Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







МАТЕМАТИКА РЫНКА ЦЕННЫХ БУМАГ





МАТЕМАТИКА РЫНКА ЦЕННЫХ БУМАГ

 

Практикум для студентов специальности 1-40 01 02-02

«Информационные системы и технологии (в экономике)»

всех форм обучения

 

 

Минск БГУИР


УДК 519.1:336.76(076.5)

ББК 22.16+65.26 я73

П 64

 

Рецензент:

доцент кафедры «Интеллектуальные информационные технологии» БГУИР,

канд. технических наук М. Д. Степанова

 

 

Поттосина, С. А.

П 64 Математика рынка ценных бумаг: практикум для студ. спец. 1‑40 01 02‑02 «Информационные системы и технологии (в экономике)» / С. А. Поттосина, И. Б. Валевская. – Минск: БГУИР, 2009. — 67 с.

ISBN 978-985-488-484-4

 

Практикум ориентирован на закрепление теоретического материала по курсу «Математика рынка ценных бумаг», приобретение навыков финансовых расчетов и анализа финансовой информации.

Практикум включает 6 основных тем, освещающих следующие вопросы: наращение и дисконтирование по простым и сложным процентам; потоки платежей и их оценка; анализ акций и облигаций методом дисконтированных платежей; оптимизация портфеля ценных бумаг; расчет справедливой цены опционов. Каждая тема содержит краткие теоретические сведения, необходимые для проведения расчетов, примеры решения задач, а также задачи для самостоятельного выполнения.

 

УДК 519.1:336.76(076.5)

ББК 22.16+65.26 я73

ISBN 978-985-488-484-4

© Поттосина С. А., Валевская И. Б., 2009

© УО «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники, 2009


 

Содержание

Тема 1. Наращение и дисконтирование по простым процентам. 5

1.1. Проценты и процентные ставки. 5

1.2. Формула наращения по простым процентам. 6

1.3. Практика начисления простых процентов. 7

1.4. Простые переменные ставки. 7

1.5. Реинвестирование по простым процентам. 8

1.6. Дисконтирование и учет по простым процентам. 8

1.7. Примеры решения задач. 12

1.8. Задачи для самостоятельной работы.. 13

Тема 2. Наращение и дисконтирование по сложным процентам. 14

2.1. Формула наращения по сложным процентам. 15

2.2. Формула наращения по сложным процентам при изменении ставки во времени 15

2.3. Формула удвоения суммы.. 15

2.4. Начисление годовых процентов при дробном числе лет. 16

2.5. Номинальная и эффективная ставки процентов. 17

2.6. Учет (дисконтирование) по сложной ставке процентов. 19

2.7. Номинальная и эффективная учетные ставки процентов. 19

2.8. Расчет срока ссуды и процентных ставок. 21

2.9. Начисление процентов и инфляция. 22

2.10. Измерение реальной ставки процента. 24

2.11. Примеры решения задач. 25

2.12. Задачи для самостоятельной работы.. 26

Тема 3. Потоки платежей. 28

3.1. Финансовые ренты и их классификация. 28

3.2. Формулы наращенной суммы.. 29

3.3. Формулы современной величины.. 32

3.4. Зависимость между современной величиной и наращенной суммой ренты 32

3.5. Примеры решения задач. 33

3.6. Задачи для самостоятельной работы.. 33

Тема 4. Анализ ценных бумаг с помощью метода дисконтирования плате-жей 35

4.1. Общая характеристика метода дисконтирования платежей. 35

4.2. Анализ ценных бумаг на основе чисто-текущей стоимости и внутренней доходности. 36

4.3. Анализ облигаций. 37

4.4. Модели изменения дивидендов. 39

4.5. Анализ стоимости и доходности акций. 41

4.6. Примеры решения задач. 43

4.7. Задачи для самостоятельной работы.. 44

Тема 5. Оптимизация портфеля ценных бумаг. 45

5.1. Портфель ценных бумаг и его характеристики. 45

5.2. Задача Марковица (определение структуры оптимального портфеля). 49

5.3. Структура оптимального портфеля при отсутствии корреляции между эффективностями ценных бумаг. 51

5.4. Модификация портфеля ценных бумаг (задача Тобина) 52

5.5. Задачи для самостоятельной работы.. 56

Тема 6. Расчет справедливой цены опционов европейского типа. 57

6.1. Основная идея расчета стоимости опционов. 57

6.2. Расчет стоимости опционов по формуле Кокса–Росса–Рубинштейна. 61

6.3. Расчет стоимости опционов по формуле Блэка–Шоулса. 63

6.4. Расчет стоимости опционов по формуле Мертона. 64

6.5. Пример решения задач.. 65

6.6. Задачи для самостоятельной работы.. 65

Литература. 68

 

 


Тема 1. Наращение и дисконтирование по простым процентам

Проценты и процентные ставки

Под процентными деньгами (кратко – процентами) в финансовых расчетах понимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой форме: в виде выдачи денежной ссуды, продажи в кредит, помещения денег на сберегательный счет, учета векселя, покупки сберегательного сертификата или облигаций и т.д.

При заключении финансового или кредитного соглашения стороны (кредитор и заемщик) договариваются о размере процентной ставки – отношения суммы процентных денег, выплачиваемых за фиксированный отрезок времени к величине ссуды. Интервал времени, к которому относится процентная ставка, называют периодом начисления. Ставка измеряется в процентах, записывается в виде десятичной или натуральной дроби. В последнем случае она фиксируется в контрактах до 1/16 или даже 1/32.

Начисление процентов, как правило, производится дискретно, т.е. в отдельные (обычно равноотстоящие) моменты времени, причем в качестве периодов начисления принимают год, полугодие, квартал, месяц (дискретные проценты). Иногда практикуют ежедневное начисление, а в ряде случаев удобно применять непрерывные проценты.

Проценты либо выплачиваются кредитору по мере их начисления, либо присоединяются к сумме долга. Процесс увеличения денежных средств в связи с присоединением процентов к сумме долга называют наращением или ростом первоначальной суммы.

В количественном финансовом анализе процентная ставка применяется не только как инструмент наращения суммы долга, но и в более широком смысле – как измеритель степени доходности (эффективности) финансовой операции или коммерческо-хозяйственной деятельности.

В практике существуют различные начисления процентов, зависящие от условий контрактов. Соответственно применяют различные виды процентных ставок. Одно из основных отличий связано с выбором исходной базы (суммы) для начисления процентов. Ставки процентов могут применяться к одной и той же начальной сумме на протяжении всего срока ссуды или к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами. В первом случае они называются простыми, а во втором – сложными процентными ставками.

Процентные ставки, указываемые в контрактах, могут быть постоянными или переменнымиплавающими»). Плавающие ставки часто применяются во внешнеэкономических операциях. В этом случае значение ставки равно сумме некоторой изменяющейся во времени базовой величины и надбавки к ней (маржи). Примером базовой ставки может служить лондонская межбанковская ставка ЛИБОР (LIBOR – London interbank offered rate) или московская межбанковская ставка МИБОР. Размер маржи определяется целым рядом условий (сроком операции и т.д.). Судя по мировой практике, он обычно находится в пределах 0,5…5 %. В контракте может использоваться и переменный во времени размер маржи.

Теперь рассмотрим методы анализа сделок, в которых предусматриваются разовые платежи при выдаче и погашении кредита или депозита. Задачи такого анализа сводятся к расчету наращенной суммы, суммы процентов или размера дисконта, современной величины (текущей стоимости) платежа, который будет произведен в будущем.

 

Простые переменные ставки

Как известно, процентные ставки не остаются неизменными во времени, поэтому в кредитных соглашениях иногда предусматриваются дискретно изменяющиеся во времени процентные ставки. В этом случае формула расчета наращенной суммы принимает следующий вид

, (1.4)

где – первоначальная сумма (ссуда);

– ставка простых процентов в периоде с номером ;

– продолжительность периода – периода начисления по ставке .

 

Пример 1.2. Пусть в договоре, рассчитанном на год, принята ставка простых процентов на первый квартал в размере 10 % годовых, а на каждый последующий – на 1 % меньше, чем в предыдущий. Определить множитель наращения на весь срок договора.

Решение:

 

Примеры решения задач

Задача 1.1. Фирме выделен банковский кредит на срок с 3 января по 12 марта под простые проценты с процентной ставкой 120 % годовых. Сумма кредита – 80 млн р. Определить по трем методам коэффициент наращения и наращенную сумму.

, , млн р., . Найти: , , .

Решение:

, , , , млн р., млн р., млн р.

