Буквенные выражения и числовые подстановки

Задания на вычисление значений буквенных выражений будут встречаться учащимися на протяжении всех лет обучения в школе по ходу введения новых выражений и изучения чисел новой природы. Такое внимание к заданиям подобного рода объясняется тем, что при их выполнении требуется владение целым комплексом знаний и умений. А именно: требуется понимание смысла символической записи, структуры данного выражения, владение понятием «допустимые значения букв», умение выполнить числовую подстановку и правильно записать получившееся числовое выражение, умение произвести вычисления над заданными числами. Заметим также, что задания на вычисление значений буквенных выражений полезны в качестве пропедевтики к изучению функций и просто для поддержания вычислительных навыков.

В данном пункте появляются основные термины, которые должны войти в активный словарь учащихся, и на примере разъясняется приём вычисления значения буквенного выражения. При рассмотрении примера следует обратить внимание учащихся на то, как изменился «внешний вид» выражения при замене букв числами: десятичную дробь мы заключили в скобки (как это принято при записи степени десятичной дроби); между множителями a и b восстановили точку — знак умножения. Полезно также подчеркнуть, что при выполнении числовой подстановки важно не забыть заменить числами все содержащиеся в выражении буквы. При этом одну и ту же букву заменяют одним и тем же числом (так, вместо буквы а мы дважды подставили 0,5).

Формирование умения правильно выполнить числовую подстановку и вычислить соответствующее значение буквенного выражения — главная практическая цель данного пункта. Заметим, что не следует усложнять эту задачу, предлагая учащимся выражения более сложной структуры, чем содержащиеся в учебнике (задания 633 — 635). Не нужно также усиливать вычислительную сторону заданий. Что касается понятия «допустимые значения букв», то пока речь идёт об осознании самой идеи: в выражение не всегда можно подставлять какие угодно числа; ограничения на числовые значения букв накладываются содержащимися в выражении действиями, а также условиями рассматриваемой ситуации (если речь идёт о составлении выражения по тексту сюжетной задачи). Отработка навыков на этом этапе не предполагается.

633—634. Желательно приучать учащихся вести запись цепочкой, как в рассмотренном примере. Промежуточные вычисления следует записывать, а не держать числа в уме. Отдельные действия в случае затруднений можно выполнять письменно в стороне.

636. Ученики не должны ограничиваться просто устным ответом. Так, в случае «б» следует записать равенство ас + bc = 11,2 и дать пояснение со ссылкой на распределительное свойство.

637. Нужно увидеть меняющийся компонент действия, именно его и следует заменить буквой.

641. Полезно дать дополнительное задание на вычисление, как в упражнении 639.

642. Не надо выполнять задание формально, путём решения соответствующего уравнения. Правильность ответа желательно проверять вычислением.

Для учащихся формула — это буквенное равенство, которое описывает правило вычисления значений некоторой величины. Важно убедиться, что ученики осознают разницу между буквенным выражением и формулой. Формула (в отличие от выражения) состоит из двух частей, соединённых знаком «=». В её левой части записана буква, обозначающая величину, значения которой вычисляются по этой формуле, в правой — буквенное выражение, показывающее, какие действия и над какими числами надо выполнить.

Теоретическая часть пункта посвящена составлению нескольких важных формул: периметра и площади прямоугольника (в частности, квадрата), периметра треугольника (в том числе равностороннего), объёма параллелепипеда, а также пути при движении с постоянной скоростью. Правила вычисления указанных величин учащимся хорошо знакомы, и теперь надо от их словесной формулировки перейти к символической записи. При составлении формул (здесь и далее) можно идти «от конкретного к абстрактному», как это сделано в примерах 1 и 4, а именно: сначала записать выражение для вычисления рассматриваемой величины при числовых значениях исходных данных, а потом, обобщая, заменить их буквами.

Упражнения к пункту направлены на формирование умения составлять несложные формулы и вычислять по формулам (задания 651 — 654, 658 — 660, 663, 664), а также выражать одну из величин, входящих в формулу, через другие (задания 655 — 657, 661, 662).

На данном этапе следует стремиться к тому, чтобы ученики поняли принципиальную возможность использования формулы для нахождения любой из входящих в неё величин и могли бы делать это в простейших случаях (в формулах типа S = nt, A = M – m). При этом ученики могут действовать следующими способами: или выразить одну величину через другую, а затем выполнить числовую подстановку, или сразу подставить в данную формулу значения букв и после этого найти искомую величину. В любом из этих случаев для выражения из формулы какой-либо величины они могут опираться на правила нахождения неизвестных компонентов действий. Однако более полезно на данном этапе содержательное решение задачи. Например, чтобы выразить из формулы периметра треугольника P = a + b + c сторону b, ученик может рассуждать так: если известны периметр и две стороны треугольника a и с, то, чтобы найти сторону b, надо из периметра вычесть длины сторон a и с, т. е. b = P – a – c.

651. Ученики могут рассуждать по-разному. Например, так:
P = x + x + x + x + a + a = x · 4 + a · 2 = 4 х + 2 а. Или так: четыре стороны имеют длину, равную x, значит, в сумме их длины составляют 4 x; две стороны имеют длину, равную а, и в сумме их длины составляют 2 а. Отсюда
Р = 4 х + 2 а.

660. Задание трудное, здесь требуется своего рода «геометрическое видение».

а) Длины двух отрезков — вертикального и горизонтального — известны: это х и у. И нет никаких данных о том, каковы длины остальных отрезков. Но можно увидеть, что сумма длин двух горизонтальных отрезков равна у, а двух вертикальных равна х. Поэтому р = 2 х + 2 у.

б) Пусть ученики подпишут на рисунке длины вертикальных
отрезков — это а и х. Понятно, что сумма длин горизонтальных отрезков равна у. Таким образом, Р = 2 х + 2 у + 2 а.

Формулы длины окружности, площади круга и объёма шара

Окружность, круг, шар — это те геометрические объекты, которые учащимся хорошо знакомы как из курса математики, так и из реальной жизни. У учеников имеются также начальные представления о длине произвольной линии, площади фигуры произвольной формы, объёме тела. Поэтому в качестве введения достаточно сказать, что в математике есть специальные формулы, которые позволяют вычислять указанные в названии величины — длину окружности, площадь круга и объём шара.

Понятно, что это первый, пропедевтический этап знакомства с указанными формулами. Его цель — расширить круг прикладных умений учеников путём их знакомства с формулами принципиально новой природы, усилить связь обучения математике с реальной жизнью.

Изложение материала в учебнике начинается с описания эксперимента по нахождению отношения длины окружности к диаметру. Этот эксперимент должен проделать каждый ученик, например в качестве домашнего задания. У каждого ученика будет свой «круглый» предмет (чашка, кастрюля, пластина круглой формы и т. д.). Нужно предупредить учащихся о необходимости аккуратного выполнения измерений, о желаемой точности результата (достаточно найти первый знак после запятой). Затем результаты, полученные учащимися, надо выписать на доске. Важно подчеркнуть удивительность обнаруженного факта: у всех получилось число, близкое к числу 3.

Полезно, чтобы формулы длины окружности, площади круга и объёма шара, изображённые на специальном плакате, были вывешены в классе. Учащиеся на данном этапе могут их не запоминать. Но они должны увидеть некоторые их особенности: в каждую формулу входит число π; в формуле длины окружности буква r содержится в первой степени, в формуле площади
круга — во второй, объёма шара — в третьей.

Упражнения к пункту направлены на формирование умений вычислять по рассмотренным формулам. При записи цепочки вычислений приходится заменять точное значение величины приближённым значением (при замене числа π его приближённым значением, при округлении результата). Желательно, чтобы учащиеся понимали эту особенность выполняемых действий и осознанно использовали в соответствующих случаях знак приближённого равенства. В качестве образца рассуждений и записи решения можно использовать примеры из текста учебника.

В качестве приближённого значения числа π в ходе вычислений следует брать число 3,14. Заметим также, что учащимся не известны правила записи результата при выполнении действий с приближёнными значениями, поэтому в учебнике часто содержится указание, до какого разряда следует округлять ответ. При необходимости такое указание должен дать учитель.

670. Обратите внимание учащихся на приближённую формулу длины окружности. Её удобно использовать в бытовых расчётах, когда результат достаточно определить грубо.

675. Удобно ввести обозначения С ₁ и С ₂. Тогда С ₁= 2π · 2 = 4π,
С ₂= 2π · 4 = 8π. Формально надо было бы найти отношение С ₂ к С ₁, но и так понятно, что длина второй окружности в 2 раза больше.

Точно так же S ₁= π · 2²= 4π, S₂= π · 4²= 16π. Площадь второго круга в 4 раза больше.

677. В качестве дополнительного задания можно предложить составить общие формулы, например для вычисления длины дорожки вокруг стадиона. Если обозначить длину дорожки буквой l, площадь стадиона буквой S, а диаметры полукруглых частей буквой d, то получим формулу l = π d + 2 d. Можно записать и приближённую формулу: l ≈ 3,14 d + 2 d = 5,14 d. (Это задание достаточно трудное.)

678. Площадь кольца равна разности площадей кругов с радиусами 5 см и 3 см: S = 25π – 9π. Далее ученики могут рассуждать по-разному: дважды подставить вместо π число 3,14, дважды выполнить умножение, а затем вычитание; или догадаться, что 25π – 9π = 16π, а уже затем выполнить подстановку. Следует дать указание: полученное числовое значение надо округлить до десятков. (Ответ: ≈ 50 см².)

681. Задание трудное, оно только для сильных учеников. Задача похожа на задачу о площади кольца (см. упражнение 678), только здесь надо найти разность двух объёмов — апельсина с кожурой (радиус равен 4 см) и апельсина без кожуры (радиус равен 3 см). Ответ: несъедобной.

Материал этого пункта — это своего рода введение в один из основных разделов курса алгебры «Уравнения». Его основная цель — знакомство с понятием уравнения, которое вводится в контексте перевода некоторого сюжета на математический язык. Подчеркнём, что уравнения здесь решаются только на основе правил нахождения неизвестных компонентов действий; алгебраические приёмы будут рассмотрены в 7 классе.

Бо́льшая часть упражнений к пункту — это текстовые задачи, по условию которых надо составить уравнение, при этом решить составленное уравнение требуется не всегда (более того, при переводе условия задачи на математический язык учащиеся могут прийти к уравнению, алгоритмом решения которого они пока не владеют — неизвестное будет содержаться в обеих частях записанного равенства). Если рассматривать данный материал с точки зрения подготовки учащихся к овладению алгебраическим методом решения задач, то следует констатировать, что акцент здесь сделан на первом его шаге — составлении уравнения.

697. а) Учащиеся могут предложить разные варианты составления уравнения.

Если обозначить через х меньшее количество карандашей, то можно составить такое уравнение: х + (х + 5) = 27. Если обозначить через х большее количество карандашей, то получим уравнение х + (х – 5) = 27.

Можно рассуждать иначе. Пусть в одной коробке х карандашей, тогда в другой (27 – х) карандашей. Далее составляются разные уравнения в зависимости от того, что принято за х — большее или меньшее количество карандашей: х – (27 – х) = 5 или (27 – х) – х = 5.

При решении задач такого рода первый вариант предпочтительнее.

699. а) Обозначим через х возраст Юли, т. е. младшей девочки. Уравнение можно записать по-разному, например: 3 х – х = 8 или х + 8 = 3 х.

700. а) Обозначим через х количество бензина (в литрах) во втором баке. Для составления уравнения удобно записать таблицу:

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

ЧТО ТАКОЕ УВЕРЕННОЕ ПОВЕДЕНИЕ В МЕЖЛИЧНОСТНЫХ ОТНОШЕНИЯХ? Исторически существует три основных модели различий, существующих между...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: