Сдам Сам

ПОЛЕЗНОЕ


КАТЕГОРИИ







Анализ переходных процессов в линейных схемах





С помощью интеграла Дюамеля

 

Классический метод позволяет рассчитать переходной процесс в ЭЦ с источником постоянного тока и (или) гармонического сигнала.

Если же сигнал источника имеет сложную форму, то воспользоваться классическим методом не представляется возможным. Сложность заключается в расчете установившегося режима в ЭЦ после коммутации.

В таких схемах используется интеграл Дюамеля.

Пусть в схеме с нулевыми ННУ в момент времени t = 0 включается источник е(t). Необходимо определить функцию тока i(t).

 

 

       
 
   
Введем переменные: τ − текущий момент времени, по которому будем интегрировать, t – момент времени, в который необходимо найти ток (или напряжение).  
 

 

 


рис. 5.71

Заменим плавную кривую е(t) ступенчатой (рис. 5.71), задавшись интервалом Δτ и разбив интересующий отрезок времени на интервалы Δτ.

Включение э.д.с. е(0) равносильно включению источника постоянной э.д.с. в момент времени t = 0, поэтому искомый ток i(t) = е(0)·h(t), где h(t) – переходная характеристика для искомого тока, которую необходимо предварительно определить.

В момент времени tk возникает скачок э.д.с. Δеk, что эквивалентно включению источника постоянной э.д.с. Δеk.

Искомый ток i(t) от такого источника будет определяться из выражения:

i(t) = Δеk·h(t – tk).

Переходная характеристика имеет задержку на величину tk, так как включение происходит не при t = 0, а при t = tk.

Если Δеk умножить и разделить на Δτ, то равенство останется справедливым:

i(t) = Δеk·Δτ·Δτ−1·h(t – tk).

Если просуммировать токи от каждого скачка Δеk, то получим:

i(t) = ∑Δеk·(Δτ)−1·Δτ·h(t – tk).

Теперь потребуем, чтобы Δτ → 0, тогда сумма в пределе станет интегралом:

.

С учетом тока от включения э.д.с. е(0) получим полное выражение искомого тока с помощью интеграла Дюамеля:

.

С помощью интеграла Дюамеля можно определить функцию как тока, так и напряжения:

,

но в последнем случае должна использоваться переходная характеристика для искомого напряжения u(t).

Если в схеме включается источник тока i0(t), то уравнение принимает вид:

.

Представленные уравнения справедливы только при условии, что источник генерирует непрерывную функцию времени, например функцию е(t) вида (рис. 5.72):

 

Рис. 5.72

Если в схеме имеет место источник сложного сигнала е(t), то есть для различных интервалов времени сигнал е(t) описывается разными аналитическими выражениями, то необходимо определить количество этих интервалов, а затем записать столько аналитических выражений с интегралом Дюамеля, сколько интервалов имеет сигнал источника. Причем выражение искомой функции тока i(t) или напряжения u(t) для каждого последующего интервала должно учитывать влияние предыдущих.

Те источники, которые были включены до рассматриваемого момента времени, должны быть учтены интегралами Дюамеля.

Пример 48. Пусть сигнал e(t) (рис. 5.73) источника имеет 3 интервала:

 

 


Рис. 5.73

 

Следовательно, искомая функция i(t) будет иметь три выражения – по одному для каждого интервала.

На первом интервале:

,

где − производная функции э.д.с. на первом интервале.

На втором интервале:

,

где − производная функции э.д.с. на втором интервале.

Слагаемое учитывает реакцию схемы на включение источника в момент времени t1.

Влияние источника ограничено моментом времени t1 (см. верхний предел интеграла ).

На третьем интервале:

где − производная функции э.д.с. на третьем интервале.

 

Слагаемое учитывает реакцию схемы на скачок э.д.с. в момент времени t2.

Необходимо отметить, что нет общего выражения для искомой функции тока или напряжения на всех интервалах.

 

Алгоритм расчета переходного процесса с помощью интеграла

Дюамеля

1. Определяем переходную характеристику h(t) для конкретной искомой функции тока или напряжения.

2. По виду функции сигнала источника э.д.с. или тока определяем количество интервалов аппроксимации этой функции.

3. Расписываем функцию сигнала источника по интервалам аппроксимации, определяем её производные на каждом из интервалов:

.

4. Определяем переходные характеристики путем замены переменной t на переменную t − τ, t − t1 и t − t2 соответственно в переходной характеристике h(t), а также производную путем замены переменной t на τ в функции .

5. Записываем искомую функцию i(t) или u(t) по интервалам через интегралы Дюамеля.

6. Подставляем найденные значения h(t), е(0), , , ,

в выражение для искомой функции.

7. Вычисляем искомую функцию по участкам , , .

8. Строим график функции.

Пример 49.

       
 
   
Для рассмотренной в Примере 47 схемы (рис. 5.74) определить функцию iC(t) тока, если э.д.с. е(t) представляет собой зависимость вида (рис. 5.75): где Е0 = 10 В, = 104 В·с−1. При этом С = 100 мкФ, R = 100 Ом.  
 

 

 


Рис. 5.74

 

 
 

 

 


Рис. 5.75

Согласно алгоритму, определяем переходную характеристику для тока iC(t) емкости (см. Пример 47).

h(t) = 0,01 е−100t А·B–1.

Исходя из зависимости е(t), определяем два интервала:

первый I 0 ≤ t < t1 = 1 мс,

второй II t1 ≤ t < ∞.

Расписываем функцию сигнала е(t) по интервалам аппроксимации и определяем её производные на каждом интервале:

Производим замену переменной в переходной характеристике:

, .

Производим замену переменной в производной :

.

Записываем функцию iC(t) по интервалам.

Для первого интервала:

.

Для второго интервала:

Подставляем значения

.

 

Построим график функции (рис. 5.76).

Для его построения определяем:

при t = 0 = 0,1 А;

при t1 = 0,001 с:

= 1 – 0,9е−0,1 = 0,19 А;

= − 0,015е−0,1 = − 0,0135 А.

 
 

 

 


Рис. 5.76

 

Ток делает скачок в момент времени t = t1 – момент перехода от источника на первом интервале к источнику на втором интервале (к источнику с нулевым уровнем).

Следует отметить, что расчет переходного процесса при воздействии сложного сигнала с помощью интеграла Дюамеля является достаточно сложной задачей, связанной с громоздкими вычислениями, требующими большого внимания.

Значительно облегчить задачу расчета позволяет использование ЭВМ. Описанный выше алгоритм расчета легко поддается программированию.

В качестве примера ниже приведены программа расчета с помощью интеграла Дюамеля переходного процесса в электрической цепи первого порядка при воздействии сложного сигнала и один из вариантов реализации этого расчета.

 

 
 
 

 

 


 

 


Программа выполнена в виде электронного документа на языке программирования "Маthcad-2001". Работает в операционной системе Windows-95 и выше. Объем программы 21,9 Кбайт. Тип ЭВМ – IBM РG Реntium 75 и выше.

Она основана на кусочно-линейной аппроксимации сложного входного сигнала. Программа обеспечивает оперативный расчет и построение волновых диаграмм входного сигнала UВХ (t), переходной характеристики h(t) и выходного сигнала UВЫХ (t),

Переходная характеристика h(t) электрической цепи должна быть рассчитана заранее. Её параметры постоянная Аh интегрирования, корень Рh характеристического уравнения и принужденная составляющая hПР используются в программе в качестве исходных данных.

 


МЕТОД НАЛОЖЕНИЯ

 

Метод наложения, используемый для расчета сложных линейных ЭЦ, основан на принципе наложения или суперпозиции.

 

Суть этого принципа заключается в том, что реакция Y(t) линейной ЭЦ на сложное воздействие , представляющее собой линейную комбинацию n более простых воздействий равна линейной комбинации реакций , вызванных каждым из n простых воздействий в отдельности:
.

Под воздействиями и реакциями в ЭЦ подразумеваются токи и напряжения.

Рассмотрим принцип наложения в применении к расчету токов или напряжений в сложных линейных схемах.

Ток любой ветви определяется как алгебраическая сумма частичных токов для каждого из n источников э.д.с., включенных в схеме.

Метод наложения – это метод расчета токов и напряжений в сложной линейной схеме, основанный на определении частичных токов и напряжений от каждого источника энергии.







Конфликты в семейной жизни. Как это изменить? Редкий брак и взаимоотношения существуют без конфликтов и напряженности. Через это проходят все...

Система охраняемых территорий в США Изучение особо охраняемых природных территорий(ООПТ) США представляет особый интерес по многим причинам...

Что способствует осуществлению желаний? Стопроцентная, непоколебимая уверенность в своем...

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...





Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:


©2015- 2024 zdamsam.ru Размещенные материалы защищены законодательством РФ.