|
Законы Кирхгофа – топологические уравненияСтр 1 из 12Следующая ⇒ Математическое описание процессов в ЭЦ базируется на уравнениях двух типов – полюсных и топологических. Последние отражают свойства схемы, которые определяются только топологией и не зависят от того, какие элементы входят в состав ветвей. Первый закон Кирхгофа устанавливает связь между токами ветвей в каждом из узлов схемы (ЭЦ) и формулируется так: алгебраическая сумма мгновенных значений токов всех ветвей, сходящихся в узел, равна нулю для любого момента времени: Здесь N – число ветвей в рассматриваемом узле. Правило знаков. Ток берется со знаком плюс, если он входит в узел, и со знаком минус, если он выходит из узла. Перед составлением уравнений задаются направлениями токов в ветвях. Число линейно независимых уравнений по 1-ому закону Кирхгофа на единицу меньше числа узлов. Если число уравнений равно ХI, то справедливо равенство: ХI = y – 1. Пример 5. Задана схема (рис. 1.22).
Рис. 1.22 Зададимся направлением токов (произвольно). Число узлов y = 4. Число уравнений ХI = y – 1 = 3. Выбираем три узла 1, 2 и 4. К узлу 1 подключены три ветви: первая, четвертая и пятая. Первый i1(t) и пятый i05(t) токи выходят из узла, а четвертый i4(t) – входит. Следовательно, в уравнение для узла "1" токи i1(t) и i05(t) войдут со знаком "–", а четвертый i4(t) – со знаком "+". –i1(t) + i4(t) – i05(t) = 0. К узлу "2" подключены три ветви: первая, вторая и третья. Ток i1(t) входит в узел, а токи i2(t) и i3(t) – выходят из узла. Следовательно, в уравнение для узла "2" ток i1(t) войдет со знаком "+", а токи i2(t) и i3(t) – со знаком минус. i1(t) – i2(t) – i3(t) = 0. Аналогично составляем уравнение для узла "4". i 2(t) + i05(t) – i4(t) – i6(t) – i7(t) = 0. Второй закон Кирхгофа устанавливает связь между напряжениями на участках схемы, входящих в произвольный контур, и формулируется так: алгебраическая сумма мгновенных значений напряжений, входящих в замкнутый контур, в любой момент времени равна нулю: . Здесь r – число элементов, входящих в контур. Учитывая, что положительное направление напряжения источника э.д.с. противоположно направлению э.д.с., закон можно записать в виде . Здесь rе – число источников э.д.с., входящих в контур. Закон можно сформулировать так: алгебраическая сумма мгновенных значений напряжений на пассивных элементах в замкнутом контуре равна алгебраической сумме э.д.с., входящих в этот контур, для любого момента времени. Правило знаков: напряжение или э.д.с. берутся со знаком плюс если их направление совпадает с выбранным направлением обхода контура, и со зна- ком минус, если не совпадает. Нужно помнить, что положительное направление напряжения на пассивном элементе (R, L, C) совпадает с направлением тока, поэтому напряжение на пассивном элементе берется со знаком плюс, если направление обхода контура совпадает с направлением тока в этом элементе. Пример 6. Задана схема (рис. 1.23).
Рис. 1.23 Задаемся произвольно направлением токов i1(t), i2(t), i3(t) и i4(t). Выбираем произвольно направление обхода контура – по часовой стрелке. Уравнение по II закону Кирхгофа примет вид: – – ℮1(t) – ℮4(t). Слагаемые взяты со знаком минус, так как ток i3(t) направлен навстречу направлению обхода контура. Аналогично э.д.с. ℮4(t) взята со знаком минус. Уравнения по II закону Кирхгофа числом ХII чаще всего входят в систему уравнений для определения токов ветвей. Если число ветвей обозначено в, а число ветвей с источниками токов вi, то очевидно, что число Х неизвестных токов, а следовательно и число уравнений всей системы по законам Кирхгофа определится: Х = в – в i = ХI + ХII Таким образом, Х = ХI + ХII, но ХI = y – 1, поэтому ХII = в – в i – (y – 1) = в – в i – y + 1. Кроме приведенной формулы расчета числа уравнений по II закону Кирхгофа существует связь между независимыми контурами схемы, главными ветвями и числом уравнений ХII. Число ХII уравнений в системе определения токов ветвей равно числу главных ветвей и равно числу независимых контуров. Алгоритм составления систем уравнений по законам Кирхгофа для определения токов ветвей состоит в следующем. 1. Обозначают узлы и строят дерево, а затем граф схемы, по которому определяют число независимых контуров. 2. Выбирают независимые контуры и задаются направлением их обхода. 3. Определяют число ХI уравнений по формуле: ХI = y – 1. 4. Задаются направлением токов ветвей, не содержащих источников тока (произвольно). 5. Составляют систему из ХI уравнений по I закону Кирхгофа. 6. Определяют число ХII уравнений, равное числу независимых контуров. 7. Составляют ХII уравнений для независимых контуров схемы. 8. Выражают напряжения на пассивных элементах через их токи с помощью полюсных уравнений.
Пример 7. Задана схема (рис. 1.24).
Рис. 1.24
Требуется составить систему уравнений относительно токов ветвей во временной области на основании законов Кирхгофа. 1. Строим дерево и граф схемы (рис. 1.25):
Рис. 1.25 Ветви 2 и 7 содержат источники тока, имеющие бесконечно большое сопротивление, поэтому на дереве и графе они не изображаются. Из графа следует, что главных ветвей две. Следовательно два независимых контура и два уравнения по II закону Кирхгофа. ХII = 2. 2. Задаемся направлениями обхода контуров по часовой стрелке. 3. Определяем ХI = y – 1 = 5 – 1 = 4. 4. Задаемся направлением тока ветвей, не содержащих источников тока (рис. 1.26).
Рис. 1.26 5. Записываем уравнения по I закону Кирхгофа: для узла 1: i4(t) – i1(t) + i6(t) = 0; для узла 2: i1(t) + i02(t) – i3(t) = 0; для узла 3: i3(t) – i5(t) – i8(t) = 0; для узла 4: i8(t) – i6(t) – i07(t) = 0. 6. Записываем уравнения по II закону Кирхгофа. Для верхнего контура (ветви первая, третья, пятая и четвертая): = ℮1(t). Для нижнего контура (ветви четвертая, пятая, восьмая, шестая) – – = – ℮8(t). 7. Выражаем напряжения на элементах через токи: = ℮1(t); = – ℮8(t). 8. Записываем полную систему уравнений:
Пример 8. Задана схема (рис. 1.27).
Рис. 1.27 Требуется составить систему уравнений Кирхгофа. 1. Строим дерево и граф схемы (рис. 1.28):
Рис. 1.28 Ветвь 5 содержит источник тока, имеющий бесконечно большое сопротивление, поэтому на дереве и графе она не изображается. Из графа следует, что главных ветвей три, следовательно три независимых контура и три уравнения по II закону Кирхгофа. ХII = 3. 2. Задаемся направлением обхода независимых контуров по часовой стрелке. 3. Определяем ХI = y – 1 = 5 – 1 = 4. 4. Задаемся направлением тока ветвей, не содержащих источников тока (рис. 1.29):
Рис. 1.29
5. Записываем уравнения по I закону Кирхгофа: 6. Записываем уравнения по II закону Кирхгофа – = – ℮2(t); – ℮6(t); = ℮2(t). 7. Выражаем напряжения на элементах через токи: 8. Записываем полную систему уравнений:
Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор... Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все... ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры... Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)... Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:
|