Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







При проектировании цифровой аппаратуры





Теория принятия решений

Методические указания к самостоятельной работе

 

 

Омск 2007


 

 

Составитель А.В. Зыкина

 

Методические указания предназначены для оказания помощи при изучении дисциплины «Теория принятия решений», их можно также использовать в качестве установочных рекомендаций студентам дистанционной формы обучения. Кроме состава самостоятельной работы по дисциплине приведены краткие теоретические результаты, ссылки на источники и варианты расчетно-графических заданий.

 

Для студентов специальности 230102 и направления подготовки 23010062.

 

 

Печатается по решению редакционно-издательского совета Омского
государственного технического университета.

 

 


Первый раздел методических указаний – элементы рабочей программы дисциплины. Здесь приведены основные цели и задачи дисциплины, требования к уровню подготовки студента, более подробно излагаются элементы программы, связанные с самостоятельной работой студентов.

Второй раздел посвящен рекомендациям по выполнению расчетно-графических работ: перечисляются классы математических моделей, приводятся ссылки на возможные методы для их решения.

В третьем разделе рассматривается пример построения содержательной задачи и приводятся варианты заданий.

Данные методические указания окажут помощь при выполнении задания курсового проектирования по дисциплине «Теория принятия решения», состоящего в построении математической модели практической задачи и численном решении полученной задачи по выбранному алгоритму.

 

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

«ТЕОРИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ»

 

1.1. Цели и задачи дисциплины

Целью изучения дисциплины «Теория принятия решения» является формирование представлений о теоретических и алгоритмических основах классических разделов исследования операций.

В результате изучения дисциплины студенты должны:

- получить знания об основах современных математических методов для исследования широкого комплекса практических задач, возникающих в области управления предприятиями, организациями, учреждениями, в том числе в управлении городским хозяйством, банковскими учреждениями и дp.;

- изучить теоретические основы теории принятия решений;

- изучить основные классы задач исследования операций;

- научиться формулировать содержательные задачи как задачи принятия решений;

- получить представление о приоритетных научных направлениях в современной теории принятия решений.

 

1.2. Требования к уровню подготовки студента,

завершившего изучение дисциплины

Студент, завершивший изучение данной дисциплины должен:

- знать основные классы задач исследования операций и методы их решения;

- иметь представление о теоретическом обосновании численных методов решения различных классов задач;

- уметь пользоваться классическими алгоритмами для решения задач исследования операций;

- уметь составлять математические модели;

- уметь применять свои знания к решению практических задач.

 

1.3. Объем дисциплины и виды учебной работы в часах

Вид занятий Всего (час.) Сем.6
Всего аудиторных занятий:    
Лекций    
Практические занятия (семинары)    
Самостоятельная работа(23010062/230102): 78/98 78/98
Расчетно-графические работы 25/20 25/20
Проработка отдельных разделов дисциплины 53/78 53/78
Всего по курсу 146/166 146/166
Вид аттестации за семестр   Экз.

1.4. Содержание дисциплины по разделам

Наименование разделов:

- Основные понятия исследования операций и системного анализа.

- Методологические основы теории принятия решений.

- Основные классы задач исследования операций.

1.5. Самостоятельная работа студентов

Темы РГР

- Построение математических моделей объектов исследования.

- Оптимальное распределение ограниченных ресурсов.

- Составление оптимальных графиков выполнения работ.

- Планирование производственных работ и их оптимизация по времени и стоимости.

- Оптимальное управление технологическими процессами.

- Задачи выбора оптимальной структуры системы.

- Задачи резервирования ресурсов.

- Задача о замене оборудования.

- Построение математических моделей объектов исследования.

- Венгерский метод для решения задачи о назначениях.

- Решение задачи коммивояжера.

- Решение задачи о замене оборудования.

- Решение задачи о распределении ресурсов.

Самостоятельная проработка отдельных разделов дисциплины

На самостоятельную работу выносятся следующие темы

лекционного материала:

- Задачи скалярной оптимизации. Чувствительность методов к ошибкам округления.

- Динамические задачи. Задачи с сепарабельной и мультипликативной целевой функцией.

- Задача о ранце.

- Задача надежности.

На самостоятельную работу выносятся следующие темы

для практических занятий:

- Машинная реализация метода множителей Лагранжа.

- Машинная реализация метода решения задачи целочисленного ЛП.

- Машинная реализация метода динамического программирования.

- Машинная реализация методов решения многокритериальных задач.

Задания для научно-исследовательской работы студента

- Задачи дополнительности.

- Параметрические задачи дополнительности.

- Обобщенное решение системы неравенств.

- Обобщенное решение задачи ЛП.

- Задачи дополнительности и вариационные неравенства.

- Методы центров для обобщенного решения.

- Обобщенное решение в многокритериальной оптимизации.

1.6. Контрольные вопросы по дисциплине

Контрольные вопросы формируются каждый год по прочитанным лекциям, однако специфика и содержание вопросов соответствуют приведенным ниже.

Раздел 1

1. Классификация задач принятия решений.

2. Математические модели экономических задач в противоречивых

ситуациях.

3. Методы уступок.

4. Последовательная оптимизация.

Раздел 2

5. Основные понятия теории игр.

6. Матричная игра «Производство – рынок».

7. Эквивалентность матричной игры паре двойственных задач.

8. Связь матричных игр с ЛП.

9. Парето-оптимальность.

10. Общий подход к решению многокритериальных задач.

Раздел 3

11. Принцип оптимальности Беллмана (постановка задачи, обозначения)

12. Вывод уравнения Беллмана.

13. Вычислительная схема ДП.

14. Требования к задаче для решения методом ДП.

15. Задача о рюкзаке (пожаре).

16. Задача распределения ресурсов.

17. Задача о замене оборудования.

18. Задача для программирования с мультипликативным критерием.

19. Дополнительные возможности динамического программирования.

20. Аналитическое решение уравнений Беллмана.

21. Постановка задачи о назначениях (содержат. и мат. модель).

22. Венгерский метод (определения, обозначения и идея).

23. Алгоритм венгерского метода.

24. Оптимизация. Оптимизация без ограничений (общая идея).

25. Общая схема методов оптимизации без ограничений (алгоритм).

26. Методы 0-го порядка.

27. Методы 1-го порядка.

28. Методы 2-го порядка.

29. Общая схема оптимизации с ограничениями (идея).

30. Формальная схема.

31. Необходимое условие минимума.

32. Обобщенная задача Лагранжа.

33. Метод множителей Лагранжа.

34. Теоремы выпуклости.

35. Методы возможных направлений (определения и каноническая задача).

36. Задача ЛП для определения прогрессивного направления.

37. Формальная схема метода возможных направлений.

38. Замечания по методу возможных направлений.

39. Метод Зойтендейка.

40. Нахождение начальной допустимой точки.

 

 

НЕКОТОРЫЕ КЛАССЫ ЗАДАЧ

2.1. Задача линейного программирования (ЛП)

Найти вектор , минимизируюший (максимизирующий) линейную функцию:

(1)

переменные которой подчинены следующим линейным ограничениям:

(2)

Для численного решения задачи ЛП в общем виде (в произвольном виде)

(1)-(2) требуется предварительно привести задачу к каноническому виду:

минимизировать (максимизировать)

 

(3)

 

(4)

 

Для решения задачи (3)-(4) можно использовать прямой или двойственной симплекс-метод [1.1, 3.1]. При выполнении условия задачу (3)-(4) можно решать графически [1.1, 3.1].

 

 

2.2. Классическая транспортная задача

линейного программирования

 

Математическая модель классической транспортной задачи ЛП имеет вид

 

(5)

.

Транспортная задача, в которой суммарные запасы и суммарные потребности совпадают, т. е. выполняется условие , называется закрытой моделью, в противном случае – открытой. Открытая модель решается приведением к закрытой модели [1.1, 3.1]. Решение закрытой модели классической транспортной задачи (5) находят по методу потенциалов [1.1, 3.1].

 

2.3. Транспортная задача

по критерию времени

 

Математическая модель транспортной задачи при минимизации максимального времени перевозки продуктов от пунктов отправления к пунктам назначения имеет вид

 

(6)

Решение задачи (6) можно получить по методу "запрещенных клеток" [6.3].

 

2.4. Задача параметрического линейного программирования

 

Требуется найти решение задачи

при ограничениях

(7)

При значениях параметра t, принадлежащих заданному конечному или бесконечному интервалу. Решение задачи (7) для случаев, когда от параметра t зависит либо целевая функция (), либо система ограничений (), находят с помощью методов, основанных на применении симплекс-метода или двойственного симплекс-метода [6.4, 6.5].

 

2.5. Задача квадратичного программирования

Задача квадратичного программирования состоит в минимизации квадратичной целевой функции

(8)

при линейных ограничениях (2), где – симметричная положительно полуопределенная матрица размерностью . Симметричность матрицы следует из квадратичности функции (8), так как . Положительная полуопределенность матрицы следует из неотрицательности главных миноров матрицы . Линейные ограничения (2) в произвольной форме можно свести к ограничениям в канонической форме (4), но при этом увеличивается размерность задачи , а значит, и размерность матрицы .

Для решения задачи квадратичного программирования предлагаются два типа методов. Методы первого типа (Била, Баранкина и Дорфмана, Франка и Вульфа [6.4, 6.5]) основаны на симплексных преобразованиях условий Куна-Таккера для задачи (8), (2) или для задачи (8),(4). Основная сложность использования этих методов состоит в умении правильно выписать условия Куна-Таккера.

Методы второго типа – это специальные методы. К ним можно отнести метод сопряженных градиентов [6.6] и метод проекции градиента Розена [6.7].

 

2.6. Задача нелинейного программирования

Минимизировать нелинейную функцию

) (9)

при нелинейных ограничениях

(10)

где , – непрерывные скалярные функции.

Если функции – выпуклые функции, то для решения задачи (9)-(10) применимы градиентные методы и классический метод решения задачи выпуклого программирования – метод возможных направлений [6.4].

Если ограничения (10) заданы в виде равенств, то для решения задачи
(9)-(10) можно использовать метод множителей Лагранжа [1.2].

Если ограничения задачи (10) позволяют построить штрафную функцию, сложность которой сравнима со сложностью исходной целевой функции (9), то имеет смысл решать задачу методами штрафных функций [1,2].

 

 

2.7. Дискретные задачи

математического программирования (МП)

 

Дискретная задача МП формулируется так же, как и задача (9)-(10), но включается дополнительное требование, состоящее в том, что значения переменных, составляющих оптимальное решение, должны принимать некоторые дискретные значения. Дискретность может быть произвольной, но чаще встречается два вида дискретности.

Если переменные принимают целочисленные значения, то говорят о задаче целочисленного математического программирования. Если переменные принимают альтернативные значения 0 или 1, то говорят о задаче альтернативного математического программирования.

Для решения задачи дискретного МП можно использовать метод ветвей и границ [6.8]. Но необходимо отметить, что метод ветвей и границ эффективен лишь при решении задач, содержащих небольшое число дискретных переменных или небольшое число допустимых значений дискретных переменных.

 

2.8. Задача целочисленного линейного программирования (ЦЛП)

 

Задача ЦЛП – это задача ЛП с дополнительным условием целочисленности переменных:

целые,

При k=n полностью целочисленная задача, а при k<n задача является частично целочисленной.

Для решения задачи ЦЛП как частично, так и полностью целочис­ленной применяются методы отсечений, в частности, метод Гомори [1.1].

 

2.9. Задача о назначениях

Это специальная задача альтернативного линейного программирования

Решение задачи о назначениях находится с помощью венгерского метода [1.1].

 

2.10. Задача коммивояжера

Это специальная задача линейного программирования вида

целые,

произвольные переменные

Методы решения задачи коммивояжера основаны на модификациях метода ветвей и границ, использующих особые структурные свойства задачи коммивояжера. К таким методам относятся метод задания маршрутов и метод частичных циклов [1.1, 6.4].

 

2.11. Задачи динамического программирования

Методом динамического программирования [1.1, 6.3, 6.5, 6.8] решаются задачи математического программирования, удовлетворяющие принципу последовательной оптимизации: решение исходной задача оптимизации большой размерности заменяется решением последовательности задач оптимизации малой размерности. Условиями, которым должна при этом удовлетворять исходная задача оптимизации, являются следующие.

1. Задача должна интерпретироваться как n -шаговый процесс.

2. Целевая функция должна быть аддитивной (мультипликативной), т. е. представляться в виде суммы (произведения) показателей эффективности на каждом шаге.

3. Структура задачи должна быть определена при любом k ≤ n и не должна зависеть от этого числа (принцип вложенности).

4. Выбор управления на k -м шаге не влияет на предшествующие шаги, а состояние в конце этого шага есть функция этого управления и предшествующего состояния (принцип отсутствия последействия).

