Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Модификация портфеля ценных бумаг (задача Тобина)





Оказалось, что решение задачи резко упрощается и приобретает новые особенности, если учесть простой факт: кроме рисковых бумаг на рынке имелись и безрисковые типа государственных обязательств с фиксированным доходом.

Итак, как должен инвестор скомбинировать рисковую и безрисковые части портфеля, чтобы минимизировать дисперсию портфеля при выбранной или средней эффективности портфеля ?

В строгой постановке получаем следующую задачу квадратичного программирования:

 

 

Здесь , – соответственно эффективность и доля безрисковой части портфеля, при этом естественно предполагается, что > m.

Пусть – эффективность безрискового вклада, – ожидаемая эффективность портфеля рисковых ЦБ (). Известна вариация эффективности этого портфеля; – доля капитала, которую нужно вложить в безрисковые ЦБ.

Тогда – эффективность комбинированного вклада. Ниже представлены характеристики этого вклада:

;

;

;

.

 

 

           
   
 
 
 
 


Рис.5.1

 

Если весь капитал инвестора составляют безрисковые ЦБ , то , а риск равен 0.

Если весь наличный капитал внесён в рисковые ЦБ, то . Любому промежуточному риску соответствует одна из точек на отрезке прямой. Если возможно брать безрисковые ЦБ в долг , то достижимая и любая эффективность, сопровождается соответственно растущим риском.

Эта задача без риска ограничена на не отрицательность элементов структуры называется задачей Тобина. Решается она аналогично задаче Марковица методом множителей Лагранжа и её решение имеет вид

 

Дисперсия портфеля оптимальной структуры определяется формулой

или

 

В случае некоррелированности эффективностей матрица ковариации V диагональная, обратная ей матрица также диагональная. Поэтому формулы для элементов структуры оптимального портфеля и для дисперсии эффективности его имеют вид:

 

Как видно из этих формул, безрисковая часть будет входить в портфель, т.е. , если

 

 

При в портфеле будет при проявлении только рисковая часть ().

При в портфеле будет присутствовать только безрисковая часть, т.е. .

Интересен вывод, сделанный Тобиным:

Если есть возможность выбирать не только между заданным рисковым портфелем и безрисковой ЦБ, но и выбирать структуру рискового портфеля, то оптимальной окажется только одна структура, не зависимая от склонности инвестора к риску.

Приведём диаграмму, являющуюся следствием формальных результатов.

 

Рис.5.2

 

Пусть сначала сделан наилучший выбор только среди всех рисковых ЦБ. В зависимости от склонности к риску инвестор выберет одну из точек на кривой R.

После этого возникает возможность вклада в рисковые, и в безрисковые ЦБ. Проведя касательную к кривой R из точки , , найдём точку с координатами , дающую характеристики оптимального рискового портфеля.

Превышение средней эффективности ценной бумаги над эффективностью безрискового вклада называется премией за риск: .

 

Задача 5.1. Доказать следующий факт: премия за риск конкретной ценной бумаги, включённой в портфель, пропорциональна премии за риск портфеля в целом:

где – бетта-вклады ценной бумаги в оптимальный портфель, т.е отношение ковариации эффективности ценной бумаги и портфеля к вариации портфеля.

;

 

Доказательство:

Поэтому . Последнее выражение позволяет найти вектор . В самом деле

или

;

Чем больше бетта данной ЦБ, тем выше доля общего риска, связанная с вложением именно в эту ценную бумагу. Вмести с тем, чем больше бетта, тем выше и премия за риск. Если в такой портфель вложить лишь часть имеющихся средств, а остальные оставить в безрисковом вкладе, то можно получить портфель с еще меньшим риском, но зато проиграть в эффективности.

 

5.5. Задачи для самостоятельной работы

1. Запишем вариацию доходности портфеля – в форме

и назовем величину портфельной ковариацией доходности i -й ценной бумаги. Доказать, что в оптимальном портфеле эти ковариации пропорциональны превышению эффективности ценных бумаг над безрисковыми вложениями (подразумевается, что последние на рынке имеются).

2. С помощью компьютера найден оптимальный портфель Марковича для трех ценных бумаг с эффективностями и рисками: (4,10); (10,40); (40,80); нижняя граница доходности задана равной 15. Доли бумаг оказались равными 46, 28 и 26 %, минимальный риск – 25,4, доходность оказалась равной заданной – 15. Проверить компьютерные расчеты.

3. С помощью компьютера найден оптимальный портфель максимальной эффективности для трех ценных бумаг с доходностью и риском: (4, 10); (10,40); (40, 80) (те же ценные бумаги, что и в примере 1); верхняя граница риска задана равной 50. Доли бумаг оказались равными 6, 34 и 60 %. Проверить компьютерные расчеты.

4. Из двух некоррелированных ценных бумаг с эффективностями m1 = 2 и m2 = 6 и рисками r1 = 10 и r2 = 20 с помощью компьютера составлено шесть портфелей: в портфеле с номером k доля первых бумаг х = 1–0,2 k, доля вторых равна (1–х), т.е. портфель, состоящий только из бумаг 1-го вида, получает номер 0, а портфель, состоящий только из бумаг 2-го вида получает номер 5. Компьютер нашел их эффективности и риски.

Эффективности 2,0 2,8 3,6 4,4 5,2 6,0
Риски 10,0 8,9 10,0 12,6 16,1  
Портфели            

Проверьте компьютерные расчеты. Затем нанесите портфели как точки на плоскость риск – эффективность и отметьте доминируемые портфели и недоминируемые, т.е. оптимальные по Парето.

5. Имея безрисковые ценные бумаги с эффективностью m0 = 4 и некоррелированные рисковые с эффективностями m1 = 8 и m2 = 14 и рисками r1 = 10 и r2 = 30, с помощью компьютера составили портфель Тобина эффективности 12. Доли бумаг получились такими: х0 = –0,51, х1 = 1,18, х2 = 0,33. Проверьте компьютерные расчеты. Как понимать отрицательную долю безрисковых бумаг?

6. В портфеле бумаги с доходностью d1 = 5 % годовых составляют x1 = 30 % по стоимости, а остальные бумаги имеют доходность d2 = 8 % годовых. Какова доходность портфеля?

7. Сформировать портфель Тобина минимального риска из двух видов ценных бумаг: безрисковых с эффективностью m0 = 2 и рисковых с эффективностью m1 = 10 и риском r1 = 5. Найти зависимость эффективности портфеля от его риска.

8. Сформировать портфель Тобина максимальной эффективности и риска не более заданного из трех видов ценных бумаг: безрисковых с эффективностью m0 = 2 и некоррелированных рисковых ожидаемой эффективности m1 = 4 и m2 = 10 и рисками r1 = 2 и r2 = 4. Каковы соотношения доли бумаг в рисковой части оптимального портфеля?

9. Убедитесь самостоятельно в справедливости следующих неравенств:

 

10. Поставить обе задачи сформировать портфели Тобина: минимального риска при заданной эффективности и максимальной эффективности при заданном риске из трех видов ценных бумаг: безрисковых с эффективностью m0 = 2 и рисковых с ожидаемой эффективностью m1 = 6 и m2 = 8 и рисками r1 = 4 и r2 = 9 и взаимной корреляцией k = 9.

 







ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2024 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.