Алгоритм перехода к комплексной схеме

1. Источники е(t) = Е_mSin(ωt+ψ) или i₀(t) = Ι_mSin(ωt+ψ) представляем их комплексными значениями:

^{jψ jψ}

е(t), i₀₍t)

^{jψ jψ}.

В схемах источники обозначаются также, как и во временной области.

2. Пассивные элементы R, C, L представляем их комплексными сопротивлениями:

R → Z _R = R;

L → Z _L = jωL;

C → Z _C = –j .

Все комплексные сопротивления обозначаются (рис. 2.31):

.

Рис. 2.31

Токи всех ветвей нужно обозначить комплексными действующими значениями , если они комплексные действующие, или комплексными амплитудными значениями если они комплексные амплитудные.

Перейти к комплексной схеме замещения означает изобразить ее и рассчитать её параметры.

Пример 17. Перейти к комплексной схеме замещения, если схема во временной
области имеет вид (рис. 2.32):

Рис. 2.32

Изображаем комплексную схему (рис. 2.33):

Рис. 2.33

20()^-1 В – комплексное действующее значение э.д.с.

Z _C = –j(ωC)^-1 = –j(100·100·10^-6)⁻¹ = –j100 Ом.

Частота ω = 100 рад/с задается сигналом источника.

Z _L = jωL = j100 Ом.

Z _R = 100 Ом.

Законы Кирхгофа в комплексной форме

Мгновенные значения токов и напряжений различных ветвей схемы связа-

ны законами Кирхгофа. Учитывая, что суммированию гармонических функций времени соответствует суммирование их комплексных изображений, перейдем к законам Кирхгофа в комплексной форме.

Ι закон Кирхгофа

Алгебраическая сумма комплексных амплитудных или комплексных действующих значений токов ветвей, подключенных к любому узлу, равна нулю:

или .

Правило знаков

Ток берется со знаком плюс, если он входит в узел, и со знаком минус, ес-

ли выходит из узла.

Например, для рассматриваемого в Примере 17 случая:

– – = 0.

ΙΙ закон Кирхгофа

Алгебраическая сумма комплексных действующих или комплексных амплитудных значений напряжений в замкнутом контуре равна алгебраической сумме комплексных действующих или комплексных амплитудных значений э.д.с., входящих в данный замкнутый контур.

или ,

где N_u, N_e – число пассивных элементов и э.д.с. соответственно.

Правило знаков

Напряжение или э.д.с. берутся со знаком плюс, если их направление совпадает с направлением обхода контура, и со знаком минус, если не совпадает.

Например, для рассматриваемого в Примере 17 случая:

или .

Энергетические процессы в цепях с источниками

Гармонического сигнала

В схемах с источниками гармонического сигнала различают мгновенную, активную (среднюю), реактивную, полную и полную комплексную мощности.

Мгновенная мощность р(t)– это скорость поступления в схему электрической энергии:

.

Измеряется p(t) в ваттах.

Активная (или средняя) мощность Р – это среднее значение мгновенной мощности за период времени Т:

.

Измеряется мощность Р в ваттах. Она физически представляет собой среднюю энергию, выделяющуюся в виде тепла на участке схемы в единицу времени.

Для любого двухполюсника, к полюсам которого приложено гармоничес-

кое напряжение и по которому протекает гармонический ток, активная мощность Р может быть определена из соотношения:

,

где U – действующее значение напряжения, приложенного к двухполюснику;

Ι – действующее значение тока, протекающего в двухполюснике;

φ – угол сдвига фаз между током и напряжением;

Cosφ – коэффициент мощности.

Чем больше Cosφ, тем больше активной мощности передается источником энергии приемнику (двухполюснику) при заданных токе и напряжении.

Реактивная мощность Q – это мера потребления (или выработки) реактивного тока. Измеряется мощность Q в вольт–амперах реактивных (ВАР). Для любого двухполюсника справедливо:

.

Полная мощность S – это величина, равная произведению действующих значений напряжения, приложенного к двухполюснику, и тока, протекающего в двухполюснике. Измеряется мощность S в вольт–амперах (ВА). Для любого двухполюсника справедливо:

.

Рассмотрим расчет мощности в отдельных элементах схемы.

Активное сопротивление

i(t) = I_m·Sin (ωt+ψ_i),

u(t) = U_m·Sin (ωt+ψ_u),

р_R(t) = I_m·Sin (ωt+ψ) · U_m·Sin (ωt+ψ) = I_m·U_m·Sin² (ωt+ψ) = U·I – U·I·Cos[2(ωt+ψ)].

В данном случае ψ_i = ψ_u = ψ, на активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе, поэтому имеют один и тот же знак, следовательно их произведение всегда положительно. Нетрудно видеть, что мгновенная мощность

р_R(t) имеет постоянную составляющую и составляющую с удвоенной круговой частотой, при этом она всегда положительна.

Активная мощность на активном сопротивлении определится:

Р_R = Ι·U = Ι·Ι·R = Ι² · R, так как φ = 0.

Реактивная мощность .

Полная мощность S_R = P_R.

Индуктивность L

р_L(t) = u_L(t)·i_L(t)· = U_m·Sin (ωt+ψ_i+ )· I_m·Sin (ωt+ψ_i) = U_L·I_L·sin [2(ωt+ψ_i)].

Мгновенная мощность р_L(t), поступающая в индуктивность, изменяется по гармоническому закону с круговой частотой 2ω и амплитудой U_L·I_L.

Активная мощность индуктивности определится:

Р_L = U_L·I_L Сos = 0, так как φ = .

Реактивная мощность .

Полная мощность .

Емкость С

р_С(t) = U_С·I_С·sin [2(ωt+ψ_u)].

Мгновенная мощность р_С(t), поступающая в емкость, изменяется с круговой частотой 2ω и амплитудой U_С·I_С.

Активная мощность емкости определится:

Р_С = U_С·I_С Сos = 0, так как φ = .

Реактивная мощность .

Полная мощность S_C = Q_C.

Таким образом, реактивная мощность положительна при индуктивной нагрузке и отрицательна при емкостной.

Очевидно, что мощность имеет комплексное представление.

Комплексная величина S, модуль которой равен S, а аргумент φ – углу сдвига фаз между током и напряжением, называется полной комплексной мощностью:

S = S·е^jφ = S·Cosφ + jSinφ = Р + jQ,

то есть Р = Rе[ S ], Q = Im[ S ].

На комплексной плоскости можно представить треугольник мощностей (рис. 2.34):

Рис. 2.34

Справедливы равенства:

, S² = Q² + P²,

где - ток, комплексно сопряженный с током .

Баланс мощностей вытекает из закона сохранения энергии, так как сум-

ма мгновенных мощностей всех элементов схемы в любой момент времени рав-

на нулю.

В комплексной форме, учитывая, что в схеме есть источники и приемники энергии, уравнение баланса мощностей можно записать в виде:

,

где – полная комплексная мощность k-го источника энергии;
– полная комплексная мощность k-го приемника энергии;
N – число источников энергии;

М – число приемников энергии.

Таким образом, алгебраическая сумма полных комплексных мощностей, отдаваемых источниками энергии, равна алгебраической сумме полных комплексных мощностей всех пассивных элементов.

Правило знаков для мощностей источников иллюстрируется схемой

(рис. 2.35):

Рис. 2.35

Из уравнения баланса мощностей следует уравнение баланса активной и реактивной мощностей:

следовательно

Для расчета необходимо вычислить отдельно активную и реактивную мощности потребления:

где М_R – число активных сопротивлений;

R_k – k–ое активное сопротивление;

– действующее значение тока через k–ое активное сопротивление;

– число емкостных пассивных элементов;

– реактивное сопротивление k–го емкостного пассивного элемента;

– действующее значение тока через k–ый емкостной пассивный элемент;

– число индуктивных пассивных элементов;

– реактивное сопротивление k–го индуктивного пассивного элемента;

– действующее значение тока через k–ый индуктивный пассивный

элемент.

Затем необходимо сравнить результаты расчета с активной Р_ИСТ и реактивной Q_ИСТ мощностью источников энергии и вычислить погрешности δ_Р и δ_Q

баланса мощностей.

Алгоритм расчета баланса мощностей:

рассчитать комплексные действующие токи ветвей схемы. Определить

, если источник тока ( − напряжение на полюсах источника).

Представить в алгебраической форме .

определить активную мощность Р_ПОТР потребления.

Определить реактивную мощность Q_ПОТР потребления.

Определить погрешности баланса:

Если δ_Р > 1% и (или) δ_Q > 1%, то необходимо искать ошибку, начиная с расчетов токов. Чаще всего она заключается в грубом округлении рассчитанных значений сопротивлений и токов. Рекомендуется при округлении оставлять не менее четырех значащих чисел.

ЧТО И КАК ПИСАЛИ О МОДЕ В ЖУРНАЛАХ НАЧАЛА XX ВЕКА Первый номер журнала «Аполлон» за 1909 г. начинался, по сути, с программного заявления редакции журнала...

Что будет с Землей, если ось ее сместится на 6666 км? Что будет с Землей? - задался я вопросом...

Что делает отдел по эксплуатации и сопровождению ИС? Отвечает за сохранность данных (расписания копирования, копирование и пр.)...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: