Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Разность цифр на чётных и нечётных позициях





На 11 делятся только те числа, у которых разность между суммой цифр, занимающих нечётные места,и суммой цифр, занимающих чётные места, делится на 11.

Примеры. Число 103785 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечётные места, 1+3+8=12 равна сумме цифр, занимающих чётные места 0+7+5=12. Число 9 163 627 делится на 11, так как сумма цифр, занимающих нечётные места, есть 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а сумма цифр, занимающих чётные места, есть 1 + 3 +2 =6; разность между числами 28 и 6 есть 22, а это число делится на 11. Число 461025 не делится на 11, так как 4+ 1 + 2 = 7 и 6 +0 + 5=11 а их разность 11 —7 = 4 на 11 не делится.

Признак обобщается на группы цифр нечётной длины. При необходимости, к числу можно приписать нули

Примеры. Число 103785 делится на 11, так как разбивается на блоки 103 и 785, и сумма чисел в нечётных блоках (103) отличается от суммы чисел в чётных блоках (785) на число 682, делящееся на 11. Число 9 163 627 делится на 11, так как 009+627=636 отличается от 163 на число 636-163=473, делящееся на 11. Число 461025 не делится на 11, так как 461-025=436 не делится на 11.

Разность единиц и десятков

Ещё один признак: отнимайте единицы от десятков. Если результат делится на 11, то и само число тоже.

Пример. 103785 10378-5=10373 1037-3=1034 103-4=99 9-9=0

Признак обобщается на нечётные степени 10.

Пример. 103785 делится на 11, так как число тысяч (103) минус число единиц равно 103-785=-682 делится на 11.

Сумма блоков по две цифры

Число разделяется на группы по две рядом стоящие цифры (если необходимо, добавляется нуль в конец или начало числа). Если сумма полученных чисел делится на 11, то и само число делится на 11.

Примеры. Число 103785 делится на 11, так как 10+37+85=132 делится на 11. Число 9 163 627 делится на 11, так как 09+16+36+27=88 делится на 11 (или потому что 91+63+62+70=286 делится на 11). Число 461025 не делится на 11, так как 46+10+25=81 не делится на 11.

Признак делимости на 13

Число делится на 13 тогда и только тогда, когда сумма числа, полученного отбрасыванием последней цифры и учётверённой последней цифры, делится на 13. Например 845: 13, так как 84+(4*5)=104:13 10+(4*4)= 26:13.

Признак делимости на 17

Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного проще — число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятерённым числом единиц кратна 17 (например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15; поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17).

Признак делимости на 19

Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 × 2) = 76 делится на 19).

Признак делимости на 20

Число делится на 20 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 0 и его предпоследняя цифра чётная.

Признак делимости на 23

Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков и единиц, кратно 23 (например, 28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414; продолжаем: 4 + (3 * 14) = 46 — очевидно, делится на 23).

Признак делимости на 25

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда число, образованное его последними двумя цифрами делится на 25 (то есть последние две цифры образуют 00, 25, 50 или 75).

Признак делимости на 99

Разобьём число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдём сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.

Признак делимости на 101

Разобьём число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдём алгебраическую сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101.

Признак делимости на 2 n

Число делится на n-ю степень двойки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень. (n>0)

Признак делимости на 5 n

Число делится на n-ю степень пятёрки тогда и только тогда, когда число, образованное его последними n цифрами, делится на ту же степень. (n>0)

Признак делимости на 10 n − 1

Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп, считая их n-значными числами. Эта сумма делится на 10 n − 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10 n − 1.

Признак делимости на 10 n

Число делится на n-ю степень десятки тогда и только тогда, когда n его последних цифр — нули.

Признак делимости на 10 n + 1

Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их n-значными числами. Эта сумма делится на 10 n + 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10 n + 1.

Основна́я теоре́ма арифме́тики утверждает:

Каждое натуральное число n > 1 представляется в виде , где — простые числа, причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.

Единицу можно также считать произведением нулевого количества простых чисел, «пустым произведением».

Как следствие, каждое натуральное число n единственным образом представимо в виде

где — простые числа, и — некоторые натуральные числа.

Такое представление числа n называется его каноническим разложением на простые сомножители.

Следствия

  • Основная теорема арифметики даёт элегантные выражения для наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.

Доказательство

Доказательство основной теоремы арифметики опирается на лемму Евклида:

Если простое число p делит без остатка произведение двух целых чисел , то p делит x или y.


Существование. Пусть n — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если n составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел, значит, n тоже является произведением простых чисел. Противоречие.

Единственность. Пусть n — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть p — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если p входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на p и получить два разных разложения числа n / p, что невозможно. А если p не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на p, а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству.

Ма́лая теоре́ма Ферма́ — классическая теорема теории чисел, которая утверждает, что

Если p — простое число, и целое a не делится на p, то a p − 11 (mod p) (или a p − 1 − 1 делится на p).

Иная формулировка:

Для любого простого p и целого a, (a p − a) делится на p.

Доказательство

Обобщения теоремы

  • Если p простое число, а m и n — такие положительные целые числа, что , тогда . Это утверждение используется в системе шифрования с открытым ключом RSA.
  • Малая теорема Ферма является частным случаем теоремы Эйлера, которая, в свою очередь, является частным случаем теоремКармайкла и Лагранжа.
  • Малая теорема Ферма также имеет изящное обобщение в теории конечных полей.

Теорема Вильсона — теорема теории чисел, которая утверждает, что

p — простое число тогда и только тогда, когда (p − 1)! + 1 делится на p

Практическое использование теоремы Вильсона для определения простоты числа нецелесообразно из-за сложности вычисленияфакториала.

 

 

Свойства НОК

  • Коммутативность:
  • Ассоциативность:
  • Связь с наибольшим общим делителем gcd(a,b):

  • В частности, если a и b — взаимно-простые числа, то:
  • при
  • Наименьшее общее кратное двух целых чисел m и n является делителем всех других общих кратных m и n. Более того, множество общих кратных m, n совпадает с множеством кратных для НОК(m, n).
  • Асимптотики для могут быть выражены через некоторые теоретико-числовые функции. Так, функция Чебышёва . А также:
    • . Это следует из определения и свойств функции Ландау g(n).
    • , что следует из закона распределения простых чисел.

Свойства НОД

  • Основное свойство: наибольший общий делитель m и n делится на любой общий делитель этих чисел. Пример: для чисел 12 и 18 наибольший общий делитель равен 6; он делится на все общие делители этих чисел: 1, 2, 3, 6.
    • Следствие 1: множество общих делителей m, n совпадает с множеством делителей НОД (m, n).
    • Следствие 2: множество общих кратных m, n совпадает с множеством кратных НОК (m, n).
  • Если m делится на n, то НОД (m, n) = n. В частности, НОД (n, n) = n.
  • — общий множитель можно выносить за знак НОД.
  • Если D = (m, n), то после деления на D числа становятся взаимно простыми, то есть, . Это означает, в частности, что для приведения дроби к несократимому виду надо разделить её числитель и знаменатель на их НОД.
  • Мультипликативность: если a 1, a 2 взаимно просты, то:

  • Наибольший общий делитель чисел m и n может быть определён как наименьший положительный элемент множества всех ихлинейных комбинаций:

и поэтому (m, n) представим в виде линейной комбинации чисел m и n:

.

Это соотношение называется соотношением Безу, а коэффициенты u и vкоэффициентами Безу. Коэффициенты Безу эффективно вычисляются расширенным алгоритмом Евклида. Это утверждение обобщается на наборы натуральных чисел — его смысл в том, что подгруппа группы , порождённая набором , — циклическая и порождается одним элементом: НОД .

Свойства Арифм. прогрессии

  1. Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и следующего члена прогрессии:
    .
    • Обратное также верно, то есть это свойство является признаком арифметической прогрессии.
    • Доказательство:

аналогично

  1. Сумма n первых членов арифметической прогрессии может быть выражена формулами

    • Доказательство:
      • Через сумму:

      • По индукции:

  1. Сумма n последовательных членов арифметической прогрессии начиная с члена k:

  1. Пример суммы арифметической прогрессии является сумма ряда натуральных чисел до n включительно:

  1. Произведение членов арифметической прогрессии выражается через Гамма-функцию.






Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

ЧТО ПРОИСХОДИТ ВО ВЗРОСЛОЙ ЖИЗНИ? Если вы все еще «неправильно» связаны с матерью, вы избегаете отделения и независимого взрослого существования...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2024 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.