Очевидно, что фирме предпочтительнее расчет коэффициента наращения по первому методу. Особенно заметны финансовые различия при . Для предыдущего примера – при сроке кредита с 3 января 1995 г. По 2 января 1996 г.

1) , млн р.,

2) , млн р.,

3) , млн р.

млн р., что составляет примерно 0,76 % от наращенной суммы в пользу коммерческого банка. В кредитном договоре оговаривается, каким методом подсчитывается наращенная сумма.

 

Рассмотрим случай переменной во времени процентной ставки. Пусть первые лет процентная ставка ровна , тогда наращенная сумма к концу первых лет станет

.

Следующие лет процентная ставка равна . Тогда наращенная сумма за лет будет .

В общем случае за лет:

,

где ;

и – интервалы времени и процентные ставки;

– общий срок коммерческой сделки.

Коэффициент наращения:

.

Задача 1.2. Банк принимает вклады на срочный депозит на следующих условиях: процентная ставка при сроке 35 дней – 45 %; при сроке 65 дней – 48 %; при сроке 90 дней – 50 %. Рассчитайте доход клиента при вкладе 10 млн р. на указанные сроки. Год не високосный. Методика расчёта: точные проценты с точным числом дней.

Решение:

Обозначим млн р. – первоначальная сумма; – проценты за весь срок; – наращенная сумма; – доход; – годовая процентная ставка; – число лет; – количество дней, на которое выдан кредит.

Согласно методике расчёта при вычислении точных процентов с точным числом дней (английская система), исчисляется как точное число дней между днём выдачи кредита и днём его возврата (причём день выдачи и возврата считается одним днём); – количество дней в году (год не високосный). Тогда:

.

а) Рассчитаем доход клиента при вкладе 10 млн р. на срок 35 дней ( =35). Процентная ставка при сроке 35 дней – 45 % ( =0,45).

млн р.

млн р.

б) Рассчитаем доход клиента при вкладе 10 млн р. на срок 65 дней ( =65). Процентная ставка при сроке 65 дней – 48 % ( =0,48).

млн р.

млн р.

в) Рассчитаем доход клиента при вкладе 10 млн р. на срок 90 дней ( =90). Процентная ставка при сроке 90 дней – 50 % ( =0,5).

млн р.

млн р.

1.8. Задачи для самостоятельной работы

1. Инвестор приобрел ГКО сроком обращения 6 месяцев на 120-й день периода обращения по цене 92 %. Определить доходность облигации к погашению.

2. ГКО сроком обращения 92 дня приобретена инвестором на 26-й день периода обращения с дисконтом 23 % и продана на 68-й день по цене 91 %. Определить доходность операции инвестора.

3. Инвестор (физическое лицо) приобрел на аукционе ММВБ 20 штук шестимесячных ГКО по курсу 95 % за 2 месяца до погашения. За данную операцию дилеру было уплачено 2 % от суммы сделки. Определить доходность облигации до погашения с учетом комиссионных дилеру.

4. Администрация города принимает решение о выпуске трехмесячных облигаций. Банковская ставка по депозитам на срок, равный сроку обращения облигаций, составляет 7 % годовых. Облигации реализуются среди промышленных предприятий. Определить дисконт, с которым выпускаются облигации. При расчете учесть налогообложение доходов.

5. ГКО со сроком обращения один год продается на аукционе по цене 72 %. По какой цене необходимо приобрести на аукционе ГКО со сроком обращения 3 месяца с тем, чтобы обе облигации имели бы одинаковую годовую доходность? Расчет доходности вести по формуле сложного процента.

6. Администрация города решает выпустить краткосрочные бескупонные облигации, размещаемые с дисконтом 15 %. Банковская ставка по депозитам на срок, равный сроку обращения облигаций, составляет 21 % годовых. Облигации реализуются среди промышленных предприятий. Определите срок (в днях), на который выпускаются облигации. Считать, что в году 365 дней. При расчетах учесть налогообложение прибыли.

7. Бескупонная облигация со сроком обращения 180 дней была приобретена на аукционе по цене 68,51 % от номинала. Спустя некоторое время облигация была продана по цене 73,35 % от номинала. Доходность к аукциону по результатам этой сделки оказалась в 2 раза меньше доходности к погашению. Рассчитайте, через сколько дней после проведения аукциона была совершена указанная сделка купли-продажи.

8. Первый инвестор осуществил покупку одного ГКО по цене 85 % от номинала, а затем продажу по цене 86 % от номинала. Второй инвестор купил одну корпоративную облигацию по цене 85 % от номинала. По какой цене (в процентах от поминала) он должен продать корпоративную облигацию, чтобы получить прибыль, в два раза большую, чем первый инвестор от операции с ГКО (учесть налог на прибыль)?

9. ГКО со сроком обращения 6 месяцев размещается по цене 80 % годовых. По какой цене имеет смысл приобрести на вторичном рынке ГКО, погашаемые через 2 месяца, чтобы годовая доходность по обеим облигациям была одинакова?

 

Формула удвоения суммы

Чтобы оценить свои перспективы, кредитору или должнику следует знать, через сколько лет сумма ссуды возрастет в раз при данной процентной ставке.

Ответ:

Приравняв множитель наращения к величине , получим

а) для простых процентов

, откуда

. (2.3)

б) для сложных процентов

, откуда

. (2.4)

Особенно часто используется . Тогда формулы (2.3) и (2.4) называются формулами удвоения и принимают следующий вид.

1) Для простых процентов

. (2.5)

2) Для сложных процентов

. (2.6)

Если формулу (2.5) легко применять для прикидочных расчетов, то формула (2.6) требует применения калькулятора. Однако при небольших ставках процентов (скажем, менее 10 %) вместо формулы (2.6) можно воспользоваться более простой приближенную. Ее легко получить, если учесть, что , а . Тогда

. (2.6,а)

 

Пример 2.2. Рассчитать, за сколько лет долг увеличится вдвое при ставке простых и сложных процентов, равной 10 %. Для ставки сложных процентов расчеты выполнить по точной и приближенной формулам. Результаты сравнить.

Решение:

а) при простых процентах:

лет;

б) при сложных процентах:

лет;

в) При сложных процентах:

лет.

 

Примеры решения задач

Задача 2.1. Банк принимает валютные вклады физических лиц «до востребования» по номинальной процентной ставке 30 %. Клиент внёс 2000 дол. Определите коэффициент наращения, наращенную сумму при сроке вклада 12 месяцев. Проценты сложные и начисляются: 1) один раз в год, 2) по полугодиям, 3) поквартально, 4) ежемесячно.

Дано: дол., , , . Найти: , .

Решение:

, .

1) , дол.,

2) , дол.,

3) , дол.,

4) , дол.

Расчет показывает, что чем больше периодов начисления процентов, тем более выгодно это клиенту банка. С увеличением общего интервала времени сложные проценты нарастают все быстрее. Разложение формулы сложных процентов в ряд, согласно биному Ньютона, позволяет сделать вывод, что при начислении процентов один раз в год сложные проценты дают бóльшую наращенную сумму по сравнению с простыми при , одинаковую с простыми процентами при и меньшую при .

Если срок депозита или ссуды не составляет целое число периодов, то выделяя дробную часть периода для срока депозита имеем

,

где – число лет;

– число периодов за год;

;

– число дней в нецелой части периода;

– число дней в периоде.

Наращенная сумма в этом случае составит:

.

 

Задача 2.2. При вкладе «до востребования» банк согласно договору имеет право изменить процентную ставку. Клиент внес в коммерческий банк 5 млн р. Первый месяц номинальная процентная ставка составила 240 %, последующие 2 месяца – 144 %, следующий месяц – 84 % и последние 3 месяца – 48 %. Определите коэффициент наращения, наращенную сумму и доход клиента по приведенным ставкам для сложных и простых процентов. Начисление процентов ежемесячное.

Дано: ; млн р.; , ; , ; , ; , .

Найти: , , , , , ).

Решение:

1) по ставке простых процентов:

,

млн р., млн р.

2) по ставке сложных процентов:

,

млн р., млн р.

 

2.12. Задачи для самостоятельной работы

1. Облигация с постоянным купонным доходом была приобретена юридическим лицом за 67 дней до своего погашения по цене 101 % (с учетом накопленного купонного дохода). Длительность последнего купонного периода составляет 94 дня. Размер купона – 17 % годовых. Определите сумму налогов, которую заплатит инвестор (юридическое лицо) при погашении.

2. Облигация с переменным купоном была приобретена юридическим лицом по цене 103 % (с учетом накопленного купонного дохода) от номинала. Срок последнего купонного периода составляет 94 дня. Купонная ставка — 24 % годовых. Налог на процентный доход при погашении составил 7 р. Рассчитайте, какой будет налог на прибыль.

3. Прирост накопленного купонного дохода по облигации серии «А» за несколько дней составил 25 р. У облигации серии «В» для аналогичного прироста накопленного купонного дохода потребовалось на 2 дня больше. При этом ежедневный прирост накопленного купонного дохода у облигации серии «В» на 20 коп. меньше, чем у облигации серии «А». Определите величину текущего купона (в годовых процентах) у облигации серии «В».

4. Инвестор (юридическое лицо) приобрел облигацию с переменным купоном по цене 114 % от номинала, а спустя некоторое время продал ее за 119 %. Определите, сколько дней владел облигацией инвестор, если налог на прибыль, уплаченный инвестором в результате этой операции, составил 4 р. Величина текущего купонного дохода равна 26 % годовых. Длительность текущего купонного периода 92 дня. Все цены приведены с учетом накопленного купонного дохода.

5. Облигация с переменным купоном была приобретена юридическим лицом за 77 дней до своего погашения по цене 103 % (с учетом накопленного купонного дохода) от номинала. Доходность облигации к погашению в этот момент составляла 36 % годовых. Определите размер последнего купона по облигации (в годовых процентах), если длительность последнего купонного периода составляет 94 дня. Налогообложение не учитывать.

6. Облигация с переменным купоном была приобретена юридическим лицом за 108 %, а продана через 22 дня после покупки за 115 %. Цены приведены с учетом накопленного купонного дохода. Доходность от этой операции с учетом налогообложения прибыли составила 29 % годовых. Определить размер текущего купона по облигации.

7. Облигация с переменным купоном была приобретена юридическим лицом по цене 108 % (включая НКД). Доходность облигации к погашению в этот момент составила 32 % годовых (с учетом налогообложения прибыли)- Размер текущего купонного дохода — 24 % годовых. Длительность текущего купонного периода составляет 91 день. Покупка облигации была осуществлена в последний купонный период. Определить, за сколько дней до погашения была куплена облигация.

8. Брокер предлагает своему клиенту два типа договоров па обслуживание. По договору 1 типа брокер удерживает с клиента комиссионные в размере 0,04 % от суммы каждой сделки купли-продажи облигаций. По договору 2 типа брокер удерживает 4 % прибыли, полученной от прироста курсовой стоимости облигаций, приобретенных для клиента. Укажите минимальный уровень доходности от операций купли-продажи облигаций, при котором клиенту выгоднее заключить договор 1 типа. Предполагается, что брокером будет совершено только две операции (покупка и продажа) с облигациями клиента. Налогообложение не учитывать.

 


Тема 3. Потоки платежей

 

Очень часто в контрактах финансового характера предусматриваются не отдельные разовые платежи, а серия платежей, распределенных во времени. Примерами могут быть регулярные выплаты с целью погашения долгосрочного кредита вместе с начисленными на него процентами, периодические взносы на расчетный счет, на котором формируется некоторый фонд различного назначения (инвестиционный, пенсионный, страховой, резервный, накопительный и т.д.), дивиденды, выплачиваемые по ценным бумагам, выплаты пенсий из пенсионного фонда и др. Ряд последовательных выплат и поступлений называют потоком платежей. Выплаты представляются в виде отрицательных величин, а поступления – положительных.

Обобщающими характеристиками потока платежей являются наращенная сумма и современная величина. Каждая из этих характеристик является числом.

Наращенная сумма потока платежей –это сумма всех членов последовательности платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты.

Под современной величиной потока платежей понимают сумму всех его членов, дисконтированных (приведенных) к некоторому моменту времени, совпадающему с началом потока платежей или предшествующему ему.

Конкретный смысл этих обобщающих характеристик определяется природой потока платежей, причиной, его порождающей. Например, наращенная сумма может представлять собой итоговый размер формируемого инвестиционного или какого-либо другого фонда, общую сумму задолженности. Современная величина может характеризовать приведенную прибыль, приведенные издержки.

 

Виды финансовых рент

Классификация рент может быть произведена по различным признакам. Рассмотрим их.

По продолжительности периода ренты делят на годовые и p -срочные, где – число выплат в году.

По числу начислений процентов различают ренты с начислением один раз в году, раз или с непрерывным начислением. Моменты начисления процентов могут не совпадать с моментами рентных платежей.

По величине членов различают постоянные (с равными членами) и переменные ренты. Если размеры платежей изменяются в соответствии с каким-либо математическим законом, то часто появляется возможность вывести стандартные формулы, значительно упрощающие расчеты.

По вероятности выплаты членов различают ренты верные и условные. Верные ренты подлежат безусловной выплате, например, при погашении кредита. Выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события. Поэтому число ее членов заранее не известно. Например, число выплат пенсий зависит от продолжительности жизни пенсионера.

По числу членов различают ренты с конечным числом членов или ограниченные и бесконечные, или вечные. В качестве вечной ренты можно рассматривать выплаты по облигационным займам с неограниченными или не фиксированными сроками.

В зависимости от наличия сдвига момента начала ренты по отношению к началу действия контракта или какому-либо другому моменту ренты подразделяются на немедленные и отложенные, или отсроченные. Срок действия немедленных рент начинается сразу, а отложенных – запаздывает.

Ренты различают по моменту выплаты платежей. Если платежи осуществляются в конце каждого периода, то такие ренты называются обычными, или постнумерандо. Если же выплаты производятся в начале каждого периода, то ренты называются пренумерандо. Иногда предусматриваются платежи в середине каждого периода.

Анализ потоков платежей в большинстве случаев предполагает расчет наращенной суммы (или современной величины ренты).

 

Формулы наращенной суммы

Обычная годовая рента. Пусть в конце каждого года в течение лет на расчетный счет вносится по рублей, проценты начисляются один раз в год по ставке . В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины т.к. на сумму проценты начислялись в течение года. Второй взнос увеличивается до и т.д. На последний взнос проценты не начисляются. Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометрической прогрессии

в которой первый член равен знаменатель – число членов . Искомая сумма равна

где

Параметр и называется коэффициентом наращения ренты. Он зависит только от срока ренты и уровня процентной ставки . Поэтому его значения могут быть представлены в таблице с двумя графами.

 

Пример 3.1. В течение трех лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн р., на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке 10 %. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.

Решение:

Годовая рента с начислением процентов раз в году. Посмотрим, как усложнится формула, если предположить, что платежи производят один раз в конце года, а проценты начисляют раз в году. Это означает, что каждый раз применяется ставка где – номинальная ставка процентов. Тогда члены ренты с начисленными до конца срока процентами имеют вид

Если прочитать предыдущую строку справа налево, то нетрудно увидеть, что перед нами опять геометрическая прогрессия, в которой первым членом является знаменателем – а число членов составляет Сумма членов этой прогрессии и будет наращенной суммой ренты. Она равна

Рента p -срочная, . Найдем наращенную сумму при условии, что рента выплачивается раз в году равными платежами, а проценты начисляются один раз в конце года. Если – годовая сумма платежей, то размер отдельного платежа равен . Тогда последовательность платежей с начисленными до конца срока процентами также представляет собой геометрическую прогрессию, записанную в обратном порядке,

у которой первый член равен знаменатель – а общее число членов равно . Тогда наращенная сумма рассматриваемой ренты равна сумме членов этой геометрической прогрессии

где – коэффициент наращения p -срочной ренты при .

Рента p -срочная, . В контрактах часто начисление процентов и поступление платежа совпадают во времени. Таким образом, число платежей в году и число начислений процентов совпадают, т.е. Тогда для получения формулы расчета наращенной суммы можно воспользоваться формулой годовой ренты с одноразовым начислением процентов в конце года

с той разницей, что все параметры теперь характеризуют ставку и платеж за период, а не за год.

Таким образом получаем

 

Рента p -срочная, . Это самый общий случай p -срочной ренты с начислением процентов раз, причем, возможна ситуация, когда

Первый член ренты равен уплаченный спустя года после начала срока, составит к концу срока вместе с начисленными на него процентами

.

Второй член ренты к концу срока возрастет до

и т.д.

Последний член этой записанной в обратном порядке геометрической прогрессии равен ее знаменатель – число членов составит .

В результате получаем наращенную сумму

.

Отметим, что из данного выражения легко получить все рассмотренные выше частные случаи, задавая соответствующие значения и .

 

Примеры решения задач

Задача 3.1. Акционерное общество решило создать резервный фонд. Размер фонда 600 млн р., создать его необходимо за 6 лет. Взносы в фонд вносятся ежегодно равными платежами в конце каждого года. Определите размер ежегодного платежа, если годо







Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2024 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.