5. На каждом шаге алгоритма число параметров состояния S и число переменных управления r конечны и не зависят от номера шага k. Причем следует отметить, что трудоемкость вычислений методом динамического программирования значительно возрастает при увеличении числа S или r на единицу и практически не зависит от числа шагов n (более того, возможно решение задачи при ). Ручному счету доступны задачи, в которых S =1 и r =1 или r =2. Такие значения S и r возможны при небольшом числе ограничений исходной задачи МП.

РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

3.1. Рекомендации к составлению математической модели

Использование стандартных вычислительных алгоритмов требует математической записи модели. Таким образом, необходимо уметь переводить словесное описание задачи на язык математических символов.

Составление математической модели начинают с выбора переменных, совокупность числовых значений которых однозначно определяет один из вариантов процесса. Следует иметь в виду, что иногда от удачного выбора этих переменных зависит простота модели и, следовательно, удобство дальнейшего ее анализа.

После выбора переменных необходимо составить ограничения по тексту задачи, которым эти переменные должны удовлетворять. При этом нужно следить за тем, чтобы в модели учитывались все ограничительные условия, и в то же время не было ни одного лишнего или записанного в более жесткой, чем требуется условиями задачи, форме.

В заключении составляется целевая функция, которая в математической форме отражает критерий выбора лучшего варианта.

После составления математической модели необходимо рассмотреть возможные пути ее упрощения и выбрать подходящий вычислительный метод для решения задачи.

 

3.2. Пример задачи ЛП – задача о диете

При имеющемся наборе N продуктов известной стоимости необходимо составить дневной рацион так, чтобы обеспечить заданное содержание белков, жиров и углеводов при минимальной суммарной стоимости продуктов.

Пусть единица i -го продукта содержит ai1 единиц белков, ai 2 единиц углеводов и ai3 единиц жиров.

Обозначим через сi, i= 1 ,…,N стоимость i -го продукта: b 1, b 2, b 3 единиц − заданное количество белков, жиров и углеводов, соответственно, в рационе.

Запишем условия задачи в виде математических формул.

1. Выберем переменные данной задачи:

x 1, x 2, … xN количество продуктов, входящих в рацион.

2. Составим ограничения, которые по условиям задачи должны обеспечить содержание белков, жиров и углеводов в количествах b1, b2, b3 соответственно.

Так как в единице i -го продукта содержится ai 1 единица белков, то в xi единицах i -го продукта содержится ai 1 xi единиц белков. Значит, общее количество белков в рационе будет равно сумме , а условие – неравенство для белков будет иметь вид:

 

.

 

Записывая аналогичные условия для жиров и углеводов, получим, включая предыдущее, три условия:

 

 

Нельзя забывать, очевидно, вытекающие из условий задачи ограничения: Эти ограничения означают, что отрицательное количество продуктов xi не имеет содержательного смысла.

3.Составим целевую функцию:

линейную функцию L необходимо минимизировать.

Итак, математическая модель рассмотренной задачи о диете имеет вид

минимизировать

при условиях

 

 

3.3. Задания для самостоятельной работы

Задача компоновки модулей

Разбиение системы на блоки

АСУ состоит из N элементов. Число соединений между элементами, определяемое структурой АСУ, задается симметричной квадратной матрицей . Из условий эксплуатации системы следует, что целесообразно разбить АСУ на m блоков, в каждом из которых не более n элементов. При разбиении системы на блоки одни связи окажутся внутриблочными, другие – внешними.

Задача: минимизировать число внешних соединений (или максимизировать число внутренних связей).

 

 

Распределение памяти ЭВМ I

Рассматривается многоступенчатая система хранения данных: на верхнем уровне используются ЗУ большого объема, но с малым быстродействием, на нижнем уровне – ЗУ небольшого объема, но с большим быстродействием. Пусть m – число уровней памяти, n – число массивов информации, – объем i -го массива, – быстродействие памяти j -го типа, – объем памяти j -го типа.

Распределить массивы информации по уровням памяти так, чтобы свести к минимуму время их обработки (суммарное время обращения к памяти).

Распределение памяти ЭВМ II

Пусть имеются массивы информации n типов, di – объем массива i -го типа. Память j -го типа характеризуется быстродействием, ti – емкостью и стоимостью единицы памяти Cj, общая стоимость памяти не должна превышать L.

Распределить массивы информации по уровням памяти оптимально.

 

Размещение производства

Имеются q пунктов потребления, потребности которых в некотором продукте измеряются величинами . Для удовлетворения этих потребностей могут быть использованы Р пунктов возможного производства продукта. Задана матрица затрат на перевозки единицы продукта из i -го пункта производства в k -й пункт потребления. Предполагается, что в каждом i -м пункте возможны ni взаимоисключающих вариантов производства с объемами

Определить оптимальный план размещения производства из условия минимизации затрат на транспортировку продукта.

 

Задача загрузки станков

Ткацкая фабрика располагает N 1станками первого типа и станками второго типа. Станки могут производить три вида тканей: Каждый вид станка может производить любой из видов ткани, но в неодинаковом количестве. Станок первого типа производит в единицу времени метров ткани соответственно, станок второго типа метров ткани. Каждый метр ткани – приносит прибыль , . Согласно плану производства фабрика должна произвести в единицу времени не менее метров ткани , не менее метров ткани и не менее метров ткани .

Требуется распределить загрузку станков производством тканей различного вида так, чтобы план был выполнен и при этом прибыль в единицу времени была максимальна.

 

Оптимизация машинного парка

Имеются m типов машин в количествах d 1 ,…,dm и видов работ, подлежащих выполнению в объёмах . Задана матрица , где – производительность i -й машины на k -й работе, матрица , где – себестоимость выполнения единицы k -й работы машиной i -го типа и стоимость одной машины i -го типа.

Составить математическую модель задачи по определению оптимального машинного парка (т.е. количество машин каждого типа) и оптимального его распределения по указанным работам из условия минимизации суммарной стоимости (машинного парка и произведенных работ).

 

Задача о размещении складов

Планируется построение складов известной емкости в различных местах. Затраты на построение склада данной емкости и в данном месте различны.

Выбрать такие места для расположения складов, чтобы выполнить заказ на суммарную емкость и чтобы суммарные затраты были минимальны.

 

Приобретение товаров

Получатель имеет сумму денег J и может купить товары трёх видов по цене за единицу. Функция полезности товара для покупателя имеет вид , где − количество товаров, которые он покупает.

Определить, какое количество товара каждого вида выгодно приобрести покупателю.

 

Распределение ресурсов

Комплексная целевая программа включает К подпрограмм. Известно, что для выполнения i -й подпрограммы в полном объеме достаточно ресурсов в количестве , степень же выполнения подпрограммы при выделении на неё ресурсов составляет . Степень выполнения всей программы определяется как , где – коэффициент важности i -й подпрограммы.

Найти оптимальное распределение общего ресурса объема S подпрограммам в случае дефицита .

 

Управление ресурсами

Имеется начальное количество ресурсов K, которое нужно распределить между N отраслями производства. Единица ресурсов, вложенных в i -ю отрасль, приносит доход .

Требуется найти способ управления ресурсами, при котором суммарный доход будет максимальный.

 

Вычислительного устройства

Устройство должно состоять из m блоков, вычисляющих последовательно определенные функции. Имеется различных вариантов выполнения каждого блока, отличающихся схемным решением. Заданы ограничения в отношении максимальной стоимости , максимальных габаритов , максимального времени выполнения устройством всей совокупности функций . Известны данные по стоимости , габаритам и времени вычисления функций для каждого блока при каждом варианте его выполнения .

Сформулировать возможные варианты постановки задачи оптимального построения вычислительного устройства.

 

Задача выбора

Имеются работ и сотрудников, которые должны быть назначены на выполнение этих работ. Каждый j -й сотрудник характеризуется рядом параметров . Заданы коэффициенты значимости i -го параметра, , при выполнении k -й работы, .

Найти оптимальное распределение работ между сотрудниками.

 

Программа обработки изделия

Найти оптимальную программу обработки изделий на взаимозаменяемых станках при заданных исходных данных: − норма времени для обработки одного j -го изделия на i -м станке; − себестоимость обработки, р/ч, одного j -го изделия на i -м станке; − общее время работы i -го станка;

− план обработки изделий j -го типа; − прибыль, получаемая при реализации одного изделия j -го типа.

В качестве критерия оптимальности выбрать:

1) минимум себестоимости;

2) минимум затрат времени работы станков;

3) максимум прибыли.

 

Задача о выпуске продукции

Предприятие производит n видов продукции, спрос на которую является функцией времени . Для изготовления продукции используются m видов сырья, запасы которого задаются вектором . Изготовление единицы продукции вида требует единиц сырья вида , а её стоимость равна .

1. Определить оптимальные планы выпуска продукции.

2. Решить задачу при дополнительном условии, что вектор ресур­сов r также меняется со временем, причем .

 

Задача о выборе поставщиков

Фирма по производству хлебобулочных изделий имеет трех поставщиков сырья. Закупочные цены на сырье различны, стоимость доставки единицы сырья различна. Фирма имеет обязательства перед поставщиками о минимальном закупочном сырье. Известны расходы сырья на единицу каждого изделия. Ассортимент состоит из 5 изделий. Производительные и финансовые возможности фирмы ограничены.

 

Библиографический список

Литература по лекциям

1. Дягтерев, Ю.И. Системный анализ и исследование операций [Текст] /
Ю.И Дягтерев – М.: Высш. школа, 1996.

2. Давыдов, Э.Г. Исследование операций [Текст] / Э.Г. Давыдов – М.: Высш.

школа, 1996.

3. Исследование операций в экономике [Текст] / Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. – М.: ЮНИТИ, 1997.

4. Карманов, В.Г. Математическое программирование: учеб. пособие [Текст] / В.Г. Карманов – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. – 264 с.

5. Зыкина, А.В. Математическое программирование: учеб. пособие [Текст] / А. В.Зыкина – Омск: ОмГТУ, 2000. – 64с.

Литература для практических занятий

1. Зыкина, А.В. Системный анализ и исследование операций: метод. указания [Текст] / А.В. Зыкина. – Омск: Изд-во ОмГТУ, 1994. – 23 с.

2. Нудельман, Г.А. Приближенные методы решения задач безусловной минимизации: метод. указания [Текст] / Г.А. Нудельман. – Омск: Изд-во ОмГТУ, 1986. – 28 с.

Литература для выполнения расчетно-графических заданий

1. Зыкина, А.В. Задания для самостоятельной работы по курсу «Системный анализ и исследование операций»: метод. указания для студентов специальности 220200 [Текст] / А.В. Зыкина. – Омск: Изд-во ОмПИ, 1995. – 68с.

2. Зыкина, А.В. Математическое программирование: Учебно-методическое пособие (для студентов дневного отделения экономического факультета) / Сост. А.В. Зыкина – Омск: ОмГТУ. 1999. – 48 с.

Литература для научно-исследовательской работы

1. Еремин, И.И. Теория линейной оптимизации [Текст] / И.И. Еремин. – Екатеринбург: Изд-во ИММ, 1999. – 312 с.

2. Зыкина, А.В. Обратная задача оптимизации и задача Лагранжа [Текст] // Омский научный вестник. – №2(31), 2005. – С. 81-84.

3. Зыкина, А.В. Обратная задача для параметрической нелинейной задачи дополнительности [Текст] // Прикладная математика и информационные технологии. – Омск, 2005. С. 27-35.

4. Попов, Л.Д. Введение в теорию, методы и экономические приложения задач о дополнительности [Текст] / Л.Д. Попов. – Екатеринбург: Изд-во Урал.
ун-та, 2001. – 124 с.

5. Дополнительная литература

1. Мину, М. Математическое программирование. Теория и алгоритмы [Текст] / М. Мину. – М.: Наука, 1990. – 488 с.

2. Штойер, Р. Многокритериальная оптимизация. Теория, вычисления и приложения [Текст] / Р. Штойер. – М.: Радио и связь, 1992.

3. Вентцель, Е.С. Исследование операций [Текст] / Е.С. Вентцель. – М.: Сов. радио, 1972.

4. Абрамов, Д.Ц. Математическое программирование [Текст] / Д.Ц. Абрамов, В.Ф. Капустин. – Л.: Изд. ЛГУ. 1981.

5. Кузнецов, Ю.Н. Математическое программирование [Текст] / Ю.Н. Кузнецов, В.И. Кузубов, А.В. Волощенко. – М. Высш. школа, 1980.

6. Пшеничный, Б.Н. Численные методы в экстремальных задачах [Текст] / Б.Н. Пшеничный, Ю.Н. Данилин. – М.: Наука, 1975.

7. Химмельблау, Д. Прикладное нелинейное программирование [Текст] /
Д. Химмельблау. – М.: Наука, 1974.

8. Вагнер, Г. Основы исследований операций [Текст] / Г. Вагнер. – М.; Мир, 1972. – Т. 1-3.


Оглавление<







Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2024 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.