в) ;

, (пара сопряжённых корней α=1; β=6).

.◄

№11. .

►Данное уравнение — линейное неоднородное. Его решение запишем в виде: .

Найдём как общее решение однородного линейного уравнения. Для этого составим характеристическое уравнение: ; k ₁=4; k ₂= -1.

.

Составим у * по функции f (x)=6 xe ^{- x}, стоящей в правой части исходного уравнения. Записываем структуру его частного решения (см. таб.2 II 2. где проверяем α=-1 является ли корнем характеристического уравнения, следовательно, s =1) .

Коэффициенты А и В определим методом неопределённых коэффициентов. Для этого находим:

;

.

Подставим найденные выражения для и в исходное уравнение и, разделив обе его части на е^-х, приравняем коэффициенты при х ², х ¹ и х ⁰. Получим систему, из которой найдём коэффициенты А и В. Таким образом, в соответствии с изложенным: ; .

Тогда .

Общее решение данного неоднородного уравнения:

у= .◄

№12. .

►Данное уравнение — линейное неоднородное. Его решение запишем в виде: .

Найдём как общее решение однородного линейного уравнения. Для этого составим характеристическое уравнение: ; k ₁=0; k ₂= -1.

.

Составим у * по функции f (x)=5 x +cos2 x, стоящей в правой части исходного уравнения. Данная функция представляет собой сумму функций f ₁(x)=5 x и f ₂(x)=cos2 x. Им соответсвуют два частных решения:

(см. таб.2 I 2. где проверяем α=0 является ли корнем характеристического уравнения, следовательно, s =1);

(см. таб.2 IV 1. где проверяем α= является ли корнем характеристического уравнения, следовательно, s =0).

Т.е. = .

Находим ;

.

Подставляем выражения для и в исходное уравнение и вычисляем коэффициенты А, В, M, N:

, В = -5; ; .

Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид

,

а его общее решение:

.◄

№13. ►Данное уравнение — линейное неоднородное. Его решение запишем в виде: .

Найдём как общее решение однородного линейного уравнения. Для этого составим характеристическое уравнение: ; . Общее решение соответствующего однородного уравнения определяется:

,

а частное его решение имеет вид:

(см. таб.2 II 2. где проверяем α= -1 является ли корнем характеристического уравнения, следовательно, s =0).

Находим:

;

.

Подставим выражения и в исходное уравнение и из полученного тождества найдём А =2, В =1. Тогда

.

Следовательно, общее решение исходного уравнения имеет вид

+ .

Используя начальные условия у (0)=-1, , составляем систему для вычисления значений С ₁ и С ₂:

решение которой: С ₁=-2; С ₂=1.

Подставив значения С ₁ и С ₂ в общее решение, найдём частное решение исходного уравнения:

+ .◄

Примерный вариант контрольной работы

Вариант 1

Решить уравнения:

1. ;

2. ;

3. ;

4. , у (0)=0, =0;

5. .

Вариант 2

Решить уравнения:

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. , у (0)=1, =2.

Литература

1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике М.: «Высшая школа», 2002 – 466 с.
2. Гусак А.А. Пособие к решению задач по высшей математике. - Минск «Вышэйшая школа», 1967. – 529 с.
3. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.I. – М: Высш.шк., 1996. – 304 с.
4. Лихолетов И.И., И.П. Мацкевич Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике. – Минск «Вышэйшая школа», 1969. – 452 с.
5. Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс – 2-е изд., испр. – М.: Айрис-пресс, 2003. – 576с.:ил.
6. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. – Санкт-Петербург «Лань», 2001 – 721 с.
7. Практикум по высшей математике для экономистов Под ред. Проф. Н.Ш. Кремера, - М.: Дана, 2002390 с.
8. Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под ред. проф.В.И. Ермакова М.: Инфра-М, 2003 – 526 с.

Содержание

Предисловие………………………………………………….3

Занятие 1

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним……………………….4

Занятие 2

Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: