Амплитудно-частотный и фазочастотный спектры

Если ряд Фурье сигнала имеет много гармоник, то записывать его в виде их суммы нецелесообразно.

Чаще всего ряд Фурье негармонических токов и напряжений представляют в виде двух дискретных функций частоты, называемых спектрами.

Амплитудно-частотный спектр (АЧС) негармонической периодической функции – это дискретная функция частоты, значения которой равны амплитудам гармоник при соответствующих частотах, входящих в заданный ряд Фурье.
Например, для функции тока:

АЧС имеет вид (рис. 8.9):

Рис. 8.9

Фазочастотный спектр (ФЧС) негармонической периодической функции – это дискретная функция частоты, значения которой равны начальным фазам ψ_k гармоник при соответствующих частотах, входящих в заданный ряд Фурье.

Например, для той же функции тока ФЧС имеет вид (рис. 8.10):

Рис. 8.10

Очевидно, что на нулевой гармонике начальной фазы нет, поэтому на ФЧС это ноль.

Начальная фаза может иметь знак плюс или минус.

АЧС и ФЧС полностью описывают периодический сигнал.

Справедлива и обратная связь, то есть по заданным АЧС и ФЧС можно представить гармоники сигнала.

Например, заданы АЧС и ФЧС напряжения (рис. 8.11,а и 8.11,б):

а)

б)

Рис. 8.11

Сигнал, как функция времени, будет иметь вид:

В.

Расчет мощности в схемах с источниками

Негармонического периодического сигнала

По определению активная мощность Р равна

.

Если представить функции тока и напряжения в виде рядов Фурье, подставить эти ряды в интеграл и проинтегрировать, то получим:

.

Следовательно, активная мощность негармонического периодического тока или напряжения равна сумме мощностей отдельных гармоник, входящих в заданный ряд Фурье:

Аналогично можно определить реактивную мощность:

Если в ряду Фурье тока (напряжения) отсутствуют гармоники из ряда Фурье напряжения (тока), то мощность этой гармоники будет равна нулю.

Полная мощность S = U·i,

где U и i – действующее значение негармонического напряжения и тока соот-
ветственно.

Следовательно, S² ≠ P² + Q².

РАСЧЕТ СХЕМ С ИНДУКТИВНЫМИ СВЯЗЯМИ

Основные определения

Если на магнитный сердечник (рис. 9.1) намотать катушку с полюсами

1 – и числом витков W₁ и приложить к этим полюсам переменное напряжение u₁₁(t), то по катушке пойдет ток i₁(t), который в свою очередь создает магнитный поток Ф₁(t) и потокосцепление ψ₁(t) = Ф₁·W₁.

Рис. 9.1

Эти параметры связаны соотношением:

,

где u₁₁(t) – напряжение самоиндукции.

Созданный током i₁(t), проходящим в рассматриваемой катушке, магнитный поток Ф₁(t) называется потоком самоиндукции.

Если теперь на тот же сердечник намотать вторую катушку с полюсами

2 – , то на этих полюсах наведется напряжение u₂₁(t), вызванное магнитным потоком Ф₁(t) тока i₁(t). Для второй катушки поток Ф₁(t) является потоком взаимной индукции. Напряжение u₂₁(t) связано с током i₁(t) соотношением:

,

где коэффициент М₁₂ – взаимная индуктивность между потокосцеплением второй катушки с полюсами 2 – и током i₁(t).

напряжение u₂₁(t) – это напряжение взаимной индукции.

Явление возникновения напряжения на полюсах одной катушки при изменении во времени тока в другой катушке, имеющей общее магнитное поле с первой, называют взаимной индукцией.

В общем случае коэффициент – это взаимная индуктивность между потокосцеплением k-ой катушки (катушки, в которой определяем напряжение) и током n-ой катушки, который вызывает это потокосцепление (первопричина). Единица измерения взаимной индуктивности – Генри [Гн], как и у индуктивности.

Потокосцепление взаимной индукции определится:

.

Напряжение взаимной индукции обозначают . Оно связано с током и потокосцеплением соотношением:

.

В линейных схемах . В схемах индуктивно связанные катушки обозначаются двумя признаками: одноименными полюсами и обоюдоострой стрелкой между этими полюсами катушек.

Полюсы называются одноименными (началами или концами), если при одинаковых направлениях токов относительно этих полюсов магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции складываются. Одноименные полюсы обозначаются звездочками *, жирными точками •, кружочками °, треугольниками ∆ и т.д. Например, катушки L₁ и L₂ индуктивно связаны. Одноименные полюсы

обозначены звездочками и стрел-

кой, над которой указан коэффи-

циент взаимной индукции (рис. 9.2).

Рис. 9.2

Катушки могут быть включены согласно или встречно. Катушки включены согласно (рис. 9.3), если токи в них одинаково ориентированы относительно одноименных полюсов, то есть если оба тока входят в одноименные полюсы

(рис. 9.3,а), или оба выходят из одноименных полюсов (рис. 9.3,б):

а) б)

Рис. 9.3

Одинаковая ориентация токов относительно одноименных полюсов катушек приводит к сонаправленной ориентации магнитных потоков самоиндукции и взаимной индукции. Следовательно, напряжение взаимной индукции имеет тот же знак, что и напряжение самоиндукции:

Катушки включены встречно (рис. 9.4), если токи по-разному ориентированы относительно одноименных полюсов, то есть в одной ток входит в одноименный полюс, а в другой – выходит из него:

Рис. 9.4

В этом случае потоки самоиндукции и взаимной индукции ориентированы навстречу друг другу. Тогда знак напряжения взаимной индукции противоположен знаку напряжения самоиндукции. Уравнения для напряжений на полюсах катушек принимают вид:

9.2. Расчет комплексных схем со взаимно–индуктивными
связями

Если ток изменяется по гармоническому закону:

,

то напряжение взаимной индукции определится:

,

где – модуль комплексного сопротивления взаимной индукции.

Тогда в комплексной форме:

При переходе к комплексной схеме замещения взаимно–индуктивные связи обозначаются также одноименными полюсами и обоюдоострой стрелкой, над которой указывается комплексное сопротивление взаимной индукции (рис. 9.5):

Рис. 9.5

При согласном включении катушек:

При расчете схем со взаимно–индуктивными связями можно пользоваться методом контурных токов или законами Кирхгофа.

Рассмотрим метод использования последних.

Пример 54. Дана схема (рис. 9.6):

Строим дерево и граф схемы, на кото-
рые взаимно–индуктивные связи не
влияют (рис. 9.7).

Рис. 9.7

Рис. 9.6

Выбираем два независимых контура, так как имеем две главных ветви, и задаемся направлением их обхода. Задаемся направлением токов ветвей.

Составляем Х_i = y – 1 = 4 уравнения по i закону Кирхгофа:

для узла 1:

для узла 2:

для узла 3:

для узла 4:

Составляем Х_ii = 2 уравнения по ii закону Кирхгофа.

В схеме две индуктивные связи: вторая и восьмая катушки, шестая и восьмая катушки. Третья катушка не имеет связи с другими катушками. Это возможно, если магнитные потоки, создаваемые другими катушками, витков катушки не охватывают.

Ток второй катушки выходит из полюса, обозначенного знаком " • ", а ток катушки входит в одноименный полюс катушки , следовательно катушки и включены встречно. Катушки и включены согласно, так как токи и выходят из одноименных полюсов катушек и , соответственно обозначенных знаком " * ".

Записываем уравнение для первого (левого) контура:

.

Здесь слагаемое – напряжение взаимной индукции, вызванное током на катушке , в уравнение входит со знаком минус, противоположным знаку плюс, с которым в уравнение входит напряжение самоиндукции

, так как катушки и включены встречно.

Слагаемое – напряжение взаимной индукции, вызванное током на катушке , входит в уравнение со знаком минус, совпадающим со знаком минус, с которым в уравнение входит напряжение самоиндукции .

Уравнение для второго (правого) контура имеет вид:

.

Здесь слагаемое – напряжение взаимной индукции, обусловленное током на катушке , в уравнение входит со знаком минус, противоположным знаку плюс, с которым в уравнение входит напряжение самоиндукции, так как катушки и включены встречно.

Слагаемое – напряжение взаимной индукции, обусловленное током на катушке , входит в уравнение со знаком плюс, противоположным знаку минус, с которым в уравнение входит напряжение самоиндукции, так как катушки и включены встречно.

Таким образом, взаимно–индуктивные связи не влияют на уравнения по первому закону Кирхгофа и не меняют количества и структуры уравнений по второму закону Кирхгофа. Но в уравнения по второму закону Кирхгофа должны войти дополнительные слагаемые напряжений, учитывающие влияние тех токов, которые имеют магнитную связь с соответствующей катушкой. Знаки слагаемых определяются знаком напряжения самоиндукции и типом включения катушек.

Если в схему включить вольтметр (штриховая линия), то он покажет модуль комплексного напряжения , состоящего из трех слагаемых:

.

Алгоритм составления системы уравнений по законам Кирхгофа с учетом взаимно–индуктивных связей следующий:

1. Строим дерево и граф схемы.

2. Выбираем независимые контуры и задаем направление их обхода.

3. Задаем направление токов ветвей.

4. Определяем тип включения катушек со взаимно–индуктивными связями.

5. Составляем уравнения по законам Кирхгофа.

ОБЗОР МЕТОДОВ АНАЛИЗА СХЕМ

Обобщая изученные методы анализа линейных схем, можно составить схему применяемых методов для конкретных задач (рис. 10.1).

Все схемы делятся на линейные и нелинейные. мы рассматриваем только

линейные.

Линейные схемы топологически можно разделить на простые и сложные. Не стоит составлять систему из n уравнений для определения токов в простой схеме. Проще применить метод эквивалентных преобразований, тем более если в задаче требуется определить ток или напряжение одной ветви. Чаще всего такую ветвь выделяют как нагрузочную.

Если ветвей в простой схеме много, то можно использовать любой из методов: законы Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов.

Рис. 10.1

Сложные схемы можно рассчитывать разными методами. Но прежде чем выбрать тот или иной метод следует определить число уравнений Х_МКТ или Х_МУП.

Система с меньшим числом уравнений всегда предпочтительней.

Метод наложения целесообразно применять в тех случаях, когда требуется найти один ток или напряжение.

Кроме деления схем по топологии их различают по виду сигнала источника (рис. 10.2).

Рис. 10.2

Если источники постоянного сигнала, то применимы все рассмотренные методы расчета схем.

Если источники гармонического сигнала, то прежде чем решить задачу, необходимо выяснить, в какой области требуется исследовать схемы: в частотной или временной.

Если в частотной, то необходимо перейти к комплексной схеме замещения и тогда решать задачу любым известным методом.

Если требуется исследовать функцию тока или напряжения во временной области, то необходимо решать задачу исследования переходного процесса.

Если сигнал источника негармонический периодический, то следует разложить функцию в ряд Фурье, а затем использовать метод наложения для решения частичных схем с источниками постоянного и гармонического сигналов.

Если сигнал источника негармонический непериодический, то следует использовать интеграл Дюамеля для исследования схемы во временной области.

ЛИТЕРАТУРА

1. Атабеков Г.И. Линейные электрические цепи. – М.: Энергия, 1978. – 592с.

2. Бирюков В.Н., Попов В.П., Семенцов В.И. Сборник задач по теории
цепей. – М.: Высш. школа, 1985. – 239 с.

3. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. Т. 1. –
Л.: Энергоиздат, 1981. – 533 с.

4. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. Т. 2. –
Л.: Энергоиздат, 1981. – 415 с.

5. Основы теории цепей: Учебник для вузов/ Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин,
А.В. Нетушил, С.В. Страхов. – 5-е изд., перераб. – М.: Энергоатомиздат,

1989. – 528 с.

6. Петров Б.М. Электродинамика и распределение радиоволн: Учебник для
вузов. – М.: Радио и связь, 2000. – 559 с., с ил.

7. Попов В.П. Основы теории цепей. – М.: Высшая школа, 2005. - 575 с.

8. Шебес М.Р. Задачник по теории линейных электрических цепей: Учебное
пособие. – М.: Высшая школа, 1982. - 488 с.

9. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. – М.:Высш. шк., 1983. –

437 с.

10. Вводное руководство к лабораторным работам по теории электрических
цепей (№68). – Таганрог: ТРТИ, 1989. – 50 с.

11. Методическое пособие по выполнению лабораторной работы № 1 "Исследо-
вание реакции элементов цепи и RLС контура на гармоническое воздейст-
вие (№2953). – Таганрог: ТРТУ, 2005. – 60 с.

12. Влах И., Сингхал К. Машинные методы анализа и проектирования электрон-
ных схем. – М.: Радио и связь, 1988. – 560 с.

13. Воробиненко П.П. Теория линейных электрических цепей: Сборник задач и
упражнений. – М.: Радио и связь, 1989. – 328 с.

14. Зернов Н.В., Карпов В.Г. Теория радиотехнических цепей. – Л.: Энергия,
1 972. – 816 с.

15. Руководство к выполнению лабораторных работ по исследованию простых
цепей гармонического тока и сложных цепей постоянного тока (№ 69). – Та-
ганрог: ТРТИ, 1989. – 48 с.

16. Руководство к лабораторным работам по исследованию сложных цепей
гармонического тока и трехфазных цепей (№ 192). – Таганрог: ТРТИ, 1990.
– 43 с.

17. Бекетова И.О. Электротехника. Конспект лекций. – Таганрог: ТРТИ, 2002. –
146 с.

18. Бекетова И.О., Зинченко Л.А., Левина М.Г., Полуянович Н.К. Сборник задач
по курсу "теория линейных электрических цепей": Часть 1. Учебное посо-
бие. – Таганрог: ТРТУ. – 2000.

19. Бекетова И.О., Горемыкин Е.В., Зинченко Л.А., Левина М.Г., Полуяно-
вич Н.К., Рассоха Д.П. Сборник задач по курсу "теоретические основы элек-
тротехники": Часть 1. Учебное пособие. – Таганрог: ТРТУ. – 2004.

20. Рассоха Д.П. Сборник контрольных работ с примерами их выполнения по
курсу "теоретические основы электротехники": Часть 1. – Таганрог: ТРТУ. –
2004.

21. Рассоха Д.П. Сборник контрольных работ с примерами их выполнения по
курсу "теоретические основы электротехники": Часть 2. – Таганрог: ТРТУ. –
2004.

22. Бекетова И.О. Анализ простых схем замещения с источниками гармоничес-
кого сигнала: Контрольные задачи по электротехнике и методические указа-
ния по их выполнению. – Таганрог: ТРТУ. – 2005. – 40 с.

23. Бекетова И.О. Интеграл Дюамеля: Методические указания к выполнению ин-
дивидуального задания по электротехнике. – Таганрог: ТРТУ. – 2005. – 16 с.

24. Рассоха Д.П. Теоретические основы электротехники. Конспект лекций.
Часть 1. Для студентов специальностей 140610, 140607. – Таганрог: ТРТУ. –
2006. – 76 с.

25. Методическое руководство по выполнению лабораторной работы № 1.
Исследование простейших элементов электрической цепи на переменном
токе. По курсу теоретические основы электротехники. – Южный Федераль-
ный университет. Технологический институт ЮФУ в г. Таганроге. – Таган-
рог. – 2008.

ЧТО ПРОИСХОДИТ, КОГДА МЫ ССОРИМСЯ Не понимая различий, существующих между мужчинами и женщинами, очень легко довести дело до ссоры...

Что вызывает тренды на фондовых и товарных рынках Объяснение теории грузового поезда Первые 17 лет моих рыночных исследований сводились к попыткам вычис­лить, когда этот...

Что делать, если нет взаимности? А теперь спустимся с небес на землю. Приземлились? Продолжаем разговор...

Живите по правилу: МАЛО ЛИ ЧТО НА СВЕТЕ СУЩЕСТВУЕТ? Я неслучайно подчеркиваю, что место в голове ограничено, а информации вокруг много, и что ваше право...

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте: